具有任意有限个相互连接神经元和有限时延的离散时间 Hopfield 神经网络的混沌现象

《Neurocomputing》：Chaos in discrete-time hopfield neural networks with an arbitrary finite number of mutually connected neurons and finite delays

　　

摘要：我们证明，在简洁且易于验证的充分条件下，具有任意有限个全互联神经元和有限个时延的离散时间神经网络可以表现出混沌动力学行为。这与现有研究形成关键区别，因为现有研究通常对神经元数量和时延数量施加约束。为了分析该系统，通过新颖的投影坐标选择和等价的升维变换，我们将神经网络转化为一个无时延的离散动力系统，从而构造出一个拓扑不变子系统。随后，我们严格证明该不变子系统与双 sided符号动力系统拓扑共轭。这确认了该类神经网络中存在各种类型的混沌，并为离散时间递归神经网络的混沌分析提供了新的视角。最后，给出了数值算例以验证我们理论发现的有效性和有效性。

引言：近几十年来，研究人员记录了神经系统中多样化的混沌现象，证明了混沌神经网络在调节神经活动中的重要作用[1]-[9]。例如，在优化领域，Aihara等人率先将混沌Hopfield神经网络应用于最优搜索算法[10]；Inoue通过混沌振荡器耦合构建了混沌神经网络以实现联想记忆功能[11]；Frey开发了基于混沌神经网络的随机序列生成安全通信算法[12]。迄今为止，混沌神经网络已被广泛应用于安全通信[13]、[14]、图像加密[15]、[16]、[17]、[18]、[19]、联想识别记忆[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、组合优化[25]、[26]、深度学习[27]、[28]、采样数据同步[29]、[30]以及信息科学[31]、[32]等领域。值得注意的是，这些应用大多严重依赖神经网络的混沌行为，使得神经网络动力学分析成为一项基础且关键的研究工作。

为了深入且明确地洞察神经网络的动力学特征，研究人员主要聚焦于简化后的神经网络系统（[33]、[34]、[35]、[36]、[37]、[38]、[39]、[40]、[41]、[42]）。具体而言，研究简单系统的混沌动力学行为及其他性质具有重要价值，因为在此类系统中观测到的复杂性往往可以推广到大规模神经网络。

在实际应用中，构建离散时间神经网络是不可或缺的，因此离散神经网络在过去几十年中引起了广泛的研究关注（[37]、[38]、[43]、[44]、[45]、[46]）。例如，Huang和Zou考察了一个由两个相同神经元组成的简单离散神经网络，并证明了该时延系统在意平衡点附近表现出Li-Yorke混沌[44]。对于由两个不同神经元组成的神经网络，参考文献[37]、[38]、[47]提出了混沌产生的不同条件。

然而，现有研究主要聚焦于由2个神经元或3个全互联神经元组成的简化神经网络，对于具有任意有限个全互联神经元、任意有限时延和一般激活函数的离散时间递归神经网络的分析仍存在空白。除了对低维离散神经网络进行直接混沌分析之外，近年来与神经动力学相关的混沌研究还涵盖了混沌同步、时延复杂网络以及面向混沌的实际应用，但这些工作在网络架构、时延处理、分析目标和混沌表征方面与本研究存在显著差异。

Liu等人[48]设计了一种噪声容限模糊型归零神经网络作为控制器以实现鲁棒混沌同步，其结果主要依靠数值仿真支撑。他们的神经网络充当同步单元而非产生内禀混沌的系统，这与我们关注离散时间Hopfield神经网络内部固有混沌动力学有所不同。Qu等人[19]利用分岔图和Lyapunov指数计算研究了小规模连续时间耦合神经元模型，并进一步将混沌序列应用于医学图像加密。他们对混沌的评估主要依赖于数值可观测量，而我们通过与双 sided符号动力系统的拓扑共轭来严格确认Li-Yorke混沌、Devaney混沌和正拓扑熵。Chen等人[49]研究了具有时变时延的连续时间复杂网络的有限时间拓扑识别与同步，侧重于同步误差的收敛性。

