Caputo-Hadamard 分数阶忆阻 BAM 神经网络的完全同步与有限时间同步

《Neural Networks》：Complete synchronization and finite-time synchronization of Caputo-Hadamard fractional-order memristive BAM nerual networks

　　

**摘要**

本文研究了一类新型时滞Caputo-Hadamard忆阻双向关联记忆神经网络（MBAMNNs）的完全同步（CS）和有限时间同步（F-TS）问题。首先，基于分数阶微积分基本理论和反证法，建立了一个新的不等式引理。进一步地，将不等式方法与Lyapunov函数方法相结合，推导出了几个可验证的充分条件，以保证MBAMNNs在混合控制器和不连续非线性控制器下实现CS和F-TS。此外，还估计了F-TS对应的稳定时间。最后，通过数值仿真验证了所推导理论结果的有效性和可行性。进一步仿真探讨了分数阶γ和时间延迟τ对CS误差的影响，以及控制增益q对F-TS误差的影响。

**引言**

近年来，由于神经网络在优化算法、图像分析、模式匹配及相关学科中的广泛应用，其研究热度急剧上升Agrafal et al. (2026); Ramzan et al. (2025)。作为经典的神经网络，双向关联记忆神经网络（BAMNNs）最初由Kosko（1988）提出，它将单层自关联Hebbian电路扩展为两层模式匹配的非关联相关性架构。忆阻器——即缺失的第四个电路元件——的第一个实际实现是通过具有钳位迟滞特性的新型器件完成的，如Chua（1971）所示。目前，忆阻器已成为神经网络电路领域深入研究的焦点。忆阻双向关联记忆神经网络（MBAMNNs）被确立为模拟人脑动态的一种可行框架，其最终目标是实现人工智能Chen et al. (2023)。此外，已有的多项研究工作对MBAMNNs的内在动态特性进行了详细阐述，包括稳定性、同步性和状态估计Liu et al. (2022); Yang et al. (2023)。固有的时滞不可避免地会降低网络性能，进而可能导致各种不良行为，如发散、混沌、振荡、分叉和不稳定性Zhao et al. (2021)。这些时滞源于硬件设备传输速度的限制和算法复杂计算过程的影响。时滞的存在会恶化系统稳定性并扭曲同步过程中的动态演化Yan and Zhou (2026)。因此，在MBAMNNs的建模和分析中纳入时滞是不可或缺的。众所周知，MBAMNNs可以被归类为具有状态依赖开关特性的典型切换系统Duan and Li (2021)。近年来，切换系统的同步问题已受到深入研究Chen et al. (2024); Xiang et al. (2026)。在Xiao et al. (2017)中，通过设计创新的切换控制协议，研究了几何时滞MBAMNNs的有限时间Mittag-Leffler同步问题。Bao et al. (2019)通过分数阶Lyapunov泛函和线性矩阵不等式研究了分数阶MBAMNNs的非脆弱状态估计问题。在Zhang and Yang (2018)中，通过设计高效脉冲控制器实现了MBAMNNs的指数同步。Zhang et al. (2025)研究了受混合时滞作用的四元数MBAMNNs的指数稳定性。然而，上述结果大多集中于整数阶系统的同步和稳定性问题。

分数阶微积分推广了传统的整数阶微积分，支持任意阶的微分和积分Xiao and Li (2026)。与传统整数阶微积分相比，分数阶微积分的一个主要优势在于它提供了一种强大的工具来描述各种材料和过程的遗传性和记忆特性Abbas et al. (2025b); Sheng et al. (2023)。这种遗传记忆效应支配了BAMNNs内部的双向层间信号传播，模拟了生物神经元中长期关联记忆的编码和检索。与状态依赖的忆阻突触和系统时滞相结合，共同塑造了网络的全局动态Abbas et al. (2025a)。近年来，MBAMNNs引起了大量研究关注，并产生了众多有价值的结论Arslan et al. (2020); Rajchakit et al. (2019)。需要强调的是，大多数关于分数阶导数的研究都基于Riemann-Liouville和Caputo分数阶系统框架。在Arslan et al. (2020)中，在Caputo分数阶框架下，深入地研究了时滞分数阶复值MBAMNNs的有限时间和固定时间稳定问题。在Rajchakit et al. (2019)中，Rajchakit等人采用混合控制策略探讨了具有混合时滞的MBAMNNs的投影滞后同步问题。传统分数阶MBAMNNs的同步结果大多建立在具有幂律记忆特性的Caputo或Riemann-Liouville分数阶算子基础上，仅实现了渐近同步Abbas et al. (2023)。不同之处在于，存在另一种替代的分数阶导数——Caputo-Hadamard分数阶（CHF）导数，它被认为是涵盖Caputo型和Hadamard型分数阶导数的广义形式Jarad et al. (2022)。由于其对数历史积分核，CHF导数赋予了BAMNNs固有的遗传性和记忆特性。与仅捕捉瞬时变化的整数阶算子不同，当前的神经状态由整个演化过程中累积的历史激活决定He and Zhou (2022)。迄今为止，CHF神经网络的动态行为分析已成为一个非常热门的研究方向，并取得了几项有价值的发现He et al. (2022); Shakeel et al. (2026)。在Shakeel et al. (2026)中，作者通过设计不连续反馈控制和自适应控制策略，研究了时变时滞CHF忆阻神经网络的准投影和投影Mittag-Leffler同步问题。

