OptiPINN：一种两阶段NSGA-II多目标优化框架，用于求解对流与辐射耦合的二维瞬态非线性传热问题

《International Communications in Heat and Mass Transfer》：OptiPINN: A two-stage NSGA-II multi-objective optimization framework for solving 2D transient non-linear heat transfer problems with coupled convection and radiation

　　

- 提出了一种OptiPINN框架，用于求解二维非线性瞬态热传导问题。
- 采用两阶段NSGA-II策略优化PINNs的架构与损失权重。
- 确定了物理约束损失分量的帕累托最优权重。
- 与基线PINNs相比，总训练损失降低了80.93%–92.25%。
- 在三个基准案例中，平均相对L2误差降低了21.62%–64.33%。

引言

热管理已成为众多工程领域中的一项重要挑战，尤其是在全球变暖、能源短缺和系统安全等紧迫问题的背景下[1]。将温度维持在可控范围内对于确保广泛应用的设备（包括电子设备[2]、光伏组件[1]、电池[3]和热能储存系统[4]）的性能、长期可靠性和安全运行至关重要。热传导在这些应用中起着核心作用，包括电子元件和大型机械系统的热管理[5]。精确理解和准确预测温度的时间变化对于有效的系统设计与优化是必不可少的。为应对这些挑战，研究人员长期以来一直依赖数学公式来建模和分析热传导机制。在这些公式中，热传导方程——一个经典的偏微分方程（PDE）——是描述材料内部温度时空分布的基本模型。

虽然热传导方程的解析解能够提供有价值的物理洞察，但在复杂几何或边界条件下往往不切实际，因此需要使用有限元方法（FEM）[6]、有限体积法（FVM）[7]、有限差分法（FDM）[8]或格子玻尔兹曼方法（LBM）[9]等数值技术。尽管应用广泛，传统数值方法存在若干局限性。首先，它们需要生成计算网格，这会大幅增加模型复杂度和计算成本。此外，结果的精度高度依赖于网格质量，因为离散化误差源于解的空间和时间逼近，尤其在温度分布不均匀的区域尤为明显[10]。另外，定义不良或不确定的边界条件会进一步降低解的精度，导致结果不稳定或物理上不一致。最后，这些传统方法本质上难以处理反热传导问题，例如识别控制方程中的未知参数[11]。

过去几年，物理信息机器学习技术与热传导研究的融合进程加快，这得益于其能够直接将基本物理定律纳入学习过程的能力[12]。在此背景下，Raissi等人[13]提出的物理信息神经网络（PINNs）代表了将深度学习与物理建模相结合的重要一步。与传统的基于数据驱动的模型不同，PINNs将控制物理方程（通常表达为PDE）直接集成到其训练过程中。通过定义一个损失函数来惩罚对物理约束的偏离，网络被引导趋向于与底层物理一致的解，同时能有效处理复杂的初始和边界条件。该方法将神经网络的表达能力与物理建模的严谨性相结合，为求解正向和反向PDE问题提供了鲁棒且高效的框架。凭借这些优势，PINNs已成功应用于多种领域，包括流体力学、波传播、电磁学以及多样的热传导现象[14]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]。此外，与严重依赖大量标注数据集的传统神经网络不同，PINNs在计算域上生成配点来同时施加控制方程和物理约束，从而得到本质上符合物理定律的解[17]。