相比之下，我们处理任意有限离散时延和任意有限个全互联神经元，且不以同步或拓扑重构为目标。我们提出的易于验证的充分条件仅依赖于神经元之间的连接强度。针对n=2和n=3的特殊情况与已有文献一致，而具有异质时延的n=4算例则说明了我们准则在网络配置方面的优势。为弥补这一研究空白，本文致力于研究以下具有任意n个全互联神经元和有限时延的一般离散时间Hopfield神经网络的混沌行为：

$$x_i(k+1) = \sum_{j=1}^n a_{ij} g_j(x_j(k - \tau_{ij}))$$

其中 $a_{ii} = -1$，$a_{ii}$ 表示第 $i$ 个神经元的内部衰减率，$a_{ij}$ 表示第 $i$ 个和第 $j$ 个神经元之间的连接强度，传输时延 $\tau_{ij}$ 为正整数，激活函数 $g_j(\cdot)$ 连续可微。基于激活函数具有 $m$ 个不同简单零点的假设，我们提出了一个仅依赖于不同神经元之间连接强度的易于实现的混沌存在充分条件。从而避免了现有研究中常见的复杂多参数约束。利用该条件，我们严格证明了Hopfield神经网络的不变子系统与双 sided符号动力系统拓扑共轭。这种共轭意味着所提出的神经网络表现出Li-Yorke混沌、Devaney混沌、正拓扑熵等特性。

本文其余部分结构如下。在第2节中，通过新颖的投影坐标选择和等价的升维变换，我们将神经网络系统(1)转化为定义在 $\ell^\infty$ 上的动力系统，并定义了一个从 $\ell^\infty$ 到自身的单参数映射族 $F$。利用 $F$ 的有利性质，通过基于投影的方法 $P$ 确定了变换系统的一个不变闭集 $I$。关键步骤在于投影时刻的巧妙选择。在第3节中，我们进一步证明子系统 $I$ 与具有 $m$ 个符号的符号系统 $\Sigma$ 拓扑共轭。最后，提供了数值仿真以验证理论发现。

预备知识与基本假设：设 $\ell^\infty$ 表示配备上确界范数 $\| \cdot \| = \sup_{k \in \mathbb{Z}} |x(k)|$ 的所有有界实数序列构成的Banach空间。

定义移位映射 $S: \ell^\infty \to \ell^\infty$ 为 $S(x)_k = x_{k+1}$ 对所有 $x \in \ell^\infty$。显然，$S$ 是双射的，其逆映射为 $S^{-1}(x)_k = x_{k-1}$。$S$ 的 $n$ 次迭代，即 $S$ 与自身复合 $n$ 次的结果记为 $S^n$。

考虑配备以下度量的双 sided符号空间 $\Sigma$：

$$d(x, y) = \sum_{k=0}^{\infty} 2^{-(k+1)} \delta(x_k, y_k)$$

该度量通过从零索引开始计数的第一个不同坐标来比较两个序列。更准确地说，如果 $x \neq y$ 且 $x_k = y_k$ 对所有 $k \leq n$ 成立，而 $x_{n+1} \neq y_{n+1}$，则 $2^{-(n+2)} \leq d(x,y) \leq 2^{-(n+1)}$。

主要结果与证明：在本节中，我们建立系统(1)中混沌行为的存在性。基于引理2.2，我们首先定义一个关键变换并分析其性质，然后证明系统(1)的不变子系统与具有 $m$ 个符号的双 sided符号系统之间的拓扑共轭。

数值仿真：在本节中，我们呈现数值仿真结果以验证第3节中推导的理论发现。考虑了两个具有不同类型激活函数的算例。在呈现数值结果之前，我们指出两个算例中的参数选取均满足定理3.1的条件。

算例4.1：我们首先考虑以下具有四个全互联神经元的时延离散时间Hopfield神经网络，该系统可扩展至任意数目：

结论：在本文中，我们研究了具有时延的离散时间Hopfield神经网络的一类混沌动力学行为。为应对时延带来的分析挑战，我们提出了一种新颖的基于投影的方法，将原始时延神经网络转化为等价的无时延离散动力系统。基于此变换，我们推导了一个混沌存在的简洁充分条件，该条件仅依赖于神经元之间的连接强度。

CRediT作者贡献声明：吴晓英：撰写——初稿。陈元龙：撰写——审阅与编辑。刘新智：可视化。黄庭文：撰写——审阅与编辑。

利益冲突声明：作者声明不存在已知的财务利益或个人关系可能影响本文所报告工作的公正性。

致谢：本研究部分得到广东省2025年研究生教育创新计划项目（2025ANLK_073）、广东省2025年教育科学规划项目（高等教育专项2025GXJK0119）、广东省高校金融数据处理与安全重点实验室（GDUF, 2025KSYS013）以及广东省高校重点领域专项（2025ZDZX4046）的支持。

吴晓英于2010年获湖北大学运筹学与控制论硕士学位。2020年至2021年，她为南京大学数学系的访问学者。目前她是广东财经大学金融数学与统计学院副教授。其当前研究方向包括控制理论、网络化控制、复杂网络理论以及……

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