基于物理信息神经网络求解时变参数Heston模型时间分数阶Fokker-Planck方程

《Machine Learning with Applications》：Physics-informed neural networks for the fractional Fokker–Planck equation in a Heston-type stochastic volatility model with time-dependent parameters

　　

摘要

本研究提出了一种基于物理信息的神经网络框架，用于求解具有完全时变参数的Heston型模型中资产价格与随机波动率联合概率密度所满足的时间分数阶Fokker–Planck方程。记忆效应通过阶数为α=2H的Caputo分数阶导数引入，其中Hurst指数H∈(0,1/2]表征异常亚扩散，且当H=1/2时该框架自然退化为经典Heston Fokker–Planck方程。控制方程直接嵌入神经网络损失函数，并与初始条件、边界条件及归一化约束相结合，形成一种无网格求解器，能够在无需构建网格的情况下处理强耦合的时变系数。主要研究发现，时变参数显著增强了随机波动率过程的非高斯特征，在截断计算域内产生了比常数参数分数阶模型更宽的概率分布、更高峰度以及更强的波动率聚集。与有限差分法、谱方法和蒙特卡洛方法的对比验证了所提方法在精度与鲁棒性方面的有效性。在欧式期权定价的应用中，该框架生成了符合实际特征的隐含波动率偏斜曲线，所计算期权价格系统性地高于Black–Scholes基准值，尤其对价外合约更为显著，从而表明将分数阶记忆与时变随机波动率相结合在金融建模中具有重要的实际应用价值。

Muhammed Ahmed Ibrahim|Tamirat Temesgen Dufera|Sileshi Mebrate