近期研究越来越多地将物理信息学习技术应用于解决热传导领域的经典和复杂问题。值得注意的例子包括傅里叶热传导[20]、Navier–Stokes方程[21]、基于非线性PDE的热物性模型[22]以及耦合传热传质问题[23]。Zhao等人[17]对PINNs在热传导中的应用进行了全面综述，强调了其求解单相近体传导问题的能力。同样，Zheng等人[24]采用T-phPINNs处理二维（2D）非傅里叶热传导，仅关注温度预测。这代表了经典热传导方程的一种简化形式，因为他们的研究仅考虑传导而忽略了其他传热模式，如对流和辐射。Almusallam等人[5]采用PINNs求解一维（1D）瞬态热传导方程，将物理定律嵌入网络的损失函数中以确保与热传导原理一致；然而，他们的工作仅考虑纯传导，忽略了辐射和对流效应。Farmer等人[25]研究了PINNs中损失权重优化问题，利用1D热传导方程模拟激光对人皮肤引起的生物效应。Hazra等人[19]将PINNs应用于估算射流冷却系统中流体-固体边界处的对流换热系数，使用了简化的2D瞬态热传导模型。类似地，Cai等人[18]展示了PINNs在1D热传导问题中的应用，包括具有未知边界条件的强制对流和混合对流以及两相Stefan问题，强调了PINNs求解不适定和复杂热传导问题的能力，尽管他们的研究仅限于1D传导。在更小尺度上，由于非扩散效应可能导致傅里叶定律失效，Zhou等人[26]将PINNs应用于声子玻尔兹曼输运方程，以模拟薄膜中的微尺度和纳米尺度热输运。Bora等人[27]利用人工神经网络（ANN）研究脉冲激光加热条件下金薄膜中的1D纳米尺度热传导。Xia等人[28]提出了一种PINNs框架，用于求解摩擦接触温度相关的正向和反向问题。Li等人[29]提出了一种改进的PINNs架构，引入子网络来计算由非线性和非均质热物性产生的导数项，从而提高了求解精度并避免了迭代过程。Xu等人[30]进一步将PINNs应用于研究各种多孔介质中的热传导。这些能力确立了PINNs作为解决涉及复杂热系统的实际工程问题的强大且可靠工具的地位。

然而，现有的利用PINNs求解热传导方程的研究存在显著局限性。大多数工作主要关注1D传导问题，仅有少数涉及2D情况（例如Zheng等人[24]），由于处理多维复杂性增加的难度，2D问题受到的关注较少。此外，这些研究往往忽略源项，如对流和辐射损失，以简化控制方程。为施加边界条件，Zheng等人[24]采用了硬约束转换模块，这通常需要在非傅里叶或非线性热传导问题中进行手动调节。此类简化和手动调整限制了捕捉辐射效应引入的强非线性能力，其中温度以四次方的形式出现。此外，一些研究采用了基于数据的PINNs，利用数值模拟或解析解获得的数据集进行训练以预测温度随时间的分布[5]、[31]。虽然当可靠数据可用时此类方法可以改善预测精度，但在实验或数值数据稀缺或获取成本过高的场景下受限，特别是对于高度非线性问题或复杂几何。

此外，在以往的2D研究中，网络架构（包括层数、每层神经元数量和学习率）通常由手动设定。物理参数的任何变化或初始和边界条件的改变都需要手动重新调整，这可能会损害结果精度或大幅增加计算成本。类似地，分配给不同损失分量（PDE残差、初始条件、Dirichlet和Neumann条件）的权重通常任意选择，尽管近期基于AI的方法提出了动态平衡策略。使用静态权重使训练变得复杂，特别是对于具有强非线性和严格边界条件的热传导问题。手动调整这些超参数是劳动密集型过程，且往往导致次优配置。进化算法——最著名的是非支配排序遗传算法II（NSGA-II）[32]——为超参数优化提供了一种鲁棒的替代方案，因为它们能够同时考虑多个竞争目标，包括预测精度和模型复杂度。

近期研究已探索进化优化策略以提升PINNs的性能。例如，文献[33]提出了一种遗传优化PINNs（GA-PINNs）用于三维磁热疗模拟，其中利用遗传算法自动优化学习率和物理信息损失分量的加权系数。该框架成功地将生物热传导、纳米颗粒输运、Darcy流和Arrhenius损伤动力学整合在一个统一的PINNs框架中。然而，网络架构是预定义的，在优化过程中保持不变。此外，该研究考虑了相对简单的绝热边界条件，未处理更复杂的热边界配置，如非线性对流-辐射效应或非对称热约束，而这些在实际工程热传导应用中经常出现。这些局限性凸显了需要一种更加通用的优化框架，能够同时优化神经网络架构和损失加权策略，以解决复杂非线性瞬态热传导问题。

