基于模糊量化的三重决策方法：模型、算法及应用

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Fuzzy quantification-driven Three-way decision: model, algorithm and application

　　摘要：三支决策（TWD）是一种源自概率粗糙集理论的不确定性决策框架。它采用接受-拒绝-延迟的三元策略，可以有效降低决策风险并提高决策的合理性。模糊量化是一种创新的模糊逻辑方法，有助于构建具有高可解释性和强抗干扰能力的优化模型。最近我们发现，TWD中的条件概率可以通过特定的模糊量化方法来定义。基于这一发现，我们提出了一种新型的模糊量化驱动TWD。首先，我们设计了一组具有强收敛性质的模糊量化器，并基于这组运算符定义了一种新型的条件概率，称为量化Λ-条件概率。理论证明表明，这种条件概率不仅包括了传统的条件概率作为特例，而且将其作为收敛极限。其次，通过整合效用理论，我们构建了一个以最大效用为标准的新型TWD模型，并配套相应的算法。最后，我们在13个开源数据集上应用TWD进行分类问题实验，采用了分层5折交叉验证策略。结果表明，所提出的方法在精确度、F1分数和平衡准确率这三个关键指标上展现了出色的稳定性和鲁棒性。与2024-2025年提出的五种最先进方法相比，统计验证证实该方法在三个指标上平均提高了约13.48%。总之，所提出的量化TWD方法不仅扩展了TWD的理论基础，还在实际应用中表现出了更优越的分类性能。

引言：（模糊）粗糙集理论是处理不确定性问题的重要工具。近年来，它在多个领域得到了广泛应用，包括特征选择[1]、[2]、决策分析[3]、[4]、分类[5]、[6]以及其他领域[7]、[8]。三支决策（TWD）起源于决策中的粗糙集理论，是一个新兴的概念和计算范式。它最初由Yao[9]提出，用于处理不确定性和分类任务。TWD理论的核心原则是将域划分为三个互不相交的区域：接受区域、延迟区域（或需要进一步观察的区域）和拒绝区域。这种划分是对经典二元决策理论的改进。根据研究视角和方法的不同，TWD可以分为狭义TWD和广义TWD。狭义TWD依赖于条件概率和损失函数的正确设置和计算。在传统模型中，这两个参数通常基于专家经验主观分配。为了提高决策的客观性，后续研究提出了各种客观计算方法。例如，Qian[10]引入了基于遗憾理论的相对损失函数，而Han[11]从重叠函数构建了一个新的模糊概率粗糙集，从而提高了分类性能。此外，为了更准确地反映决策过程中的心理和行为特征，狭义TWD的建模方法得到了进一步扩展。Deng[12]采用前景理论，用价值函数代替传统损失函数，构建了一个适用于多尺度信息系统的新型三支决策模型。Li[13]结合情感分析和遗憾理论，提出了一个数据驱动的直觉模糊遗憾基础TWD模型。Mondal[14]提出了一种新型的三支多属性决策模型，该模型首先引入了Fermatean模糊Mahalanobis距离来有效处理属性之间的相关性，并基于遗憾理论和前景理论构建了用于分类和排序对象的TWD规则。Yang[15]通过提出一种结合证据理论和TWD的分类方法，解决了半监督文本分类中的伪标签不确定性和多分类器预测冲突问题。进一步地，Li[16]提出了一种基于交叉熵的决策规则，该规则使用TWD来划分区域，并引入交叉熵作为排序标准，同时设计了一个考虑乐观和悲观情景的决策框架。

广义TWD不仅仅局限于传统的条件概率和损失函数框架。相反，它更强调以“三分法哲学”为核心，并采用结构化方法处理各种问题。目前，这种方法已广泛应用于多属性决策、聚类分析和冲突分析等领域。例如，Luo[17]基于TAO框架构建了一个三支冲突管理模型，用于处理多属性群体决策中由复杂语言表达引起的冲突。Zhan[18]应用信息融合原理，提出了一种基于模糊聚类的三支异步共识达成方法，用于识别操纵性和从众行为。Li[19]通过整合密度峰值聚类和三支决策理论，提出了一种专门用于不完整分类数据的新颖可解释聚类算法，并基于明确定义的决策规则构建了一个语义可解释的框架。Mondal[20]结合区间值Fermatean模糊数、集合对分析和遗憾理论，构建了一个基于可能优势覆盖的模糊概率TWD模型，该模型可以在完整和不完整的信息系统中有效解决分类和优化问题，而不会破坏原始数据。Almjally[21]结合了三极模糊集、TWD、TOPSIS方法和Sugeno-Weber聚合器，开发了一种新型决策框架，用于平衡宽带技术选择中的成本和用户利益。Han[22]在概率语言背景下探索了一种三支群体决策模型。Wang[23]提出了一种结合异步意见演化和动态信任驱动的三支共识模型，使集体决策更加理性和适应性强。

