基于三维近场动力学与一维高阶细化单元耦合方法的疲劳裂纹扩展分析

《Computers & Structures》：Fatigue crack growth analysis using a coupled approach of 3D peridynamics and 1D high-order refined elements

　　

• 一种维度灵活的CUF–PD框架将三维近场动力学与高阶一维结构模型耦合。
• 采用带重叠域的拉格朗日乘子实现稳定局域与非局域疲劳裂纹模拟。
• 弯曲M(T)管线钢模拟验证了该方法在工程上的适用性。

**引言**

由于疲劳损伤占机械失效的80%以上，可靠预测裂纹萌生与扩展对于确保结构耐久性至关重要[1]。为模拟演化中的不连续性，经典连续力学依赖于先进处理方法——如扩展有限元法（XFEM）[2]、内凝聚力区模型（CZM）[3]和相场方法[4]——这些方法引入富集策略、牵引-分离律或弥散损伤来克服标准空间导数固有的局限性。尽管取得了这些进展，预定义裂纹路径、外部扩展准则或复杂裂纹尖端追踪等需求仍然限制了传统方法的自主性。克服这些限制促使采用近场动力学（PD）[5]作为物理一致的替代方案。通过在积分而非偏微分方程的形式下构建运动方程，PD天然地处理裂纹而不需要特殊数值处理。从最初的基于键的框架演进到基于状态的公式化[6][7]，这一非局域理论越来越多地被用于自主建模疲劳损伤累积和复杂裂纹演化。在这些经典公式化之外，PD理论通过开发非局域算子及相关计算框架得到了进一步扩展。特别是，近场微分算子（PDDO）提供了空间导数的非局域积分表示，并将PD概念的应用扩展到了广义微分方程的数值处理中[8][9]。这些理论和计算方面的进展最近由Dorduncu等人[10]进行了系统综述，他们总结了PD理论、非局域算子和计算机实现方面的主要进展。

继Oterkus等人[11]的先驱性工作之后，近场动力学的疲劳裂纹框架在Silling和Askari[12]的经典著作中得到了系统发展。他们在键水平引入了一种与历史相关的"剩余寿命"变量，由循环键应变驱动。这种公式化使得裂纹萌生和扩展都能自然地从渐进的键退化中产生，无需预定义裂纹路径、外部扩展准则或裂纹尖端追踪。在此基础上，后续研究广泛扩展了PD疲劳框架。方法学进展包括Jung等人[13]将方法扩展到混合断裂模式、Bazazzadeh等人[14]提出的替代键退化策略以及Nguyen等人[15]的能量基疲劳公式化。此外，Madenci等人[16]将PD与断裂动力学理论相结合，以预测常幅和变幅载荷下的疲劳失效。Liu等人[17]基于Coffin-Manson关系开发了疲劳损伤累积模型，而Li等人[18]为非局域弹塑性低周疲劳建立了非普通状态基PD方法。最近，Altay等人[19]将基于键的PD疲劳分析与Neuber塑性修正相结合，以考虑延性材料中裂纹尖端附近的局部塑性变形。在这些研究中，PD疲劳模型已被证明能够重现经典的S-N或Paris定律行为，并被应用于涉及多晶材料[20]、含孔隙的增材制造合金[21]、复合层压板[22]、焊接接头[23][24]以及滚动-滑动接触下的轨头[25][26]等多样化问题。

尽管取得了这些进展，大多数现有的PD疲劳研究仍依赖于对整个结构的完全非局域离散化。这种固有的非局域性带来了巨大的计算成本，尤其是在三维分析中，相互作用的键数量随模型尺寸快速增加[27]。在疲劳分析中，这种计算瓶颈更为突出，因为随着键退化在大量载荷循环中的演化，非局域平衡方程必须被反复求解。因此，将全PD模型直接应用于大规模或细长工程结构在计算上仍然不可行。为了缓解这一计算瓶颈，局域到非局域（LtN）耦合策略已被开发出来，通过将PD限制在局部裂纹易发区域，并使用有限元法（FEM）建模结构域其余部分，以平衡效率和精度。

