用于带钻展转动的几何非线性壳模型的信赖域方法

《Computers & Structures》：A trust-region method for a geometrically nonlinear shell model with drilling rotations

　　

# 摘要

对于发生大变形的细长壳结构的有限元分析，稳健的求解方法仍然是一项重大挑战。经典的牛顿-拉夫森方法通常需要较小的载荷增量以及接近平衡状态的初始猜测才能实现收敛。在本工作中，我们将具有钻井旋转的几何精确壳模型构建为配置流形上的能量最小化问题。在该框架内，推导了相应的黎曼梯度和黎曼海森矩阵，并据此构建了一种用于非线性壳分析的黎曼信赖域方法。所提出的方法作为一种全局化策略，能够从零近平衡状态的构型开始收敛。其性能在涉及大变形和屈曲的多个基准问题以及一个工业扁平电缆应用上进行了评估。结果表明，在常规牛顿-拉夫森方法失败的情况下，所提出的方法能够一致地收敛，从而为几何非线性壳问题提供了一种稳健的求解策略。

# 引言

薄板和细长结构的有限元模拟在制造业中被广泛使用，以便在开发过程中及早发现潜在问题。壳或梁等薄结构在相对较小的外力和力矩作用下容易发生大变形。由此产生的几何非线性给有限元求解器带来了重大挑战，需要使用高效且稳健的求解器。

用于壳和梁非线性有限元分析的最简单且最常用的求解方法基于牛顿-拉夫森（NR）迭代。然而，NR迭代通常需要一个接近平衡状态的初始猜测才能获得收敛。对于高度非线性的问题，这往往需要极小的载荷或时间增量，或者可能导致求解过程的完全发散。此外，发生大变形的薄结构经常表现出屈曲行为，这进一步挑战了标准牛顿方法的稳健性。

当标准牛顿-拉夫森求解器失败时，在建模壳结构时的一个常见替代方案是采用路径跟踪方法，例如Riks [18]和Crisfield [4]开发的经典弧长方法。这些方法在分析具有极限载荷的后屈曲行为方面取得了成功。虽然弧长方法对于涉及跳跃通过和穿越跳跃事件的平衡路径追踪问题是不可或缺的，但它们通过添加额外的载荷参数来扩充问题，并且不是牛顿方法的一种通用全局化方法。

另一种提高牛顿求解器稳健性的可能性是混合积分点（MIP）方法 [14]。该方法在积分点处引入独立的应力变量，有效地在非线性迭代过程中放松了本构方程，同时在收敛时精确恢复这些方程。已证明该方法与弧长路径跟踪策略结合使用，对于求解大位移基准问题有效 [10], [12]。然而，MIP方法通常需要对单元进行重新建模，以伪Hellinger-Reissner格式表达。

最近，Roller等人 [19]提出了一种壳模型，用于快速模拟柔性扁平电缆（FFC），其方式是将问题建模为最小化问题。FFC往往会以会发生屈曲的方式扭曲和弯曲。将模型建模为能量最小化已被证明是提供稳健求解策略的关键步骤。其他作者也研究了在能量最小化框架中建模问题。在[13]中，Linn和Dre?ler使用带有能量最小化的离散Cossrat框架，并展示了其在柔性电缆交互模拟中的有效性。Lecieux和Bouzidi [11]使用能量最小化对有限元壳模型预测起皱效应。Sander等人 [20]使用测地线有限元建立了一个Cossrat壳模型，并将其表示为最小化问题。使用了一种黎曼信赖域方法，并在受扭的长弹性条和塑料薄膜起皱上进行了验证。

在本工作中，我们开发了一种适用于壳结构的通用全局化信赖域方法，该方法兼容钻井旋转和交叉（例如T型接头）。我们的方法基于Ibrahimbegovic的几何精确壳理论 [7], [8]，该理论提供了一种应力合力型、几何非线性模型。由于该公式包含钻井自由度，特别适用于具有交叉和加劲肋的非光滑壳。由于当前的壳公式包含属于特殊正交群$SO(3)$的旋转自由度，求解过程自然地构建为光滑流形上的优化问题 [2]。为了建立应用流形优化技术的稳健数学框架，我们将壳模型重新表述为能量最小化问题。随后，我们推导了相应的黎曼梯度和黎曼海森矩阵，并开发了适用于位移驱动应用的黎曼信赖域方法。

