一种用于结构形状和应力测量的新型逆向超单元方法

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：A novel inverse super element method for structural shape and stress sensing

　　•提出了一种新型的逆超单元方法（iSEM），该方法采用基于域级别的误差函数。•静态凝聚和基于能量的正则化共同消除了在稀疏原位应变情况下的病态问题。•iSEM允许灵活的传感器布置，无需主从单元约束。•仿真和实验验证了iSEM的准确性和鲁棒性。

引言
随着计算科学和光电传感技术的进步，绿色和智能技术在土木工程、结构工程和海洋工程领域受到了广泛关注[1][2]。结构健康监测（SHM）是评估工程结构生命周期安全的关键技术[3][4]。作为构建结构安全数字孪生的核心要素，SHM的主要目标之一是实时获取服役中结构的全场变形和内力信息——即形状和应力感测。通常，形状和应力感测技术会将结构表面的离散或连续测量值转换为结构的位移和应力分布。现有测量方法包括基于加速度计、位移计和应变计的点式方案[5][6][7]；光学非接触式连续测量方案，如激光扫描[8]、数字图像相关（DIC）[9][10]和遥感[11][12]；以及基于光纤传感技术的连续表面测量方案[13][14]。在这些方法中，点式测量方法通常需要大量传感器来全面捕捉结构的全局力学行为，由于传感器性能的限制，这导致部署成本较高[15]。虽然光学非接触式方法在理想实验室环境中能够以高精度和高效地获取全场结构响应，但它们容易受到环境光、振动和物理遮挡等干扰[9][10]；因此，它们更适合实验室环境而非现场工程应用[9]。相比之下，基于光纤的形状和应力感测技术近年来在航空航天[16]、海洋工程[17]和土木工程[18]中引起了广泛关注，因为这些技术具有传感器体积小、成本低、灵敏度高以及抗电磁干扰能力强等优点[17]。对于光纤传感技术，结构表面的应变和温度信息通常是首先获取的物理量[13]。因此，从表面应变测量中重建结构的全场变形和应力已成为SHM领域的一个研究方向，它既具有理论挑战性也具有工程价值。

目前，能够从有限数量的表面应变测量中反演全场结构变形的形状感测算法大致可以分为四类：直接积分方法[19][20][21][22]、基于先验基函数叠加的方法[23][24][25]、基于应变误差函数的方法[26][27][28]以及数据驱动的方法[29][30][31]。其中，直接积分方法以Ko的位移理论为代表，通过沿梁轴积分曲率来重建变形。这些方法对于理想悬臂梁和简支梁的形状感测具有令人满意的准确性和计算效率，但对更复杂的结构的适应性有限[23]。基函数叠加方法，以模态方法为代表，利用基于向量投影原理的最小二乘理论将形状感测算法扩展到更复杂的结构，如曲线梁、薄板和壳体[23][32]。然而，这类方法的计算效率受到传感器数量的限制：当使用过多传感器时，先验基函数的数量和系统矩阵的尺寸会呈几何级数增长，变得非稀疏，从而降低计算效率[33]。因此，这些方法仅适用于重建简单变形，并且对传感器布置很敏感[25]。随着计算科学的进步，数据驱动方法在形状感测中变得更为突出。这些方法基于学习理论，通过最小化训练集上预测变形与实际变形之间的误差来调整内部模型参数，从而捕捉应变输入和位移输出之间的统计相关性。它们在特定场景下可以达到高精度和计算效率[30]。然而，由于缺乏物理约束、完全依赖于统计理论以及对输入数据的规模和质量的依赖性，其可解释性较差[23]。这一限制通常不利于早期开发出理论完备且功能完善的SHM系统。

基于应变误差函数的方法代表了一类新型的物理约束形状感测算法[28][34]，例如Tessler和Spangler在2004年提出的逆有限元方法（iFEM）[26][27]。该方法的基本思想是在每个单元内构建一个将应变与运动变量相关联的变换矩阵。然后在该单元上应用最小二乘变分原理来制定误差的关键条件，这些条件被组装成一个类似于传统有限元理论的等效平衡系统，并进行求解[35][36]。在大多数情况下，这种方法具有多个优势，包括不依赖于材料属性[37][38]、对复杂拓扑结构具有强适应性[39][40]、对测量噪声的敏感性低[32][34]以及高计算效率[37][41]。随着研究的不断深入，iFEM在几何适应性方面形成了一个全面的形状感测框架，涵盖了杆/梁[42][43]、薄板[27][44]、曲面板壳[45][46]、实体[45][47]以及更复杂的复合结构[40][48][49][50]。在几何非线性方面，基于Green-Lagrange应变理论[51][52][53]和共旋坐标理论[43][55]的梁、板和壳体的非线性iFEM框架进一步扩展了iFEM的适用范围，使其能够适用于经历更复杂变形的结构。随着该方法从理论向工程实践的转化，研究人员正在积极探索将iFEM应用于陆基建筑[37][56]、飞机[41][49][57]、船舶[36][40][45]和海上平台[45][58]的可行性。目前，iFEM已成为形状感测领域最具前景的基于物理的方法之一，受到了广泛关注。