受上述讨论的启发，本文通过混合控制与非线性反馈控制策略相结合，探索了时滞MBAMNNs的CS和F-TS问题。所构建的系统推广了基于Caputo或Riemann-Liouville导数的经典分数阶建模框架，与现有文献中报告的渐近同步结果相比，所推导的同步方案在CS和F-TS性能方面表现更优。借助Lyapunov方法，推导出了几个可验证的充分准则。本研究的核心贡献概述如下：

（1）建立了一个新的分数阶收敛准则，推广并改进了Li et al. (2022)中的已有结果。

（2）首次分别将混合控制和不连续非线性控制策略应用于实现具有时滞的CHF MBAMNNs的CS和F-TS。

（3）推导了新的准则以保证所考虑MBAMNNs的CS和F-TS，并给出了稳定时间的显式表达式。

本文其余内容的结构安排如下：第2节阐述了若干基本定义、实用引理以及所提模型的描述。第3节给出了具有时滞的CHF MBAMNNs的CS和F-TS准则。第4节通过若干数值仿真实验验证了所推导理论结果的有效性。最后一部分，即第5节，阐述了研究结论和后续研究的方向建议。

**符号说明：** $\mathbb{R}^{n\times 1}$ 和 $\mathbb{R}^{1\times n}$ 分别表示 $n\times 1$ 维和 $1\times n$ 维向量集合。设 $\mathbb{R}$、$\mathbb{R}^+$ 和 $\mathbb{R}^n$ 分别表示实数集、正实数集和 $n$ 维实空间。$\mathbb{C}$ 表示复数集。对于任意 $\boldsymbol{\upsilon}=(\upsilon_1,\upsilon_2,\cdots,\upsilon_P)^T\in\mathbb{R}^P$，$\boldsymbol{\upsilon}$ 的1-范数和2-范数定义为 $\|\boldsymbol{\upsilon}\|_1=\sum_{p=1}^P|\upsilon_p|$ 和 $\|\boldsymbol{\upsilon}\|_2=(\sum_{p=1}^P\upsilon_p^2)^{1/2}$。设 $\mathcal{C}^m([0,+\infty),\mathbb{R})$ 为从区间 $[0,+\infty)$ 到 $\mathbb{R}$ 的所有 $m$ 阶连续可微函数集合，$\text{sign}(\cdot)$ 表示标准符号函数。

**预备知识与模型描述**

本节引入与CHF导数相关的一些基本知识，并严格建立一个重要的引理。

**定义1**（Li et al. (2026)）。假设 $\upsilon_0$ 表示初始点且 $\upsilon_0>0$，连续函数 $\mathfrak{g}:[\upsilon_0,\infty)\to\mathbb{R}$ 的 $
γ$ 阶Caputo-Hadamard分数阶积分表示为：

$$\mathcal{CH}_{\upsilon_0}^{\upsilon}D_{\upsilon}^{-\gamma}\mathfrak{g}(\upsilon)=\frac{1}{\Gamma(\gamma)}\int_{\upsilon_0}^{\upsilon}\left(\frac{\ln(\upsilon/s)}{}\right)^{\gamma-1}\mathfrak{g}(s)\frac{ds}{s},\quad 0<\gamma<1$$

其中 $\Gamma(\gamma)=\int_0^{+\infty}e^{-s}s^{\gamma-1}ds$ 表示Gamma函数。

**定义2**（Li et al. (2026)）。函数 $\mathfrak{g}(\cdot)\in\mathcal{C}^1([\upsilon_0,+\infty),\mathbb{R})$ 的Caputo-Hadamard分数阶导数定义为：

$$\mathcal{CH}_{\upsilon_0}^{\upsilon}D_{\upsilon}^{\gamma}\mathfrak{g}(\upsilon)=\mathcal{CH}_{\upsilon_0}^{\upsilon}D_{\upsilon}^{-(1-\gamma)}\left(\frac{d\mathfrak{g}(s)}{ds}\right)$$

