准脆性固体弹塑性相场断裂的深度能量方法

《Theoretical and Applied Fracture Mechanics》：A deep energy method for elasto-plastic phase-field fracture in quasi-brittle solids

　　

- 首个针对弹塑性相场断裂的深度能量法
- 一个可微的 Rankine 返回映射被嵌入增量势函数中
- 混合分解策略：网络求解位移，网格求解损伤场
- 与尺度无关的模型匹配了神经求解器的谱偏置
- 求解器捕捉到了循环迟滞和塑性残余变形

引言

相场方法通过连续标量场正则化离散裂纹，并在能量变分框架内统一了裂纹成核、扩展、分叉与合拢过程 [1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]。然而，对于混凝土等准脆性材料 [10]、[11]、[12]、[13]，标准 AT1 和 AT2 模型对正则化长度敏感：均匀试样的临界强度通常随 $l_0$ 增大而降低。因此，匹配给定的抗拉强度和断裂能要求 $l_0$ 远小于结构尺寸，且损伤带——宽度仅为数个 $l_0$——必须被精细的空间离散化所分辨 [14]、[15]。这增加了传统有限元分析的成本，并产生了强烈局部化的裂纹尖端应变、位移梯度和损伤场。因此，困难不仅在于网格分辨率：所选的本构正则化直接决定了任何数值近似必须再现的空间频率。内聚力型相场公式和带有弹性阈值的梯度损伤模型通过独立于 $l_0$ 地引入材料强度来缓解这种依赖性 [15]、[16]、[17]、[18]、[19]、[20]。另一条途径建立在对延性断裂所开发的相场损伤与塑性耦合的基础上 [21]、[22]、[23]，利用有效应力塑性和塑性耗散将峰值强度与裂纹正则化更直接地分离开来。

在更广泛的计算断裂领域，扩展有限元方法通过富集函数表示位移不连续 [24]，而近场动力学及相关非局部算子公式用有限域相互作用取代局部微分平衡定律。相场方法则保留局部连续介质描述，并通过额外的演化方程所得的弥散标量场表示裂纹。Zhuang 等人 [25] 综述了相场断裂的理论、实现与基准特性，D?rdüncü 等人 [26] 则综述了近场动力学公式、非局部算子及其计算机实现。本文的贡献定位在弹塑性相场方程的求解策略上；其目的并非取代不连续富集或非局部断裂公式。

在神经网络能量求解器 [27]、[28]、[29] 中，同样的困难更为严重。Yu [30] 提出了深度 Ritz 方法，用神经网络参数化未知场并直接最小化变分泛函；Samaniego 等人 [31]、[32] 将此思想发展为深度能量法（DEM），以总势能为训练目标，避免了强形式残差中的高阶导数。Goswami 等人 [33] 将神经能量最小化引入弹性相场断裂，随后 Manav 等人 [34] 考察了网络架构、初始化及优化策略的影响，表明非凸能量景观和神经谱偏置可能延迟裂纹成核、过度弥散损伤场并使训练失稳。这些困难是可以预期的，因为神经网络优先学习平滑的低频成分，而较小的 $l_0$ 产生狭窄的损伤带、陡峭的位移梯度和高频裂纹尖端场。因此，改善传统相场分析中强度预测的模型要求，恰恰创造了神经代理效果最差的近似区间。

已有若干研究改善了问题的近似侧。Feng 和 Zhou [35] 提出了一种物理增强的图神经网络，将有限元网格表示为图，并通过消息传递解决局部力学相互作用，这与更广泛的基于网格的图网络发展一致 [36]。作者先前的工作 [37] 将 Kolmogorov–Arnold 层 [38] 引入该图架构，用可学习的 Chebyshev 展开替代固定激活函数，提供自适应局部谱容量，并将所得网络应用于非均质弹性相场断裂。其他方法通过有符号距离函数嵌入位移不连续 [39]，或用裂纹尖端渐近场富集试探空间 [40]。尽管这些策略增强了局部表示能力，它们仍然要求网络近似由较小正则化长度产生高频场，因此主要从网络侧解决这一不匹配问题。它们没有利用正则化长度本身作为一个自由度，使其可以选择有利于神经求解器同时保持指定的材料强度。