研究空白：尽管上述研究取得了显著进展，但在TWD的实际建模中仍存在两个主要限制。此外，由于在实践中往往无法实现完全客观的量化，我们只能寻求更合理的替代方法。一方面，传统的条件概率是基于等权重计构建的，具有固定的形式和有限的适应性；另一方面，大多数TWD模型中的效用函数依赖于主观专家规范，缺乏数据驱动的相对客观计算方法。这限制了模型的泛化能力和数值分类任务中的噪声鲁棒性。因此，如何突破条件概率的固定模式，建立一个相对客观的效用获取机制，已成为当前TWD研究亟需解决的问题。模糊量化是模糊逻辑和不确定性推理领域的核心工具[24]、[25]、[26]。它本质上是经典二值逻辑量化机制的灵活扩展。由于经典逻辑中的“所有”或“一些”等明确量化器无法准确捕获“大多数”、“几乎所有”或“大约一半”等模糊定量概念，模糊量化模型通过将量化器定义为模糊集或特定聚合运算符，使得这些模糊定量关系能够被定量描述[27]、[28]。这种方法不仅符合自然语言的表达特点，还为处理包含噪声和模糊信息的复杂数据提供了有效手段，在数据处理和机器学习领域具有重要的实用价值和广泛应用前景。早期关于模糊量化的主要研究集中在半模糊量化器的构建上，两种类型的运算符为该领域奠定了理论基础：一种是Zadeh[27]提出的基于模糊基数的量化模型，它通过σ计数将集合的基数与量化器的真值相关联；另一种是Yager[28]提出的基于有序加权平均（OWA）运算符的模型，它通过权重向量以有序方式聚合元素的满足程度，从而克服了Zadeh模型中基数累积加法导致的语义缺陷。随着研究的深入，模糊量化逐渐扩展到了完全模糊的场景。其中，Gl?ckner提出的量化器模糊化机制（QFM）框架具有重要意义[29]。针对QFM框架的局限性，Baldi[30]不仅加强了其逻辑基础，还提出了一组基于相似性测量的新QFM，从而丰富了完全模糊量化的理论体系。Dvo?ák[31]解决了标准模糊量化器的相对化问题，建立了一元和二元模糊量化器之间的一一对应关系，将量化器的类型与其语义属性相关联，并为模糊量化器的逻辑推理和组合奠定了理论基础。

模糊量化器的一个重要应用领域是（模糊）粗糙集理论。传统粗糙集（简称FRS）由于对数据噪声的敏感性和缺乏鲁棒性（因为其上下近似严格依赖于“所有”和“存在”等明确量化器）而存在缺陷。为了解决这些问题，可以使用“大多数”等模糊量化器替代传统的泛量化器。这种放宽设计的意图是为近似值中的不一致性引入容忍标准，从而提高其稳定性，这对于基于该理论的应用尤为重要[32]。从发展的角度来看，早期提出的基于模糊量化器的FRS[33]开创了这一路径，但存在语义上的缺陷。最近，基于Choquet[34]的FRS理论的引入使其重新受到重视。此外，基于OWA的FRS[35]通过OWA运算符进一步增强了模型的鲁棒性，但仍未能克服传统二值量化器模型的语义偏差。近年来，Delgado[36]提出的量化陈述评估方法可以有效适应一元和二元量化场景，为基于模糊量化框架的FRS统一构建提供了重要的技术参考。在此基础上，Theerens[37]提出的基于模糊量化框架的FRS代表了重大突破。该框架采用解耦设计，其特征是“使用二元量化器进行下近似，使用一元量化器进行上近似”。它不仅与VQFRS和OWAFRS等现有模型兼容，还允许引入各种新的量化器，从而构建了一个更统一的理论体系，并从根本上增强了模型对数据不一致性的容忍度。在可变精度和粒度计算方面，Xu[38]提出了一种基于半群函数的基于距离的可变精度FRS模型，并将其应用于数字图像轮廓提取；Xie[39]在完全格框架内提出了两种类型的粒度可变精度L-FRS，有效解决了不可比性问题。随后，Theerens[40]专注于基于模糊量化器的FRS的粒度表示，通过将粒度计算与FRS理论结合，为模型在机器学习中的应用提供了理论支持。