上述讨论突出了仍需解决的三个主要研究空白。首先，关于PINNs用于热传导的现有大多数研究仍局限于1D公式或相对简单的2D配置。在许多情况下，对流和辐射热传导效应被忽略，这可能无法充分反映实际工程应用中遇到的热条件。对于涉及非线性热传导机制的问题，这一局限性尤为相关，因为热辐射通过四次方项引入了强烈的温度依赖性。其次，在有限的2D研究中，神经网络架构通常通过测试一组候选架构并保留最佳性能架构来手动选择。这一过程可能耗时，并且在物理参数或边界条件修改时可能需要大量重新调整。此外，手动调整PINNs中不同损失项相关的权重系数通常耗时，且可能严重影响模型的收敛性和最终精度。第三，虽然一些研究已将进化优化技术纳入PINNs框架，如文献[33]，但这些方法主要聚焦于优化训练相关参数，包括损失权重和学习率，同时保持网络架构不变。此外，这些研究中所考虑的物理问题通常相对简单，限制了此类方法向更复杂非线性热传导问题的适用性。因此，需要一种自适应优化策略，能够同时处理网络架构和训练参数，以提高PINNs在复杂热系统中的鲁棒性和效率。

为应对这些局限性，本研究提出了OptiPINN，一个优化驱动的PINNs框架，用于求解完全二维非线性瞬态热传导问题，涉及耦合对流和辐射、局部热源生成以及混合边界条件。OptiPINN采用基于NSGA-II的两阶段多目标优化（MOO）策略。所提出的策略依次优化神经网络架构和物理信息损失分量的权重。在第一阶段，NSGA-II用于通过优化隐藏层数、每层神经元数量和学习率来确定合适的网络配置。网络架构确定后，第二阶段专注于自适应优化与物理信息损失不同分量相关的权重系数，包括控制方程、初始条件和混合边界条件。所得到的优化过程与混合Adam/L-BFGS训练策略相结合，以改善收敛性，同时减少对手动超参数调整的需求。所提出的框架通过涉及非线性对流-辐射耦合和局部高斯热源生成的三个基准案例，与方法线（MOL）解进行了评估对比。

小章节摘要

薄板中的二维瞬态热传导

考虑一个薄方形板中的瞬态热传导，其平面尺寸Ω=[0,L]×[0,L]，其中L代表板的每边长度，如图1所示。由于板的厚度相对于其平面尺寸较薄，可假设温度沿厚度方向恒定，问题可简化为二维形式。薄板为均质材料，具有恒定的热物性：热导率κ、密度ρ和比热容Cp。

OptiPINN模型

本节描述用于求解包含对流和辐射损失的二维热传导方程的OptiPINN，如图1所示的不同边界条件情况。采用多目标优化策略的动机源于物理信息损失不同分量之间相互竞争的需求。

从优化的角度来看，PINN 的训练可被表述为一个多目标问题，其中 PDE 残差损失以及初始条件和边界条件损失代表不同的优化目标。计算资源本研究的实现基于 Python 3.10.16（Anaconda 发行版），运行在 Windows 10（64 位）平台上。计算框架以 PyTorch 2.6.0（CPU 版本）作为深度学习后端，NumPy 1.16.4 用于数值计算，DeepXDE 1.13.2 作为 PINNs 库。为确保可重复性，固定了所有库的随机种子，SEED=42，并使用以下命令：random.seed(SEED)、np.random.seed(SEED)、torch.manual_seed(SEED) 等。结果与讨论在本节中，针对图 1 所示的案例，采用 OptiPINN 和 MOL 方法求解了包含对流和辐射热损失的二维非线性热传导方程。首先比较了混合 Adam/L-BFGS 训练过程中总损失函数（见式 (17)）的收敛情况。随后进行了消融研究，以评估所提出的 OptiPINN 框架各主要步骤的贡献。四种基本配置（记为 C1–C4）与完全优化后的配置进行比较。结论总之，本文开发了一种优化增强的 PINNs 框架，称为 OptiPINN，用于求解薄板在耦合对流、辐射和内部热源作用下的二维瞬态非线性传热问题。OptiPINN 无需参考温度数据进行训练，仅依赖纳入损失函数的控制物理定律、初始条件和边界条件。本文开发了一种基于 NSGA-II 的两阶段多目标优化（MOO）策略来……CRediT 作者贡献声明Kamal Alaili：撰写–审稿与编辑、撰写–初稿、软件、资源、方法学、调查研究。Baptiste Buchi：撰写–审稿与编辑、监督、方法学。Samory Kouyate：软件、资源。Imane Ihsane：撰写–审稿与编辑、监督。利益冲突声明作者声明不存在任何已知的竞争性经济利益或个人关系可能对本论文所报告的工作产生影响。Kamal Alaili | Baptiste Buchi | Samory Kouyate | Imane Ihsane