基于截断特征函数正则化与模态核反卷积的瞬态扩散逆源显式识别方法

《Heat Transfer》：Explicit Methods for Inverse Source Identification in Transient Diffusion via Truncated Eigenfunction Regularization of Temperature Measurements

　　

研究人员提出并比较了两种显式方法，用于估计抛物型扩散方程中随空间和时间变化的源项，这些方法源自通过经典积分变换技术（Classical Integral Transform Technique, CITT）获得的解析解。该公式在模态域中产生一个解耦系统，从而能够独立估计变换后的源系数。研究人员考虑了两种方法论：基于时间导数的方法（Time-Derivative-Based Method, TDBM），它利用有限差分逼近变换势的时间导数，得到显式微分公式；以及基于核反卷积的方法（Kernel-Deconvolution-Based Method, KDBM），其中通过CITT获得的解耦模态方程被改写为具有已知指数核的第一类Volterra积分方程，从而通过因果核反卷积显式恢复变换后的源系数。研究人员引入了一种基于偏差原理的正则化策略，将测量温度数据投影到截断特征函数基上，在估计源系数之前提供谱噪声滤波并选择可容许的模态成分。理论误差传播分析表明，两种方法源于同一模态方程的等价微分表示和积分表示。对于固定的时间步长，KDBM递推中采用的矩形求积在模态指标方面一致地限制了直接噪声放大，同时引入了对高阶模态系数的确定性衰减。一维和二维问题的数值结果，在考虑不同噪声水平和材料属性的情况下，表明两种方法均能提供物理一致的重建。然而，KDBM在模态含量较高的问题中表现出更强的鲁棒性，因为在这些问题中噪声放大的效应更为显著。

热/质扩散模型中的逆源识别问题广泛出现于工程热诊断、储层表征、医学扩散成像和生物系统研究。此类问题通常不满足稳定唯一性，即在不适定意义上是病态的，直接对含噪测量数据进行反演会导致严重不稳定。现有隐式方法（如贝叶斯/优化方法）鲁棒但需反复求解正问题、计算和存储开销高；显式方法虽有解析/半解析优势，但对正则化策略和模态截断的系统处理仍不足。为此，研究人员基于经典积分变换技术(CITT)构建模态域显式反演框架，并引入温度数据的截断特征函数投影作为谱正则化，以解决空间-时间相关源项估计问题。

研究人员对一维和二维瞬态热传导问题开展数值实验，使用聚甲基丙烯酸甲酯(polymethyl methacrylate, PMMA)和多晶二氧化硅(SiO₂)两种不同热扩散率材料、三类不同谱特征的源项和多种高斯噪声水平，系统比较了基于时间导数的方法(time-derivative-based method, TDBM)与基于核反卷积的方法(kernel-deconvolution-based method, KDBM)。结果表明，两种方法均能重建源项时空结构；KDBM在精度和鲁棒性上整体优于TDBM，尤其在高噪声、高热扩散率、二维高模态含量问题中优势明显。基于Morozov偏差原理(Morozov discrepancy principle)的截断选择能有效控制谱截断，使重建在一维和二维场景下均保持稳定。该研究为瞬态扩散逆源识别提供了一种计算高效、可显式实施的谱正则化途径。

关键技术方法如下：利用Sturm-Liouville本征函数展开对温度测量数据进行谱投影，并用Morozov偏差原理按残差方差与噪声水平一致的原则自动选择截断阶数；TDBM采用有限差分近似模态域时间导数；KDBM将模态方程离散为下三角Toeplitz矩阵系统，通过前代递推实现因果核反卷积。正问题温度数据由Wolfram Mathematica的NDSolve独立生成以避免逆犯罪(inverse crime)；模拟噪声为零均值高斯扰动，传感器分别沿一维等距分布和二维矩形网格中点分布。

5.1 正问题细节：为独立于反演方法生成数据，研究人员用NDSolve数值求解正模型，并选取PMMA与SiO₂两种材料。一维源项为空间正弦且时间突然激活；二维两个源项分别具有空间间断/时间平滑和空间平滑/时间间断特征。

5.2 一维问题的逆源性能分析：采用41个传感器和25个时间点，在三种噪声水平下，TDBM与KDBM均能捕获源项主空间结构和时间支撑；噪声增大时误差缓慢上升，表明两种方法均较稳定，且KDBM的归一化均方根误差略低。

5.2.1 基于Morozov偏差原理的截断控制：通过比较重建温度残差方差与目标噪声方差，偏差原理在噪声增大时自动减少保留模态数：PMMA由17降至10，SiO₂由9降至6。高扩散率SiO₂因自身对高频衰减更强，所需模态数更少。

5.2.2 定量误差分析：以归一化均方根误差(normalized root mean square error, NRMSE)为指标，在所有测试情形下KDBM略优。例如噪声水平0.01时，PMMA的NRMSE从TDBM的0.0776降至KDBM的0.0736；SiO₂从0.0778降至0.0753。误差随噪声增加幅度很小。

5.2.3 低频与高频模态行为：模态误差分析显示，低频区（模态1–10）两者精度接近；中间区（11–20）TDBM误差增长更明显，KDBM因矩形求积引入的衰减因子1/(1+λ_nΔt)抑制高频扰动而更平稳；高频率区（21–30）误差均快速增长，体现病态性；SiO₂高扩散率使中高频模态误差增长更快。

5.3 二维场景推广：二维问题中，KDBM在所有材料、源项和噪声组合下均获得更低NRMSE。对高扩散率SiO₂差异尤其显著：源1噪声0.02时NRMSE从TDBM的0.1905降至KDBM的0.0967。源1的空间间断使重建出现吉布斯现象(Gibbs phenomenon)振荡，偏差原理能缓解但不能消除。

5.4 计算成本：计算成本主要由候选模态数和时间测量数决定，与源项形状无关。一维完整反演约0.14秒（TDBM）和0.34秒（KDBM）；二维约4.6–4.7秒（TDBM）和8.2–8.3秒（KDBM），即使估计数百个模态系数仍在数秒内完成。

讨论与结论：讨论指出，KDBM的稳健性来自矩形求积的谱滤波而非积分算子本身的平滑；PMMA低扩散率下两种方法对主导模态精度相当，SiO₂高扩散率下差异加大。最终结论可概括为：CITT模态域显式反演结合偏差原则截断正则化是高效且有竞争力的途径；KDBM是精度和稳定性更优的显式选择；光滑源易于重建，间断源需更高谱分辨率且对噪声更敏感。