研究空白：尽管上述研究在推进模糊量化理论及其在粗糙集应用方面取得了进展，但目前研究仍存在两个关键空白。首先，在模糊量化理论层面，现有的（半）模糊量化器大多仍处于形式化理论阶段，缺乏提供直观语义解释和灵活可调性的具体量化器家族。面对复杂数据时，传统量化器依赖于固定的权重方案，无法自我适应以满足不同场景的鲁棒性要求。其次，在理论交叉融合层面，模糊量化与TWD的研究长期沿相对独立的路径发展。模糊量化方法尚未充分扩展到不确定性决策环境中，而TWD领域尚未纳入模糊量化的灵活权重机制。目前仍缺乏一个系统性的理论框架来深入整合这两种理论。针对上述研究空白，本文重点关注模糊量化与TWD的整合，以提高TWD模型的灵活性、鲁棒性和客观性。核心动机如下：(1) 为了在复杂数据环境中实现更灵活的应用，需要构建具有直观语义和可调参数的新颖模糊量化器和具体的规则递增单调（RIM）量化器家族，为后续研究提供更通用的分析工具；(2) 为了弥合两种理论之间的研究空白，基于模糊量化进行TWD的研究尤为重要。模糊量化与TWD的整合可以显著提高在不确定性条件下决策的效率和准确性，并扩展这两种理论的应用范围。(3) 为了解决传统TWD模型的固有限制，有必要构建一个新的TWD框架。具体来说，我们用参数化的量化条件概率来替代固定形式的经典条件概率，以提高适应性，并建立一种相对客观、数据驱动的方法来获取效用函数，从而减少主观设置引入的偏差，从而优化模型在数值数据上的分类性能。上述分析表明，在理论层面上，模糊量化与TWD之间有着无缝整合的潜力。这也揭示了依赖固定条件概率的传统TWD模型在动态和复杂环境中的灵活性和适应性有限。因此，为了提高模型的可解释性和自适应性，有必要通过引入模糊量化技术来构建一个广义的TWD模型。这一研究方向不仅将扩展TWD的理论边界，还将增强其在复杂和不确定场景中处理分类问题的实际能力。(1) 对于任何RIM量词Λ，我们构建了两种新的模糊量词，即一元模糊量词???1Λ和二元模糊量词???2(Λ,?)。同时，我们引入了一类具体的RIM量词，表示为Λ(α,β)。这两类量词都赋予了直观的语义解释。这项研究不仅增强了模糊量化的框架，还为未来的研究和实际应用提供了一个多功能的分析工具。(2) 基于前述的RIM量词Λ(α,β)和模糊量词???1Λ以及???2(Λ,?)，我们提出了量化Λ-概率测度和量化Λ-条件概率的概念。理论分析表明，当??→0+和??→1?时，量化Λ-条件概率会收敛到经典条件概率。因此，通过调整量化参数α和β，量化Λ-条件概率表现出更强的表现能力和适应性。(3) 在处理数值数据时，我们提出了一种基于偏好程度的半客观方法来获取相对效用函数，并通过结合新引入的量化Λ-条件概率，进一步构建了一个模糊量化驱动的TWD模型。该模型提高了对噪声数据的适应性，从而有效优化了分类应用的性能。(4) 我们将TWD模型应用于分类任务，并设计了相应的实现算法。使用UCI数据集进行层次化5折交叉验证进行参数分析和对比实验，结果显示该方法具有很好的稳定性，并显著提高了分类性能，三种评估指标的平均性能提升约为13.48%。本文剩余部分的结构安排如下：第2节回顾了基本概念和相关符号。第3节基于Choquet积分提出了两种新的模糊量词，并在此基础上定义了广义量化Λ-条件概率。第4节为数值属性数据构建了一个新的TWD模型，并提供了相应的算法描述。第5节在13个公共数据集上进行了实验分析，包括参数讨论、与五种最先进模型的性能比较以及统计测试。第6节总结了本文的研究贡献并指出了未来的研究方向。本文的主要内容在图1所示的思想图中进行了总结。

**初步**
本节回顾了模糊集、模糊量化和三路决策的概念，以建立本文的理论框架。

**新的模糊量词和新的条件概率**
在本节中，我们基于CI定义了两种新的模糊量词。可以证明，它们分别是半模糊量词??1Λ和??2Λ的推广。

**用于数值属性数据的新C**
在本节中，我们将量化Λ-条件概率与效用理论相结合，为数值属性数据提出了一种新的TWD模型。

**实验分析**
本章通过实验分析验证了所提出方法的稳定性和优越性。使用三种常见的评估指标对13个数据集进行了全面的分类性能评估。首先，明确了统一的实验设置和公平性保证机制，并介绍了比较模型及其参数调整策略。然后，分析了模型中三个核心参数对性能的影响。

**结论**
本文的目的是改进TWD并提升其分类性能。本研究解决了现有TWD模型在定义条件概率时灵活性不足的问题。作为应对不确定性的有效工具，模糊量化不仅具有很强的可解释性，还具有高度的鲁棒性，并为优化TWD框架提供了坚实的支持。在这方面，本研究深入地将模糊量化与TWD相结合，并提出了一种模糊...

**未引用参考文献**
[50] CRediT
作者贡献声明：
Lu Wang：撰写——原始草稿，软件，数据管理，概念化。Lingqiang Li：撰写——审稿与编辑，监督，项目管理，调查。

**利益冲突声明**
作者声明没有已知的竞争性财务利益或可能影响本文所述工作的个人关系。

Lu Wang | Lingqiang Li
数学系，聊城市大学，聊城，252059，中国