通过脉冲控制实现时延反应扩散神经网络指数同步的条件

《Neurocomputing》：Conditions for exponential synchronization of delayed reaction-diffusion neural networks via impulsive control

　　

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  我们研究带有时滞的驱动-响应反应扩散神经网络脉冲同步问题，建立了一个统一的分析框架。
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  对激活函数施加了一个松弛的双侧斜率条件，允许斜率上下界同时为负和为正。
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  建立了较为宽松的条件以实现指数同步，改进了文献中已有的结果。

引言

本文讨论的模型将扩散项引入具有神经元间反馈互连的经典神经网络动力学中——即反应扩散神经网络（RDNNs），该模型能够同时捕获时间演化和空间相互作用，从而对复杂行为进行更加全面的表征，并引起了广泛的研究关注。关于RDNNs的理论研究包括文献[1]、[2]，它们分别研究了外部干扰下切换RDNNs的耗散同步问题以及脉冲RDNNs的适解问题。扩散项的引入极大地拓展了传统神经网络的应用范围，特别是在图像加密方面，如文献[3]、[4]所示。这些应用激发了本文对RDNNs同步问题的理论研究，但具体的面向应用的实现则超出了本文的讨论范围。

同步是一种广泛存在的自然现象，贯穿于各种生物、物理和工程系统之中，并且对于人脑认知障碍中的神经元同步/去同步至关重要[5]。这激发了研究者们对神经网络同步现象的广泛兴趣。同步从根本上涉及调节响应系统，使其状态轨迹与指定的驱动系统保持一致。典型形式包括渐近同步[6]、输出同步[7]以及滞后同步[8]。其中，指数同步更适合需要同步速率较高的场景[9]。

在构建神经网络模型时，引入激活函数赋予了网络非线性表达能力，从而克服了纯线性映射的局限性，实现了对复杂非线性关系的逼近。许多研究假设激活函数具有正斜率。例如，文献[10]研究了模糊神经网络，并使用离散时间模糊控制在满足某个线性矩阵不等式条件的情况下保持闭环系统稳定。在文献[11]中，设计了一种采样数据控制器，即使在存在不确定性的情况下，也能实现对具有时变时滞和嵌入反应-扩散动力学网络的鲁棒同步。为了放松激活函数斜率条件的限制，近年来提出了新的假设，并成功地应用于各种神经网络模型。例如，文献[12]研究了具有分布时滞和离散时滞的反应-扩散神经网络，并引入了基于局部空间平均的间歇采样数据控制方法，该方法使得仅使用少量可用执行器和传感器即可实现同步。在文献[13]中，具有反应-扩散动力学且由离散时间输入驱动耦合神经网络，通过基于边界和分布式采样数据测量的约束边界控制器实现了同步。文献[14]研究了具有空间分布扩散动力学和随机时滞的神经网络，考虑了分布测量、基于边的测量及其共存情况，提出了一种自适应边界控制策略，并给出了依赖于时滞的同步判据。通过采用双侧有界斜率条件，模型表现出更加复杂的非线性行为。因此，所推导的同步判据适用于更加一般的神经网络模型，从而大大提高了理论结果的适用性。

上述采用的双侧斜率条件与用于处理该条件的矩阵不等式工具密切相关，类似工具也已被用于处理RDNN同步之外相关脉冲和偏微分方程设置中的松弛非线性问题：文献[15]通过改进的积分不等式推导了随机反应扩散神经网络的基于LMI的同步判据；文献[16]对切换反应扩散流行病模型进行了异步模糊状态估计；文献[17]为互连PDE系统开发了模糊抗扰动控制策略。然而，这些工作均未在具有常时滞的反应扩散神经网络脉冲同步分析中考虑本文所采用的双侧斜率条件。