Fang 等人 [41]、[42] 的尺度无关弹塑性相场模型提供了一种模型侧的替代方案。该模型保留了 AT2 裂纹面泛函，在有效应力空间引入 Rankine 塑性，并对每个 $l_0$ 校准初始有效屈服应力，使得在可接受范围内均匀峰值应力等于材料抗拉强度。因此，均匀强度不再直接由 $l_0$ 支配，允许正则化长度比传统脆性校准所需的值大一至两个数量级。较大的 $l_0$ 平滑了位移场并拓宽了损伤过程区，减少了必须表示的空间频率。损伤场仍然是最局部化的变量，但其带宽比等效脆性校准下宽得多。因此，尺度无关性不仅可以作为有限元的网格经济性和校准特性，也可以作为神经能量求解器的使能模型选择：选择物理模型使得呈现给网络的场更接近其天然的近似类。

然而，将该模型引入 DEM 是一个不同的方法论步骤，因为其尺度无关响应依赖于路径相关的弹塑性演化。现有的相场 DEM 几乎完全基于弹性或退化超弹性材料，对于这些材料存在总势能。在塑性中，应力还依赖于内部变量，包括塑性应变和累积塑性乘子，因此弹性 DEM 势不再适用。取而代之的是，塑性允许载荷步逐次增量变分原理 [43]、[44]，更新状态由满足 Karush–Kuhn–Tucker 条件的返回映射获得。基于这一原理，He 等人 [45] 将 DEM 扩展到经典（非断裂）弹塑性，将内部变量的径向返回更新与受塑性离散变分公式启发的损失函数耦合，并演示了循环加载。此处使用的本构增量函数不是 He 等人的 J2 径向返回泛函：它是在弹性、单面和角点返回分支上分别消去塑性增量后得到的降维 Rankine 势，随后通过 $g(d)$ 退化，并通过累积塑性功耦合到不可逆断裂历史。因此，弹塑性断裂的相场 DEM 提出了耦合要求：该分支式可微增量伪势必须与不可逆损伤场及其历史驱动的驱动力相互作用；其应变梯度必须等于返回映射的应力，同时每步增量最小化期间步初始内部变量保持冻结；并且本构更新必须与反向模式自动微分兼容，而不需要嵌套局部 Newton 迭代、一致切线或隐函数微分。据作者所知，尚无人针对弹塑性相场断裂建立并验证深度能量法。这一缺失也使现有的相场 DEM 无法包含对混凝土等准脆性材料失效至关重要的塑性残余变形和循环迟滞。

位移和损伤子问题还具有不同的数值特征。在固定损伤下，位移块包含材料非线性、塑性演化和刚度退化，构成非凸增量最小化问题，其解在载荷步之间平滑演化。因此，它适合用热启动图网络求解。然而，在固定位移和历史场时，AT2 损伤方程是线性的，其有限元离散化为对称正定系统。用另一个网络近似这一二次子问题是多余的，并且会将神经平滑直接施加在控制裂纹局部化的场上。Pantidis 和 Mobasher [46] 以及后续的相场扩展 [47]，连同相关的 GNN–FEM 框架 [48]，将神经代理引入传统有限元流程；而算子学习和其他数据驱动模型将缺陷或加载条件映射到断裂场、裂纹路径或疲劳寿命 [49]、[50]、[51]、[52]、[53]、[54]。这些方法通常离线训练网络从解数据中学习，保留有限元位移求解器，并用网络预测相场；因此其作用与 DEM 中网络参数即变分解未知量的模式存在根本区别。本文工作则直接用网络作为无需训练数据的能量最小化工具，将非凸位移块分配给图网络，在网格上求解线性损伤块后通过逐节点不可逆投影，再将结果作为节点特征返回。这种反向分配使神经近似误差远离直接决定局部化带宽的场，同时也消除了网络输出相场所需的软不可逆性和成核罚函数需求。

另一个限制涉及路径相关加载。弹性相场 DEM 可以执行几何卸载和重新加载，但无法再现塑性残余变形、损伤导致的刚度损失或循环迟滞 [55]，而这些是混凝土等准脆性材料混合模式失效的核心特征。这些响应需要塑性内部变量和损伤历史的一致演化，与相场疲劳公式中考虑的不逆累积机制密切相关 [56]、[57]、[58]、[59]。

