蓝天灾难与双稳态在具有化学和电耦合的耦合蛭心脏中间神经元模型中的共存

《Neural Networks》：Co-existence of Blue-sky catastrophe and Bistability in a coupled Leech-heart inter-neuron model with both chemical and electrical coupling

　　

• 在具有化学和电突触的耦合神经元中观察到了爆发和尖峰动力学。
• Hopf、鞍节点、分支点、BT和尖点分岔驱动了状态转变。
• 化学耦合诱导了尖峰双稳态和蓝天灾难事件。
• 推导并在耦合LH中间神经元模型中通过数值方法验证了完全同步条件。

引言

神经元振荡调节皮层兴奋性，并几乎参与每一个认知任务，包括信息编码、记忆形成和感知（Fr?hlich和Bazhenov，2006）。这些振荡源于单个神经元的活动，可大致分为两种发放模式：爆发模式和尖峰模式。爆发动力学由峰间期的多模态分布形成，其中不同峰值代表簇内间隔。然而，稳态尖峰与峰间期的单模态结构相关联。稳态尖峰是单神经元模型中最常见的发放模式，对感觉编码、注意力和运动控制等神经功能具有重要意义（Bazhenov, Timofeev, Steriade, Sejnowski, 2000; Borisyuk, Kazanovich, 2004; Gray, Singer, 1989）。而爆发活动以快速尖峰簇为特征，簇间存在较长的静息期，在内分泌细胞和中枢神经系统中普遍存在。该活动主要与睡眠（Steriade等，1993）、病理性神经状态以及记忆形成过程相关（Lisman，1997）。稳态尖峰与爆发模式之间的转变揭示了神经元动力学及其潜在慢-快机制的关键方面（Shilnikov和Cymbalyuk，2005）。

离子和电荷从突触前终端传递到相应神经元的突触后终端，通过电磁场分布的变化影响场能的交换，从而影响突触的形成和切换。电突触允许离子在神经元之间以双向电流流动的方式通过。它被表示为通过缝隙连接与耦合神经元之间膜电压差成正比的项（Bennett, 1966; Furshpan, Potter, 1959; Furshpan, Potter, 1957）。在此背景下，Vaughn和Haas（2022）通过光学控制和活动测量技术，在大脑不同区域提供了电突触对多细胞网络模型的功能意义。在神经元通讯中，化学突触也扮演着非常重要的角色，其中由突触前神经元释放的神经递质跨越突触间隙并与突触后膜上的受体结合。通过这一过程，信号在神经元之间传递。Zhang和Liao（2017）研究了基于忆阻器的FHN神经元网络的混沌动力学和同步，并推导了单向和双向耦合电路中混沌同步的充分条件。Yamakou（2020）利用Krasovskii-Lyapunov理论，在适当的电耦合和化学耦合强度下建立了耦合五维HR模型中同步流形的稳定性。Hu等（2024）对FHR神经元获得了类似结果。受这些研究的启发，这些研究考虑了通过电突触和化学突触耦合的相同神经元，我们对LH中间神经元模型采用了类似的耦合策略。

LH中间神经元是早期且最具影响力的中间神经元模型之一，具有慢-快时间尺度范式，表现出稳态和爆发活动。在Nadim等（1995）和Hill等（2001）建立的框架基础上，发展了一个14维LH模型，改进了固有和突触电流，展示了协调中间神经元如何产生节律性振荡。Cymbalyuk和Shilnikov（2005）随后将Hill的模型重新表述为三维系统，并从多个角度对其动力学行为进行了全面研究。在某些药理学条件下，Shilnikov和Cymbalyuk（2005）探索了该单个LH系统由于控制参数变化而存在的蓝天灾难现象。他们进一步考虑了另一个三维LH模型（与Shilnikov和Cymbalyuk, 2005略有不同），该模型能够产生双稳态动力学（Cymbalyuk和Shilnikov, 2005）。他们从两个共存的周期吸引子开始，观察到控制参数（VK2Shift）的进一步变化导致其中一个吸引子发生混沌转变，而另一个则继续保持其周期性。这些双稳态和多稳态动力学与大脑的健康和病理状态相关，其中不同发放模式的形成由离子通道控制（Da Silva, Blanes, Kalitzin, Parra, Suffczynski, Velis, 2003; Kelso, 2012）。Sharma等（2020）研究了单个和网络分数阶LH中间神经元模型的动力学，重点关注尖峰和爆发振荡的形成与调节。此外，Upadhyay等（2024）分析了电磁感应对LH神经元模型单个神经元和扩散网络模型的影响，揭示了多样的尖峰和爆发行为以及复杂的空间时间模式，包括螺旋和反螺旋波。

在此背景下，我们设计了一个六维耦合LH系统，同时包含化学和电耦合，扩展了Shilnikov和Cymbalyuk（2005）和Shilnikov等（2005a）提出的单个LH模型，以研究其丰富的动力学特性。本研究的主要创新贡献如下：

1. 已有若干工作（Gu, Pan, Li, 2015; Gu, Li, Jia, Chen, 2013）对LH模型进行了研究并探讨了仅包含电耦合的耦合系统中的同步转变。然而，据我们所知，化学耦合对LH模型的影响尚未被探索。在本工作中，我们将化学和电耦合同时引入耦合LH中间神经元模型，并研究它们对系统动力学的综合影响。