如D'Elia等人[28]综述的那样，LtN耦合方法可以大致分为常视界（CH）方法和变视界（VH）方法。在常视界方法中，局域模型和非局域模型在保持非局域区域有限视界的情况下进行耦合；而在变视界方法中，视界向局域区域逐步减小至零。代表性的常视界方法包括重叠方法和域分解方案、Arlequin型方法、变形策略、基于力的混合方法和拼接型公式化，而变视界方法通过空间变化视界实现局域到非局域的过渡。在更广泛的PD-FEM耦合文献中，重叠[29][30]、变形[31]和全局-局域框架[32]是代表性的策略。最近，混合PD-FEM公式化已被扩展到疲劳寿命预测和多循环裂纹扩展模拟。值得注意的是，Zhang等人[33]基于断裂动力学理论在ANSYS框架内开发了一种耦合PD-FE方法，而Zesheng Zhang等人[34]提出了一种基于插值的迭代耦合过程，并通过模拟复杂飞机机翼结构中的疲劳裂纹扩展证明了其适用性。

然而，即使采用传统的FEM-PD策略，完全三维有限元离散化对于细长梁或薄壁结构仍然是计算上不可行的，特别是在循环疲劳分析中。这凸显了对维度灵活的LtN框架的需求。在此背景下，将Carrera统一格式（CUF）[35]与近场动力学（PD）耦合（CUF-PD）提供了一种优雅的解决方案：它采用精炼的低维度（一维或二维）有限元来捕捉全局结构响应，同时保留局部三维PD区域来模拟裂纹演化。在上述LtN分类中，CUF-PD属于常视界类（域分解和重叠界面耦合）：PD视界在裂纹易发的非局域区域中保持，同时在三维PD粒子与局域CUF模型之间强制位移相容性。因此，它与传统FEM-PD LtN方法的主要区别不在于新的视界过渡规则，而在于局域模型的维度灵活性，这避免了在远离损伤区的区域进行完全三维有限元离散化。CUF-PD框架的基础由Pagani和Carrera[36]建立，他们通过拉格朗日乘子[37]在三维基于键的PD和一维CUF之间强制全局-局域耦合，并随后将其扩展到准静态脆性断裂[38]。后续研究扩展了其鲁棒性和维度：Scabbia和Enea[39]使用三维基于状态的PD缓解了界面波动，而Zhang等人[40]通过自适应收敛方案将三维PD与二维CUF板单元相结合。同时，Zhang等人[41]将CUF与PDDO[8]相结合，建立了强形式、维度缩减的解，从而缓解了边界限制。综合而言，这些工作表明CUF-PD能够以全三维模型几分之一成本准确捕捉三维断裂力学特性。尽管这种策略在单调和准静态断裂中已被证明有效，但CUF-PD策略在循环载荷下疲劳裂纹萌生和扩展中的适用性尚未得到系统研究。

为弥合这一差距，本研究通过将Silling和Askari的键水平损伤模型[12]集成到CUF-PD框架中，系统地将其扩展到疲劳断裂分析。该实现的一个关键特征是重叠域耦合策略，这对于疲劳分析尤为重要。在LtN背景下，做出这一选择的动机是在从局域CUF区域到非局域PD区域的过渡期间减少耦合伪影。与尖锐界面耦合不同，重叠策略有效地抑制了CUF-PD界面处的虚假应变集中。通过确保光滑的运动学过渡，它最小化了否则会严重扭曲局部疲劳寿命预测的非物理伪应变。此外，由于疲劳模拟需要在数千个循环中反复求解非局域平衡方程，PD固有的计算瓶颈被严重放大。这使得CUF-PD独特的维度灵活性成为相对于传统FEM-PD LtN模型的显著优势。通过用高阶一维CUF单元替代非损伤区域中计算量大的三维实体单元，该策略大幅减少了自由度数量，同时保持了三维级别的精度，使得大规模或细长结构的多循环疲劳模拟在计算上可行。