受上述差距的启发，本文开发了一种混合图 Kolmogorov–Arnold 网络深度能量法（GKAN-DEM），用于尺度无关弹塑性相场断裂。该框架围绕一个模型侧前提和两个耦合的方法论发展构建，而非仅依赖网络复杂度。模型侧前提是：尺度无关校准允许较大的 $l_0$，产生平滑的位移场供神经代理使用，并拓宽损伤带。首先，一个可微的载荷步增量伪势嵌入了闭式 Rankine 返回映射，使得自动微分无需一致切线、嵌套局部 Newton 求解或离线训练数据即可恢复返回映射的有效应力；塑性状态仅在交错载荷步收敛后提交，保持增量变分结构，并且在载荷步之间对内部变量的一致增量处理允许卸载、重新加载、残余变形和循环迟滞。其次，混合场分解有意将节点位移增量分配给 ChebyKAN 图网络，而相场通过基于网格的线性求解和逐节点不可逆投影更新后再作为节点特征返回，使得网络从不直接输出损伤。图 1 总结了求解流程，包括载荷步之间收敛位移、损伤、塑性变量和历史场的传递，以及每个交错迭代中网格子求解器与图网络之间节点损伤的交换。

该方法首先在具有校准峰值应力的均匀软化一维杆上进行验证，该峰值应力提供了直接的强度目标；然后在带有解析极限的减截面杆上进行验证。随后在三个混凝土断裂基准上进行验证：Shi 等人 [60] 的双边开槽拉伸试验、Winkler [61] 的 L 形面板以及 Hordijk [55] 的循环三点弯曲梁。结果与采用相同控制方程、几何、标称裂纹带分辨率、本构更新和损伤公式的内部 Gridap.jl 有限元参考解以及实验和已发表数据进行比较。比较内容包括峰值载荷、裂纹路径和循环卸载–重新加载行为。然后进行场分解消融实验、ChebyKAN–MLP 比较以及跨网络深度、宽度和优化参数的鲁棒性研究，以评估混合求解策略、图架构和尺度无关模型的各自作用。

本文其余部分组织如下。第 2 节介绍尺度无关弹塑性相场公式。第 3 节描述增量伪势、混合场分解、图网络、硬边界条件和求解算法。第 4 节报告验证和校验研究。第 5 节提出消融、鲁棒性和适用范围讨论，第 6 节总结全文。

第 2 节片段

尺度无关弹塑性相场公式

本节以本文求解器实现的形式总结 Fang 等人 [42] 的相场模型。第 2.1 节介绍通过混合（能量解耦）方案与塑性耦合的 AT2 相场。第 2.2 节详细说明有效应力空间中的 Rankine 理想塑性。第 2.3 节给出使响应对正则化长度不敏感的有效屈服应力解析校准。第 2.4 节整理耦合的增量……

混合图 Kolmogorov–Arnold 网络深度能量法

本节介绍所提出的求解器。

第3.1节构建了可微增量变分势，将塑性引入能量泛函。第3.2节论证并定义了介于神经位移代理与网格原生损伤子求解器之间的混合场分解。第3.3节图神经网络架构与ChebyKAN激活，3.4节增量假设与谐波提升硬边界条件，阐述了图神经网络架构与数值验证和标定。本节在Fang等人[42]的基准测试套件上验证并评估GKAN-DEM求解器，从具有一维（半）解析结构的递进到三个加载复杂度递增的二维混凝土断裂测试：单调模式I加载（第4.3节、第4.4节）和循环加载（第4.5节）。一维算例（第4.1节、第4.2节）属于验证：标定的峰值应力和裂纹面Γ极限均具有解析目标值。敏感性研究与讨论第4节的基准测试记录了所捕捉到的失效模式以及相对于有限元计算和已有实验的定量偏差；本节探讨该方法为何有效，以及在其失效之前能够被扰动多大程度。所有研究均在全长15 mm偏移量、l0=3 mm的双边开口拉伸试件上进行——这是两个二维算例中最苛刻的一个，其中两个过程区必须相互弯曲并相互作用——因此。结论本文提出了一种混合图Kolmogorov–Arnold网络深能量方法，用于准脆性材料的弹塑性相位场断裂，在单调加载和循环加载下统一了尺度无关相位场模型、增量弹塑性能量求解以及网络表示的位移场与网格分辨的损伤场之间的混合分解。在一维验证问题和三个二维断裂基准上，该方法。作者贡献声明（CRediT）Peng Zhang：原稿撰写、可视化、验证、软件、方法论、调查、形式化分析、数据管理、概念化。Keke Tang：审阅与编辑、监督、资源获取、项目管理、资金获取、概念化。利益冲突声明作者声明不存在任何已知的竞争性经济利益或个人关系，这些关系可能会影响本文所报告的工作。致谢本工作由国家自然科学基金（编号：11872278）、上海市自然科学基金（项目编号：25ZR1401355）以及中央高校基本科研业务费资助。Peng Zhang | Keke Tang