尽管iFEM具有许多优点，但由于其对传感器密度的严格要求，在实际应用中仍面临诸多限制。由于iFEM在每个单元内制定等效平衡方程并随后组装它们，因此需要尽可能完整地获得每个单元的所有应变分量。对于梁、板和壳体等拓扑简化的结构，通常需要对称的多轴传感器布置[27][36]，以便捕获完整的截面应变。对于无法简化的固体结构，获取内部单元的应变数据则变得更加困难。虽然经典iFEM允许通过使用单元权重系数和应变分量权重系数省略某些单元的直接测量[26][27]，但仍通常要求传感器在结构上连续分布[28][33]；否则，在传感器布置过于稀疏的情况下，这种加权策略可能导致重建结果严重低估[28][39]。为了提高iFEM在稀疏传感器配置下的适用性，已经进行了大量研究。

除了直接的数据插值方法和应变预扩展技术（例如Esposito等人的模态虚拟传感器扩展（MVSE）[35][79]，这些技术可以减少形状感测所需的应变输入数量外，现有的改进策略大致可以分为三类。第一类涉及使用更精确的逆单元构建iFE模型。由于结构表面应变描述得更准确，这种策略在大约相同数量的单元下实现了更高的形状感测精度，从而间接减少了所需的传感器数量[34]。在这方面，Kefal等人分别开发了用于薄板[36]、中等厚度板[44]和厚板[45]位移重建的逆单元。对于曲线结构，Xiao等人[60]和Shang等人[61]提出了曲线壳体单元，仅使用少量测量应变数据即可显著提高位移重建精度。对于更复杂的复合结构，Zhao等人[62]开发了一种用于夹芯复合梁形状感测的逆梁单元，避免了实体建模的需要。同样，Kefal等人[50]也为多层复合板开发了相应的逆单元。第二类方法通过优化算法在数量约束下寻找最佳传感器布置，旨在在保持可接受精度的同时最小化传感器数量。在这方面，Zhao等人[63]采用了多目标粒子群优化（MOPSO）来研究在三种静态加载情况下的圆柱悬臂梁的最佳传感器布置。Zhang等人[64]将这一过程扩展到了风力涡轮机塔架结构，使用了循环优化算法。Li等人[65]通过将数据外推技术纳入该框架，进一步减少了薄板形状感测所需的传感器数量。第三类方法使用缩减的应变矩阵构建最小二乘函数。在这种方案中，完整的应变矩阵被分解或重组为多个特定于组分的应变矩阵，便于测量；然后分别对这些矩阵进行积分和叠加。这消除了不必要的原位应变测量，从而减少了传感器数量。在这方面，Niu等人[66]将缩放边界方法与单表面iFEM相结合，为悬臂板提供了一种方法。Ji等人[67]通过重新组织应变矩阵完成了类似的工作，并通过机翼蒙皮示例验证了其有效性。Biscotti等人[39]通过引入每个单独应变分量的惩罚参数改进了这种应变积分策略，以避免数值奇异性。Zhang等人和Lv等人[54][64][68]进一步将单表面iFEM与优化理论相结合，为风力涡轮机塔架开发了最佳逆网格和传感器布置方案。总体而言，iFEM在稀疏传感器条件下的研究取得了显著进展。