**主要结果**

本节我们考虑MBAMNNs (8) 和 (9) 的CS和F-TS问题。为实现CS，控制器设计如下：

$$\begin{cases} y_p(\upsilon)=-\delta_p(\upsilon)e_p(\upsilon)-h_p\,\text{sign}(e_p(\upsilon))-\theta_p\,\text{sign}(e_p(\upsilon))\sum_{n=1}^{N}|\tilde{e}_n(\upsilon-\tau)|,\\[6pt] \mathcal{CH}_{\upsilon_0}^{\upsilon}D_{\upsilon}^{\gamma}\delta_p(\upsilon)=\varphi_p e_p^2(\upsilon)-\chi^2(\delta_p(\upsilon)-\delta_p^*), \end{cases}$$

以及

$$\begin{cases} \tilde{y}_n(\upsilon)=-\tilde{\delta}_n(\upsilon)\tilde{e}_n(\upsilon)-\tilde{h}_n\,\text{sign}(\tilde{e}_n(\upsilon))-\tilde{\theta}_n\,\text{sign}(\tilde{e}_n(\upsilon))\sum_{p=1}^{P}|e_p(\upsilon-\tau)|,\\[6pt] \mathcal{CH}_{\upsilon_0}^{\upsilon}D_{\upsilon}^{\gamma}\tilde{\delta}_n(\upsilon)=\tilde{\varphi}_n\tilde{e}_n^2(\upsilon)-\tilde{\chi}^2(\tilde{\delta}_n(\upsilon)-\tilde{\delta}_n^*), \end{cases}$$

其中 $p=1,2,\cdots,P$，$n=1,2,\cdots,N$，$\varphi_p,\tilde{\varphi}_n,h_p,\tilde{h}_n,\theta_p,\tilde{\theta}_n,\chi,\tilde{\chi}>0$。

**定理1** 在假设1和假设2下，对于控制器(15)和(16)，如果满足

$$2\sum_{n=1}^{N}\mathcal{M}_n\left(\cdots\right)<\text{（下略）}$$

则MBAMNNs (8) 和 (9) 可以实现CS。

**数值仿真**

本节通过两个数值算例验证本文所推导的理论结果。

**算例1** 考虑由两个节点组成的以下MBAMNN：

$$\begin{cases} \mathcal{CH}_{\upsilon_0}^{\upsilon}D_{\upsilon}^{\gamma}z_p(\upsilon)=-a_pz_p(\upsilon)+\sum_{n=1}^{N}b_{pn}(z_p(\upsilon))f_n(\tilde{z}_n(\upsilon))+\sum_{n=1}^{N}c_{pn}(z_p(\upsilon))f_n(\tilde{z}_n(\upsilon-\tau))+o_p(\upsilon),\\[6pt] \mathcal{CH}_{\upsilon_0}^{\upsilon}D_{\upsilon}^{\gamma}\tilde{z}_n(\upsilon)=-\tilde{a}_n\tilde{z}_n(\upsilon)+\sum_{p=1}^{P}\tilde{b}_{np}(\tilde{z}_n(\upsilon))g_p(z_p(\upsilon))+\sum_{p=1}^{P}\tilde{c}_{np}(\tilde{z}_n(\upsilon))g_p(z_p(\upsilon-\tau))+\tilde{o}_n(\upsilon), \end{cases}$$

其中 $p,n=1,2$，$\upsilon_0=2$，$\gamma=0.95$，$\tau=1$，$a_1=1.5$，$a_2=1.5$，$\tilde{a}_1=2.6$，$\tilde{a}_2=4$，

$$f_n(\tilde{z}_n(\upsilon))=0.5(|\tilde{z}_n(\upsilon)+1.3|-|\tilde{z}_n(\upsilon)-1.3|)$$

$$g_p(z_p(\upsilon))=1.5\tanh(z_p(\upsilon))$$

$$o_1(\upsilon)=o_2(\upsilon)=0.3\sin(3\upsilon)$$

$\tilde{o}_1(\upsilon)$（下略）。

**结论与未来工作**

本工作采用混合控制和不连续非线性控制策略来探索MBAMNNs的同步问题。首先，通过CHF定理和多种不等式技巧获得了一个新的CHF不等式。随后，利用所导出的不等式和两种设计的控制策略，建立了一系列充分准则以确保MBAMNNs实现CS和F-TS。显然，我们的同步准则在实际中便于验证。最后，通过一系列数值（下略）。

**CRediT作者贡献声明**

杨利：撰写——初稿，可视化，软件，方法论。李宏丽：撰写——审阅与编辑，验证，监督，获取资金，概念化。张龙：撰写——审阅与编辑。胡成：形式化分析。江海军：撰写——审阅与编辑。曹进德：获取资金，撰写——审阅与编辑。

**利益冲突声明**

作者声明不存在利益冲突。

**致谢**

本工作得到天山人才培育计划（项目编号：2024TSYCCX0003）、新疆杰出青年科学基金（项目编号：2024D01E01）和国家自然科学基金（项目编号：12262035、62576098）的部分资助。

杨利|李宏丽|张龙|胡成|江海军|曹进德