综合考虑以上各个方面，本文的主要贡献如下：

• (i)
  我们提出了带有常时滞的驱动-响应反应扩散神经网络的脉冲控制同步方法，建立了脉冲控制下指数同步的统一分析框架。
• (ii)
  对激活函数施加了松弛的双侧斜率条件，允许斜率上下界同时为负和为正，这将理论结果的适用范围扩展到不满足经典正斜率或非负斜率假设的激活函数。
• (iii)
  通过引入适当选取的零值恒等式来处理由负斜率下界产生的不定对角项，建立了可处理的基于LMI的充分条件，所得到的同步判据比已有结果更为宽松，并通过与现有判据的定量比较进一步证实了这一点。

符号说明：设 $$ 表示维数为 $$ 的欧几里得空间，而 $$ 表示区间 $$。对于矩阵 $$，$$ 表示其转置。实对称矩阵 $$ 的最大特征值和最小特征值分别用 $$ 和 $$ 表示。设 $$ 表示在第 $$ 个位置取值为 $$、其余位置均为零的单位列向量。记扩散区域为 $$，其中 $$ 具有光滑边界，记为 $$。矩阵 $$ 为对角矩阵，其元素为 $$。方阵 $$ 表示其为正定对称矩阵。对于对称矩阵，标记为 $$ 的项表示由对称性确定的元素，可根据对称关系推知。设 $$ 表示单位矩阵，$$ 表示零向量。定义 $$ 为定义在 $$ 上的连续实值函数族。设 $$，$$ 的 $$-范数定义为：对所有 $$，$$。除另有说明外，向量和矩阵的维度均与上下文对齐。对于函数 $$，$$ 表示 $$ 在 $$ 上的最小上界。

章节摘要

预备知识

考虑由反应扩散方程描述的以下 $$ 个神经元的神经网络$$$$其中 $$ 表示空间位置 $$ 和时间 $$ 处的状态向量，且 $$。$$ 表示描述传输过程的矩阵。自反馈系数矩阵为 $$。$$ 和 $$ 分别表示瞬时耦合矩阵和延迟耦合矩阵。$$ 是固定时滞，$$ 表示存在于网络动力学中的常值外生输入。向量函数$$$$表示激活函数，

主要结果

在给出主要结果之前，我们先总结本部分使用的恒定假设和结构条件：扩散区域 $$ 满足式(2)-(3)和(8)-(9)中的光滑边界条件和齐次Dirichlet条件；激活函数满足假设3中的双侧斜率条件；脉冲增益满足式(10)中的 $$；定理1中出现的矩阵 $$、$$、$$ 取为对角正定矩阵，其中 $$ 的对角结构使得

数值算例

假设3比假设1和假设2更为宽松和一般化，增强了同步分析的适用性；我们通过两个例子中使用不同的激活函数来说明这一点。所提出的策略可按以下步骤实施：(i) 由系统参数计算 $$；(ii) 由假设3确定 $$；(iii) 选取 $$ 和脉冲间隔；(iv) 求解LMI (20) 得到 $$；(v) 验证条件(21)-(22)，若不可行则调整参数；(vi) 实施

结论

本文建立了脉冲控制下具有时滞的反应扩散神经网络指数同步的基于LMI可验证的充分条件。通过将矩阵不等式分析与反证法相结合，我们采用了斜率界可能为负、零或正的激活函数。数值算例使用了同时满足非负和负斜率界的激活函数，验证了理论结果及其降低保守性的效果。

CRediT作者贡献声明

孙英杰：撰写——初稿、验证、方法论、调查研究、形式化分析。楼旭阳：撰写——审阅与编辑、指导、方法论、形式化分析、概念构思。盛立：撰写——审阅与编辑、方法论、形式化分析。

利益冲突声明

作者声明不存在可能影响本文所述工作的已知竞争性经济利益或个人关系。

孙英杰目前正在中国江苏无锡江南大学自动化与智能科学学院（物联网研究院）攻读硕士学位。其当前研究方向包括反应-扩散神经网络、脉冲控制和时滞系统。

孙英杰|楼旭阳|盛立