基于高斯过程的多元累积和死亡率监测方法

《Insurance: Mathematics and Economics》：Gaussian Process-Based Mortality Monitoring using Multivariate Cumulative Sum Procedures

　　

摘要

本文提出了一种用于检测死亡率动态变化的在线多变量累积和（MCUSUM）监控程序，可直接应用于保险公司和养老基金的死亡率与长寿风险管理。该方法基于高斯过程（GP）非参数死亡率预测模型，通过实时跟踪各年龄组的多元预测误差来执行监控。我们设计了两种在实践中具有相关意义的MCUSUM方案：（i）水平变化，对应死亡率率的突然比例性偏移；（ii）趋势变化，对应死亡率改善速率的变化。在两种情况下，单向监控规则允许实践者专注于不利的死亡率冲击或不利的长寿发展。通过显式利用年龄组之间的依赖性，所提出的多变量方法相对于单变量控制图的集合改进了检测性能。我们通过模拟实验以及对法国、日本、加拿大和美国近期死亡率数据的实证应用评估了该程序，并进一步展示了其在真实世界人寿保险组合中的应用。

引言

实时监测死亡率是管理死亡率和长寿风险的核心。人寿保险公司和养老基金依赖于基于历史数据校准的预测模型来定价产品、计提准备金和对冲敞口；当底层死亡率动态发生变化时，这些模型可能变得误设并产生重大的基差风险。近期经验表明，此类变化可能突然发生（例如同时影响多个年龄组的冲击）或逐渐发生（例如改善趋势的变化），而财务影响关键在于变化被多快检测到并被纳入定价和风险管理中。这促使我们开发前瞻性的监控工具，能够尽早发出偏离预期死亡率演变信号的信号，同时控制误报率。一个特殊的挑战在于死亡率本质上是多维的：相邻年龄和队列之间存在强依赖关系，因此有效的监控应利用跨年龄信息，而非将年龄特异性序列视为独立的。

最近，一些研究人员研究了检测死亡率动态变化的方法，使用多变量控制图（Díaz-Rojo等人，2020）或单变量程序如Shiryaev-Roberts过程（Abgrall等人，2018）。在后一种情况下，聚合死亡率的强度是通过加总不同年龄的强度来获得的，这调用了标准独立性假设。正如Pascual和Akhundjanov（2020）指出的，如果不同过程是独立的，分别监控每个过程对于检测任何变化可以非常有效。然而，死亡率数据通常由于相邻年龄或队列的相似性而相关（Jevti?等人，2013；Xu等人，2020）。在这种相关性存在的情况下，单独的单变量监控系统无法高效运作，因为它们忽略了数据中的依赖结构。

为了在多变量设置下高效监控死亡率，应考虑多变量控制图（一般背景参见Jiang等人（2011）；Joner Jr等人（2008）；Rogerson和Yamada（2004））。多变量方法生成了强大的监控方案，能够捕捉到单变量控制图不敏感的依赖结构。Jiang等人（2011）使用乳腺癌发病率，Pascual和Akhundjanov（2020）使用丙型肝炎计数，发现多变量图比基于独立性假设的监控方法提供了更快更准确的爆发检测。关于多变量统计过程控制图的综述，参见Bersimis等人（2007）和Qiu（2013）。

在本文中，我们考虑了来自Healy（1987）的多变量累积和（MCUSUM）控制图，用于检测多元正态过程的均值μ从受控均值μc偏移的情况。在精算背景下，μc可能对应于观测死亡率的变化水平或变化趋势。为此，我们使用高斯过程（Rasmussen和Williams，2005）作为贝叶斯非参数预测死亡率模型的基础，并利用预测死亡率与实际观测死亡率之间的差异以在线方式监控变化。高斯过程（GP）模型用于死亡率的应用已由Ludkovski等人（2018）在单总体情况下考虑，以及由Huynh和Ludkovski（2021）在多总体设置中考虑。使用GP作为基础的优势在于预测的对数死亡率为多元正态分布，允许直接应用MCUSUM算法，而标准死亡率模型如Brouhns等人（2005）；Cairns等人（2006）；Lee和Carter（1992）通常通过共享潜在因子跨年龄施加相对较低维度的依赖结构。在希望捕捉更丰富的跨年龄预测依赖性的监控背景下，这可能是限制性。

在早期使用GP进行时间序列变化检测的贡献中，Chandola和Vatsavai（2011）提出了一种基于GP的算法来识别单变量归一化差异植被指数（NDVI）时间序列中的变化。相比之下，我们的方法基于CUSUM而非指数加权移动平均（EWMA）监控，并且针对多变量而非单变量过程设计。

更广泛地说，我们的工作与变化检测文献中的两个脉络相关。首先，几位作者开发了用于变点检测的GP方法，包括专门为捕捉结构变化设计的核构造（Caldarelli等人，2022；Saatci等人，2010；Zhao和Pan，2025）。其次，近期工作强调了依赖性感知或相关性感知程序在序贯检测问题中的重要性（Deng等人，2025）。我们的贡献与这些发展互补。我们没有提出新的GP变点核，也没有提出新的通用依赖性感知检测方法。相反，我们将GP回归作为年龄特异性死亡率的灵活概率预测模型，并将其多元高斯预测分布与针对精算有意义的基本死亡率机制偏离的MCUSUM监控规则相结合。