然而，现有方法仍存在一些限制，阻碍了其更广泛的应用。首先，尽管高阶逆单元可以减少单元总数，但它们通常用单元质心的平均应变替换了积分点的原位应变测量值。因此，高阶应变试验函数不仅提升的精度有限，还可能由于应变输入的不精确而导致位移重建精度下降[28]。其次，虽然数值优化算法可以提供最佳传感器布置解决方案，但它们需要大量的先验样本，并且在其变加载条件下的鲁棒性难以保证。此外，这些算法往往会产生过于分散和不规则的传感器布置，阻碍了实际应用[69]。第三，缩减应变矩阵策略可以直接减少传感器数量，但它容易导致单元等效刚度矩阵的秩不足，从而加剧了逆问题的病态性[27]。总的来说，大多数现有方法仍局限于在传统iFEM框架内的渐进式改进，而不是建立适合稀疏应变测量的系统监测理论。实际上，在稀疏传感器配置下的形状和应力感测的核心是解决控制方程的病态问题。从数学上讲，缺乏原位应变数据意味着相应的应变分量不会参与等效刚度矩阵的形成，从而导致秩不足。从物理上讲，这相当于在FEM中计算单元刚度矩阵时忽略了部分刚度，引起了数值奇异性。为了解决这一病态问题，已经进行了多项针对性研究。Zhan等人和Wang等人[70][71]分别提出了基于静态凝聚的框架型和板/壳结构的降阶iFE建模理论，通过减小方程的规模来抑制病态性。Wu等人[72]开发了一种基于最小能量原理的正则化框架，直接消除了病态性。然而，每种方法都有其自身的局限性。首先，基于静态凝聚的iFE建模框架要求在主体结构上连续进行应变测量，这限制了传感器布置，并未能充分利用从属单元的变形。其次，尽管基于最小能量原理的正则化框架可以完全消除方程的病态性，但它对最小原位应变测量数量有特定要求。当原位应变数量太少时，这种方法会导致位移重建结果被低估（见第3节）。总之，iFEM在稀疏原位应变测量下的研究仍面临重大限制，迫切需要一种通用的方法来克服这些限制。

本文提出了一种新型的逆分析框架，称为逆超单元方法（iSEM），以解决在稀疏原位应变测量下iFEM等效平衡方程的严重病态性问题。提出的方法与iFEM的做法不同，iFEM是在单个元素内构建应变误差泛函；而该方法直接在整个结构域上建立一个误差泛函来形成等效平衡方程，并采用自由度（DOF）凝聚技术来减小方程的规模，从而有效抑制了iFEM固有的病态性。在这种框架下，全局等效平衡方程不再是通过逐个元素组装得到的，而是通过将每个现场的应变测量值投影到一组选定的主自由度上构建的。由于消除了主元素和从元素的概念，iSEM允许在结构的任意位置进行应变测量，比现有方法具有更高的适应性。从理论上讲，iSEM通过一个全局凝聚矩阵，在任意位置测量的现场应变与用户选定的一组主自由度之间建立了直接的映射，这一数学基础消除了元素级逆向公式中固有的元素拓扑依赖性；结合基于能量的正则化，这提供了一个统一的框架，能够在测量稀疏的情况下解决病态性问题。本文的其余部分组织如下：第2节介绍iSEM的方法论和解决框架；第3节通过有限元仿真验证该方法的有效性；第4节通过物理模型实验验证其鲁棒性和可靠性；第5节得出结论。

**iSEM的方法论**
本节介绍了iSEM的基本理论框架。2.1节从在整个结构域上定义的应变最小二乘误差泛函开始，推导如何从多个单轴现场应变测量值建立结构的等效平衡方程。2.2节介绍了一种降阶策略，该策略利用DOF凝聚理论简化结构中多余自由度的描述。

**数值验证示例**
数值验证包括三个案例：一个形状不规则的平面的剪切变形案例、一个带有中心孔的空间立方体的扭转案例，以及一个剪切悬臂箱案例。在前两个案例中，结构域分别使用带有Wilson不相容模式的平面四边形等参元素[76]和带有第一阶气泡函数的四面体等参元素[77]进行离散化。在最后一个案例中，使用8节点元素进行了计算。

**实验验证**
为了进一步评估iSEM在实际测量条件下的性能，本节进行了物理模型实验。实验聚焦于一个截面不规则的悬臂梁结构。FBG传感器用于测量加载结构的表面应变，而通过拉线位移传感器得到的结构变形作为参考。比较了iFEM和iSEM的形状和应力传感性能以验证其效果。

**结论**
本文提出了一种逆超元素方法（iSEM），以克服稀疏应变测量下逆有限元方法（iFEM）的严重病态性和低估问题。iSEM不是在元素级别上构建误差泛函，而是在整个结构域上构建它，并通过静态凝聚将等效平衡方程简化为一组主自由度。此外，还结合了基于能量的正则化（EBR）技术。

**作者贡献声明**
J.Z. Zhan：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、可视化、验证、软件、资源、方法论、调查、形式分析、数据管理、概念化。K. Hong：撰写——初稿、验证、软件、方法论、调查、概念化。Y.H. Guo：撰写——审阅与编辑、监督、项目管理、方法论、资金获取、数据管理、概念化。X.D. Li：撰写——初稿、可视化。

**资助**
本工作得到了国家船舶结构安全重点实验室的支持（资助编号：Naklas2024KF008-J）。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文所述的工作。

J.Z. Zhan | K. Hong | Y.H. Guo | X.D. Li | D.X. Zhu | R.L. Zhang | P.L. Song | G. Liu