所提出的全局-局域框架通过三个复杂度递增的基准问题进行了验证：(1) 沙漏试样，用于评估应变-寿命萌生行为；(2) 紧凑拉伸（CT）试样，用于重现Paris定律裂纹扩展；(3) 弯曲中间拉伸（M(T)）试样[42]，代表非平面工程构件。尽管当前实现在损伤区采用了基于键的近场动力学（BBPD）——这本质上限制了有效泊松比——数值结果仍可靠地捕捉了总体疲劳寿命趋势和自主裂纹路径。通过在高效耦合设置内成功弥合萌生和扩展阶段，本研究为未来向基于状态的近场动力学公式化扩展以进一步放松运动学约束奠定了坚实基础。

本文的其余部分组织如下。第2节简要回顾了基于键的近场动力学和高阶一维CUF单元的基本理论。第3节详细阐述了通过拉格朗日乘子和重叠域强制的全局-局域耦合策略。第4节介绍了近场动力学疲劳损伤模型及其校准流程。第5节呈现并讨论了三个基准问题的数值结果。最后，第6节得出主要结论并概述了未来研究方向。

**小节片段**

**基于键的近场动力学**

采用基于键的近场动力学来模拟预期发生疲劳损伤萌生和裂纹扩展区域的力学响应。

**重叠域中的拉格朗日乘子**

遵循Pagani等人最初提出的全局-局域CUF-PD耦合框架[36][38]，本研究采用拉格朗日乘子技术将一维高阶CUF有限元与三维近场动力学（PD）域耦合。虽然重叠域最初被引入以提高耦合精度，但它们在疲劳分析中变得尤为重要，因为在第3.3节中讨论的那样，结构响应对键应变的演化非常敏感。

**如**

**近场动力学键剩余寿命简介**

本研究采用的疲劳公式化遵循Silling（2014年）[12]提出的键水平剩余寿命概念，其中循环退化由各个近场键的历史相关演化表示。键失效可能由于静态超载或渐进的疲劳损伤而发生。

对于键ξ，拉伸定义为：

$$s = \frac{|\xi + \eta| - |\xi|}{|\xi|}$$

在循环载荷下，准静态框架中仅求解拉伸极值状态。设$s^+$表示最大拉伸。

**计算工作流**

本节报告的基准研究采用耦合的CUF-PD疲劳求解器在交错的框架中进行。对于给定的键配置，首先通过隐式求解方程(23)中的块结构系统获得全局结构响应。在保持该平衡状态不变的情况下，然后逐循环更新活跃PD键的疲劳变量，直到至少发生一个额外的键失效。这一策略与Nguyen等人采用的策略一致。

**结论与展望**

提出了一种用于疲劳断裂分析的耦合全局-局域框架，通过将三维基于键的近场动力学（BBPD）与基于Carrera统一格式的高阶一维有限元相结合。得益于高阶CUF运动学，所提出的模型使得全三维PD区域与精炼的一维结构模型耦合成为可能，而传统的FEM-PD耦合策略通常要求三维-三维描述来处理三维断裂问题。一个键水平剩余寿命疲劳模型被嵌入到该框架中。

**CRediT作者贡献声明**

Qiang Zhang（张强）：撰写-审阅与编辑，撰写-原始草稿，可视化，验证，软件，方法论，概念化。Wei Zhou（周伟）：撰写-审阅与编辑，验证，指导，方法论，资金获取。Erasmo Carrera：指导，软件，资源，方法论。Xiang Liu（刘翔）：撰写-审阅与编辑，验证，指导，方法论，资金获取。Alfonso Pagani：撰写-审阅与编辑，可视化，验证，指导，软件，资源。

**关于生成式AI和AI辅助技术在写作过程中的声明**

在准备本工作期间，作者使用了ChatGPT来协助语言润色、措辞精炼和提高稿件可读性。科学思想、方法论、数值实现、仿真、数据分析、图表和结论均由作者开发、检查和最终确定。使用此工具后，作者根据需要审阅和编辑了内容，并对已发表文章的内容承担全部责任。

**利益冲突声明**

作者声明不存在可能影响本论文工作的已知财务利益或个人关系。

**致谢**

本工作得到了国家自然科学基金的资助（项目编号：U256820063）。Qiang Zhang感谢中国国家留学基金委员会（文件编号：202406370014）和中南大学青年学者科研基金的资助（编号：2024ZZTS0138）。

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