2. 我们探索了单个耦合LH系统中蓝天灾难和双稳态共存的可能性。这些动力学在不同参数区域中相对于化学耦合系数（r）被观察到。值得注意的是，这些结构在不同版本的LH模型中随参数VK2Shift的变化而被明显观察到（Cymbalyuk, Shilnikov, 2005; Shilnikov, Cymbalyuk, 2005）。

3. 在本工作中，我们采用归一化平均同步误差作为标准分析度量，以表征电耦合和化学耦合产生的同步。在之前的研究中，Gu等（2013）主要关注峰间期（ISI）技术来研究耦合LH系统中电耦合驱动的同步。此外，我们的耦合模型随着化学耦合系数的变化，经历从反相到同相，然后又经历反相和同相同步状态的转变，而电耦合强度和VK2Shift值固定。在此背景下，Adhikari等（2011）指出延迟耦合LH系统中弱电耦合强度的变化如何引入同相和反相同步状态之间的相位翻转转变。因此，在不引入延迟的情况下，我们在系统中获得了类似的转变状态。

4. 在单个LH模型中，VK2Shift的变化提供了鞍节点分岔的存在。然而，我们开发的耦合LH模型表现出更丰富的分岔结构。电耦合和化学耦合强度的变化导致多个余维一分岔（Hopf、鞍节点、分支点）和余维二分岔（Bogdanov-Takens、尖点）。这些分岔在适当的参数值下被数学上证明，展示了由于耦合而获得的动力学丰富性的提升。

总体而言，这些发现突出了电耦合和化学耦合在塑造神经元系统同步动力学方面的重要作用。大脑系统中的协调活动主要通过神经元动力学的同步来促进。信息的处理、信号的交换以及爆发模式和节律性振荡等集体行为的形成均由同步控制。此外，网络拓扑和突触耦合控制着导致神经同步的相互作用。Boaretto等（2021）报告称，离子传导的微小扰动可能会导致同步的显著变化。对同步的完整理解有助于区分大脑的健康和病理状态，如癫痫和阿尔茨海默病。值得注意的是，癫痫发作通常是由于皮层和神经群体间异常神经同步所形成的（Jiruska, De Curtis, Jefferys, Schevon, Schiff, Schindler, 2013; Li, Cui, Jiruska, Fox, Yao, Jefferys, 2007）。

本文的整体框架如下。在第2节中，我们开发了包含电耦合和化学耦合的耦合模型。第3节研究了系统的动力学行为，包括在不同电耦合和化学耦合强度下的时间序列分析以及由数学论证支持的分岔分析。我们进一步确定了导致双稳态和由化学耦合系数变化引起的蓝天灾难发生的条件。在第4节中，通过同步探索了耦合神经元的长期行为。最后在5节中进行了讨论和结论，并阐述了本研究的实际意义和应用。

模型构建

此处，我们考虑Cymbalyuk和Shilnikov（2005）提出的简化LH中间神经元模型，该模型主要捕捉钠离子和钾离子的动力学行为。在钙电流阻断结合外向电流部分抑制的条件下，该模型表现出缓慢的、平台状振荡，其特征为延长的平台和10-50秒的平台间间隔。泄漏电流、外向电流和瞬时钠电流足以……

模型系统的动力学

在本节中，我们通过追踪化学耦合强度r和电耦合强度K作为主要控制参数来研究系统（1）的动力学行为，同时保持VK2Shift固定。按照（Cymbalyuk, Shilnikov, 2005; Upadhyay, Pradhan, Sharma, Mondal, 2024）的做法，我们考虑VK2Shift的三个代表性值，即?0.02555、?0.02和0.0025，它们对应于未耦合LH神经元的不同动力学区域，包括双稳态、爆发模式和……

同步现象

在网络中通过单个神经元或神经群体间相互作用产生的时间行为，通常被称为神经元动力学中的同步。尽管单个神经元具有固有的不规则性和非线性活动，但通过电突触和化学突触的相互作用可能产生相干发放模式，如相位锁定、节律性振荡和爆发同步。这些集体动力学对……具有重要的意义。

讨论与结论

实验证据表明，不同的药理学条件会诱导一系列神经元发放模式，以及不同动力学状态之间的转变（Contreras, Schleimer, Gulledge, Schreiber, 2021; Llinás, Jahnsen, 1982; Marder, 2011）。通过检查突触对人脑连接组的影响，可以获得对神经元通讯通路的完整理解（Oh, Harris, Ng, Winslow, Cain, Mihalas, Wang, Lau, Kuan, Henry等，2014; Van Essen, Smith……）

作者贡献声明

Ranjit Kumar Upadhyay：审阅与编辑、初稿撰写、可视化、验证、监督、项目管理、方法论、调查研究、概念化。Debadri Bera：审阅与编辑、初稿撰写、可视化、验证、软件、方法论、形式分析、数据整理。Debasish Pradhan：审阅与编辑、初稿撰写、可视化、验证、软件、方法论、调查研究、形式分析、数据……

利益冲突声明

作者声明不存在利益冲突。作者对其工作的准确性和原创性负责。AI工具仅用于增强清晰度、语法和呈现方式。

致谢

D.B. 感谢印度政府教育部通过INSPIRE奖学金（IVR编号：202300000911）提供的支持。此外，本工作由印度政府Anusandhan国家研究基金会（ANRF）、科学与工程研究委员会（SERB）在资助号CRG/2023/000583下对作者R.K. Upadhyay（项目负责人）的支持。

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