论文的结构如下：第2节简要介绍流形上的优化作为预备知识。然后，在第3节中，我们重新表述[7]中的壳公式，并将其表述为在配置流形上最小化的势函数。随后，我们推导了适用于位移驱动应用的黎曼信赖域方法（RTR）。在多个案例中将该方法与黎曼牛顿法（RNM）进行比较，结果表明RNM存在一系列不可行问题，而RTR可以求解这些问题。最后，本文以对研究发现的讨论作为结论。

**算法1：黎曼梯度下降**

# 节选片段

## 预备知识：流形上的优化

从抽象意义上说，本文的重点是在流形$\mathcal{M}$上优化函数$f$。存在一阶和二阶算法用于流形上的优化。一阶算法基于一阶泰勒展开：

$$f(c(t)) = f(x) + t \langle \text{grad}\,f(x), \nu \rangle_x + \mathcal{O}(t^2)$$

其中 $c: I \rightarrow \mathcal{M}$ 是定义在包含0的开区间 $I \subset \mathbb{R}$ 上的曲线，满足 $c(0) = x$，$c'(0) = \nu$，$\text{grad}\,f$ 是 $f$ 在 $\mathcal{M}$ 上的黎曼梯度。

通过引入一个回缩算子 $R: T\mathcal{M} \rightarrow \mathcal{M}$，我们可以将定义在...上的$f$拉回...

## 带钻井旋转的应力合力几何非线性壳理论

在本节中，我们介绍[7]中壳的运动学描述，并在总势能的背景下将其置于最小化问题的框架中。我们推导了信赖域方法所需的一阶切线（黎曼梯度）和二阶切线（黎曼海森矩阵）。随后，我们建立了有限元离散化。

将几何非线性壳问题建模为流形上的优化问题有几个原因。这是因为壳结构...

## 信赖域方法

我们的目标是找到势函数 $\hat{\Pi}$ 的一个局部最优解 $\hat{\Phi}^* = (\varphi^*, \Lambda^*)$，即以下问题的解：

$$\min_{\hat{\Phi} \in \hat{C}} \hat{\Pi}(\hat{\Phi})$$

这对应于一个驻点、平衡解。在下文中，我们将概述使用信赖域方法求解(66)所需的具体细节。

在信赖域方法中，对目标函数进行局部二次近似，类似于牛顿法。然而，与牛顿法中计算可选缩放的无约束最小值点不同...

## 基准案例

通过一系列基准案例验证了信赖域求解器的稳健性。我们将信赖域求解器的性能与标准无约束牛顿法和带有Crisfield型能量线搜索的牛顿法 [5] 进行了比较。比较重点聚焦于三个指标：(伪)时间步数，即实现收敛所需的最少等大小子划分数量、每个时间步内的牛顿迭代总次数，以及...

# 讨论与结论

本文针对具有钻井旋转的几何非线性壳模型提出了一种新颖的黎曼信赖域方法。首先，将模型的基础理论表述为配置流形上的能量最小化问题。在该框架内，推导了黎曼梯度和海森矩阵，并严格处理了Levi-Civita联络和海森矩阵的对称性考虑。在该流形上，黎曼信赖域方法...

# CRediT作者贡献声明

Samuel Lorin：撰写–审阅与编辑，撰写–初稿，验证，软件，方法论。
Christoffer Cromvik：撰写–审阅与编辑，撰写–初稿，软件，方法论。
Gustav Kettil：撰写–审阅与编辑，撰写–初稿，方法论。
Elias B?rjesson：撰写–审阅与编辑，撰写–初稿，验证，软件，方法论。
Michael Roller：撰写–审阅与编辑，撰写–初稿，验证，软件，方法论。
Johan Ljunglide：撰写–审阅与编辑，撰写–初稿，验证，软件，方法论。
Joachim Linn：撰写–审阅与编辑，撰写–初稿，验证，软件，方法论。
Fredrik Edelvik：撰写–审阅与编辑，撰写–初稿，验证，软件，方法论。

# 利益冲突声明

作者声明不存在可能影响本文所报告工作的已知竞争性经济利益或个人关系。

# 致谢

本工作在Chalmers的Wingquist实验室和先进制造学科完成。感谢相关支持。

Samuel Lorin | Christoffer Cromvik | Gustav Kettil | Elias B?rjesson | Michael Roller | Johan Ljunglide | Joachim Linn | Fredrik Edelvik