《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》：Stochastic P-bifurcation of a fractional trirhythmic Van der Pol system under dual feedback and Lévy noise effects
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**主要结论摘要**
• 建立了具有双重反馈和Lévy噪声的分数阶三节律VDP系统。
• 构造并研究了近似等效的整数阶系统。
• 分数阶次、延迟反馈和Lévy噪声诱导P分岔。
• 速度反馈在实现三节律和高激发方面优于位移反馈。
• 稳定性指标触发P分岔，而偏斜度参数则不触发
**主要结论摘要**
• 建立了具有双重反馈和Lévy噪声的分数阶三节律VDP系统。
• 构造并研究了近似等效的整数阶系统。
• 分数阶次、延迟反馈和Lévy噪声诱导P分岔。
• 速度反馈在实现三节律和高激发方面优于位移反馈。
• 稳定性指标触发P分岔，而偏斜度参数则不触发。
**引言**
非线性动力学模型在描述物理、化学和生物过程中的振荡现象方面至关重要[1], [2], [3]。在真实系统中，此类振荡不可避免地受到来自外部环境扰动和内部机制的随机扰动的影响。因此，研究随机激励如何影响自振系统的动力学行为，尤其是分岔现象，已成为一个关键的研究焦点。Van der Pol（VDP）振子及其推广形式作为自振荡的经典模型，已被广泛应用于表征从生物节律到化学振荡的各种周期现象。在这些模型中，具有广义Van der Pol阻尼项的系统能够表现出多稳态性，这一现象在酶促反应和糖酵解振荡等生化过程中尤为突出[4]。内在的非线性可能导致多节律性，即对于相同的参数，存在两种（二节律性）或三种（三节律性）稳定的极限环共存。虽然两种情形都允许在具有不同幅值和频率的周期状态之间发生随机转换，但三节律性在本质上是更复杂且罕见的，它涉及三个稳定环（通常伴随两个不稳定环），而二节律性只有两个稳定环（通常伴随一个不稳定环）。此类动力学的典型实例是二节律Van der Pol（BVDP）模型和三节律Van da Pol（TVDP）模型[5]。大量实验和理论研究表明，多稳态性在细胞信号转导和神经网络内的神经元相互作用中发挥着关键作用[6]。在单个神经元层面，多稳态性表现为多种放电模式的共存，包括静息态、尖峰放电、规则簇放电和混沌簇放电[7]。当受到外部扰动时，神经元可以在这些不同的放电模式之间切换[8]。此外，多稳态性在细胞分化[9]、生态系统[10]、光学系统[11]和半导体材料[12]中也广泛存在。
三节律性作为一种特殊形式的多稳态性，已在两个耦合振荡酶反应的三变量模型中被观察到[13]。近年来，多节律模型被进一步应用于阐明关键细胞过程的耦合机制，如哺乳动物细胞周期和昼夜节律[14]。生理学研究表明，从正常状态到不规律状态的转变遵循倍周期通往混沌的路径，交替节律可能是心律失常的前兆[15]。这意味着双稳态和多稳态节律在生理学上是不可取的。因此，理解多节律生物系统中非线性动力学的基础机制并开发有效的控制策略具有重要的理论价值[16]。受此启发，研究人员提出了各种利用多节律特性的控制方案[17], [18]，包括时间延迟反馈[19]、共轭反馈[20]和低通滤波[21]。
值得注意的是，生物过程中的信号转导和化学反应本质上都存在时间延迟效应[19], [22], [23]。例如，神经元之间的突触传递和酶-底物结合的初始反应阶段都涉及有限的时间延迟。在过去几十年中，时间延迟对非线性系统动力学的影响受到了广泛关注。Ghosh等人[19]提出了一种具有延迟反馈的动力学系统，并采用能量平均方法对BVDP系统的行为进行数值控制：通过改变延迟可以调节二节律振荡器。另一方面，环境噪声是驱动系统在不同稳态之间随机切换的关键因素[24]。现有研究主要关注高斯噪声的影响，高斯噪声常用于描述连续的随机波动[25], [26]，而三节律振荡器在更合适的Lévy噪声（可以捕捉生化反应中罕见的跳跃式波动，如底物的批量传输和酶分子的突然激活）下的动态行为仍几乎未被探索[27]。Yonkeu等人[28]证明，二节律系统中的周期驱动和相关噪声可以视为影响随机分岔的参数。他们随后关于周期驱动和Lévy噪声引起的BVDP系统中相干共振和随机共振的研究表明，适当调节Lévy噪声强度可以促进随机共振，而偏斜度参数对共振没有显著影响。Ning等人[27]也表明，Lévy噪声的稳定性指标和强度都可以在BVDP系统中诱导随机分岔，而偏斜度参数则不会。