总而言之，本文提出了一种结合GP预测与多变量CUSUM（MCUSUM）监控的在线死亡率监控框架。我们使用GP回归联合建模年龄特异性对数死亡率，这提供了概率预测并产生与MCUSUM程序自然兼容的多元高斯预测分布。在此基础上，我们设计了MCUSUM方案来检测两种精算上有意的基本动态偏离。首先，我们考虑水平变化，死亡率从基线率μ偏移至ρμ；此设置使我们能够通过选择相关的变化方向来监控死亡率风险（ρ≥1，高于预期的死亡率）或长寿风险（ρ≤1，低于预期的死亡率）。其次，我们考虑死亡率改善率的变化趋势；此设置使我们能够根据所考虑的变化方向来监控弱于预期的死亡率改善或强于预期的死亡率改善。所提出的多变量方法通过GP预测协方差结构显式利用跨年龄依赖性，与忽略这种依赖性的单变量图集合形成对比。我们在国家人口（美国、加拿大、法国和日本；年龄50-89岁；1991-2020年）和保险公司组合上评估了该方法，并通过模拟研究补充说明多变量方案比竞争性单变量CUSUM程序更快检测到这些水平和趋势变化，随着年龄组间依赖性的增强收益增加。

本文结构如下。第2节介绍基于GP的死亡率预测模型及其多元高斯预测分布。第3节介绍MCUSUM监控框架并解释如何针对两类精算上有意义的基本偏离进行实施：（i）死亡率水平偏移和（ii）死亡率改善趋势变化，单向方案允许实践者专门关注死亡率风险或长寿风险。第4节将所提出的程序应用于上述国家人口和人寿保险组合。第5节报告模拟研究，显示我们的多变量监控方案优于竞争性单变量CUSUM图，当年龄组间依赖性更强时收益更大。第6节得出结论。

**片段**

**高斯过程回归用于死亡率预测**

我们简要介绍基于GP的死亡率预测。关于参数选择的扩展讨论，参见Ludkovski等人（2018）。考虑一组（训练）观测数据（X，y）={(xi，yi) | i=1,…,n}，其中每个xi是d维输入向量，yi是对应的输出。在我们的情况下，xi是二变量向量xi=(x_agei, x_yeari)，代表数据点的年龄（或年龄分段）和年份，例如x=(65, 2020)或x=([65,69], 2020)，yi是对应的对数

**通过MCUSUM算法进行在线监控**

CUSUM算法是基于似然比的著名序贯程序，用于检测过程变化。假设我们观测到随机变量序列y=(yt)t≥1，其中yt~F1，1≤t≤τ，~F2，τ+1≤t，分布F1和F2是已知的，但变点τ是未知且确定性的。目标是确定从F1到F2的变化是否发生以及何时发生。CUSUM算法在第一次满足以下条件时发出变化已发生的信号：St=∑i=1t log f2(yi)/f1(yi) ?

**死亡率与长寿风险的监控：真实死亡率数据的应用**

在本节中，我们将第3节中描述的MCUSUM算法应用于法国、加拿大、美国和日本的国家级死亡率数据以及人寿保险组合。对于国家数据，我们关注男性死亡数据和相应的暴露量，年龄50-89岁，按5年年龄分段，年份1991-2020，数据提取自人类死亡率数据库（HMD）。在我们的分析中，我们将数据分为两部分：前20年（1991-2010年）用于

**模拟研究：MCUSUM与CUSUM图的比较**

在本节中，我们评估了基于GP回归的所提出多变量控制图在监控死亡率分布变化方面的性能。具体而言，我们将多变量累积和（MCUSUM）图的性能与两种单变量对应物进行比较，即如下定义的Min-MCUSUM和共单调CUSUM，它们不考虑年龄组之间的依赖性。我们进行模拟研究以探究依赖结构的影响

**结论**

本文提出了一种多变量累积和（MCUSUM）程序来检测死亡率强度的变化，这在保险公司和养老基金的风险管理中起着关键作用。与单变量方法不同，MCUSUM考虑了年龄组之间的相互依赖性，提供了对死亡率趋势更全面的分析。我们通过将MCUSUM方法与单变量控制图进行比较以及对最近死亡率数据的案例研究，研究了MCUSUM方法的有效性

**CRediT作者贡献声明**

Karim Barigou：写作——审阅与编辑，写作——原始草稿，可视化，软件，方法论，调查，形式分析，数据整理，概念化。Stéphane Loisel：写作——审阅与编辑，写作——原始草稿，验证，监督，项目管理，方法论，调查，资金获取，形式分析，概念化。Yahia Salhi：写作——审阅与编辑，写作——原始草稿，监督，项目管理，方法论。

**利益冲突声明**

作者声明他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系，这些利益或关系可能影响本论文中报告的工作。

Karim Barigou | Stéphane Loisel | Yahia Salhi | Rayane Vigneron