自20世纪70年代以来，分数阶微积分被广泛应用于一些异常和复杂物理过程的研究中，如粘弹性材料、生物医学、神经元动力学[29]、流行病学[30]、化学、金融、信号处理和控制等[31]。迄今为止，大多数关于三节律振荡器的现有研究基于整数阶微分模型[32]。然而，具有记忆依赖特性的生化反应表现出历史依赖性和长程相关性[33], [34], [35], [36], [37]。分数阶微积分为表征此类复杂动力学提供了更具构型的数学框架[38]。例如，Craiem等人证明分数阶模型能有效表征动脉壁的粘弹性[39]。最近，Chamgoué等人[40]将分数阶理论应用于与脑电波相关的酶-底物反应模型，发现分数阶参数显著扩大了系统的双稳态区域并导致二节律性的崩塌和再现。Yonkeu等人[41], [42], [43], [44]研究了在高斯有色噪声或Lévy噪声激励下分数阶TVDP系统中的随机P分岔，推导了该系统中多节律振荡现象的参数条件。Yuan等人[45]采用随机平均方法和蒙特卡洛模拟分析了在混合高斯白噪声和高斯有色噪声驱动下的分数阶导数TVDP系统中的随机分岔。
然而，据我们所知，现有文献尚未系统地研究同时包含分数阶阻尼、两种时间延迟反馈，并在高斯噪声和Lévy噪声激励下进行统一对比分析的三节律自维持系统。基于上述分析，我们以具有铁电行为的酶-底物反应模型为例，该模型可视为一种广义分数阶Van der Pol系统，研究分数导数、时间延迟反馈和Lévy噪声的耦合效应对随机P分岔行为的影响以及节律之间的切换机制。随机P分岔（现象学分岔）是指随机系统平稳概率密度函数的定性拓扑变化，这与通过Lyapunov指数定义的D分岔不同。在这项工作中，当平稳幅值概率密度函数的极大值数目发生变化时，我们确定发生了随机P分岔。分数阶三节律Van der Pol系统中随机P分岔的研究可以从概率角度解释噪声如何诱导酶活性状态或神经元放电模式之间的转换。本文其余部分组织如下。第2节介绍了受驱动的分数阶三节律自维持系统和Lévy噪声。第3节从伪势和分岔结构的角度讨论了系统的三节律特性。此外，第4节和第5节获得了平均轨道概率分布的Fokker-Planck方程，并分析了系统在受高斯白噪声（稳定性指标a=2.0的极限情况）和Lévy噪声（0.0
**结论**
在本工作中，我们研究了受双重时间延迟反馈和lévy噪声激励的分数阶tvdp系统的随机p分岔动力学，并将其应用于脑电波中表现出铁电行为的酶-底物反应。通过采用最小均方误差原理，我们推导了等效整数阶随机系统并随后获得了幅频响应方程。系统的平稳概率密度函数
**credit作者贡献声明**
yong-feng guo：写作——审阅与编辑、方法论、调查、形式分析、概念化。
**利益冲突声明**
作者声明不存在已知的财务利益冲突或个人关系可能影响本论文所报告的工作。
**致谢**
本工作得到国家自然科学基金（项目编号：11672207）和中国天津市自然科学基金（项目编号：17jcybjc15700）的支持。
xiao-jing zhuo | yong-feng guo **结论** 在本工作中，我们研究了受双重时间延迟反馈和lévy噪声激励的分数阶tvdp系统的随机p分岔动力学，并将其应用于脑电波中表现出铁电行为的酶-底物反应。通过采用最小均方误差原理，我们推导了等效整数阶随机系统并随后获得了幅频响应方程。系统的平稳概率密度函数 **credit作者贡献声明** yong-feng guo：写作——审阅与编辑、方法论、调查、形式分析、概念化。 **利益冲突声明** 作者声明不存在已知的财务利益冲突或个人关系可能影响本论文所报告的工作。 **致谢** 本工作得到国家自然科学基金（项目编号：11672207）和中国天津市自然科学基金（项目编号：17jcybjc15700）的支持。 xiao-jing zhuo | yong-feng>
**结论**
在本工作中，我们研究了受双重时间延迟反馈和lévy噪声激励的分数阶tvdp系统的随机p分岔动力学，并将其应用于脑电波中表现出铁电行为的酶-底物反应。通过采用最小均方误差原理，我们推导了等效整数阶随机系统并随后获得了幅频响应方程。系统的平稳概率密度函数
**credit作者贡献声明**
yong-feng guo：写作——审阅与编辑、方法论、调查、形式分析、概念化。
**利益冲突声明**
作者声明不存在已知的财务利益冲突或个人关系可能影响本论文所报告的工作。
**致谢**
本工作得到国家自然科学基金（项目编号：11672207）和中国天津市自然科学基金（项目编号：17jcybjc15700）的支持。
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