一种面向小概率事件模拟的渐进保真度细化主动学习方法

《RELIABILITY ENGINEERING & SYSTEM SAFETY》：An active learning method with progressive fidelity refinement for rare-event simulation

　　

**摘要** 在工程应用的可靠性分析中，以合理的计算代价准确评估罕见失效事件至关重要。然而，随着工程问题的日益复杂，基于代理模型的方法在计算效率和精度方面仍不尽如人意。本文提出了一种具有渐进保真度细化的主动学习方法，用于罕见事件仿真。首先，我们构建一系列保真度尽可能低的中间失效域，并随着中间失效事件序列趋近目标失效边界时逐步提高相应的保真度。随后，建立松弛条件分布，以提供足够的候选样本用于代理模型细化。利用生成的候选样本集，进一步建立具有渐进保真度细化的主动学习流程，其中开发了一种保真度级别确定策略，使后续代理模型细化时保持尽可能低的保真度级别。因此，代理模型可以通过计算代价低廉的低保真度评估在中间失效边界附近进行细化，而高精度的保真度评估仅集中于目标失效边界附近，以提高近似精度。从而，可以在大幅降低计算成本的前提下，准确估计罕见失效事件的发生概率。三个数值算例表明，所提方法能够在大幅降低计算成本的情况下准确估计小失效概率。

**引言** 可靠性分析评估工程系统在不确定输入下落入失效域的概率[1]-[4]。对于高精度性能函数$g_h(x)$，失效概率表示为$P_f = P(X \in D) = \int_{\mathbb{R}^d} 1_D(x) f_X(x) dx$，其中$X$表示具有联合概率密度函数$f_X(x)$的随机输入参数，$D = \{x : g_h(x) \leq 0\}$表示目标失效域。为估计该失效概率，一次二阶矩法（FORM）和二次二阶矩法（SORM）对极限状态函数进行局部近似，而基于矩的方法则从有限个矩推断响应分布；这些近似方法可以提供计算上廉价的$P_f$估计[5]-[7]。然而，当失效边界具有高维、高度非线性或受瞬态结构响应控制时，其精度可能降低。蒙特卡罗仿真（MCS）在不同问题类型和维度下提供了较为稳健的替代方案[8]-[11]。然而，当目标失效事件为罕见事件时，从原始输入分布中抽取的样本中仅有极少数落入目标失效域。因此，直接MCS需要非常大的样本集和对性能函数的大量评估才能准确估计失效概率。对于需要反复进行随机有限元或动力学分析的工程模型，这一要求可能使直接MCS在计算上不可行[12]-[14]。

为提高罕见事件估计的效率，已开发了多种高级抽样方法[15]-[16]。与粗MCS相比，这些方法通过将候选样本的生成集中在原始输入分布下几乎不会访问的接近失效域的区域，从而减少计算需求。此类方法包括重要性抽样（IS）、序贯重要性抽样（SIS）和子集仿真（SS），它们通过不同的抽样策略引导样本向失效区域集中[17]-[19]。在这些方法中，SS对工程可靠性分析特别有吸引力，因为它通过一系列发生概率较高的中间条件失效事件来评估罕见事件[20]-[21]。在每个中间事件处进行条件抽样，生成下一个事件的候选样本集，然后从这些中间事件的条件概率中获得目标失效概率。因此，SS可以在目标失效域内提供比粗MCS更多的候选样本，并减少罕见事件概率估计所需的样本量。尽管具有这一抽样优势，每个候选样本仍需要一次原始性能函数的评估。因此，在涉及极其耗时的非线性或动力学的模型问题中，这些重复评估仍然计算昂贵，从而限制了这些方法在工程实践中的应用[22]。

作为昂贵性能函数直接评估的替代方案，基于代理模型的方法引起了越来越多的关注，即采用代理模型来预测原始性能函数的响应，而非执行昂贵的直接评估[23]-[25]。各种代理模型已被引入可靠性分析，包括多项式混沌展开（PCE）[26]-[27]、基于机器学习的模型[28]-[29]和克里金（Kriging）[30]-[31]。其中，克里金作为代理模型被广泛采用，因为它不仅提供预测值，还提供预测不确定度的度量[32]。基于预测均值和预测不确定度，主动学习策略从蒙特卡罗候选样本集中自适应地选择样本，在目标失效边界附近更新克里金代理模型，如主动学习克里金-MCS（AK-MCS）方法所示[33]-[35]。然而，对于罕见事件估计，该蒙特卡罗候选样本集可能在失效区域附近包含的样本太少，从而代理模型无法有效细化以实现小失效概率的准确估计。为此，主动学习策略进一步与子集仿真相结合，开发了代理辅助的主动学习子集仿真方法，如AK-SS、AK-MCMC和AK-coSS，用于小失效概率估计[36]-[37]。这些方法旨在通过中间失效域顺序生成候选样本集，然后通过主动学习在这些生成的候选样本集上细化克里金代理模型[38]。与使用全局蒙特卡罗候选样本集的AK-MCS相比，所获得的系列候选样本集在接近目标失效域的区域提供了更多样本，从而代理模型可以在目标失效边界附近更有效地进行细化，小失效概率可以估计得更准确。然而，在代理辅助子集仿真的序贯代理细化过程中，在到达目标极限状态面之前，主动学习是在一系列中间失效边界周围进行的。这些中间边界主要服务于向目标失效域生成候选样本集，而可靠性分析的精度主要取决于目标极限状态面附近的代理模型近似精度[23]。因此，围绕这些中间边界反复细化高保真度代理模型可能需要大量昂贵的评估，从而对大规模工程应用造成显著的计算负担。

受此观察启发，多保真度建模提供了一种自然的方式来减少罕见事件可靠性分析中反复昂贵的高精度评估[39]-[41]。在实际工程问题中，可以通过物理简化、较粗的离散化或降阶表示等方法，将低精度（低保真度）模型作为高精度（高保真度）模型的简化近似来推导[42]。这些低成本模型在早期和中间阶段可能足以引导候选样本集的生成，从而减少围绕中间边界反复进行的高保真度细化，并将这些昂贵评估集中用于目标失效边界附近，以高精度估计罕见事件概率。然而，由于不同保真度级别下定义的中间失效事件之间存在差异，将低保真度模型引入代理辅助的中间失效事件序列并不 straightforward。要使保真度级别逐步提高的代理辅助子集仿真具有吸引力，需满足两个要求。首先，从低保真度中间域生成的候选样本集应对保真度提高后的代理模型细化仍然足够。这对于在保真度提高后的中间边界附近细化代理模型以及保持失效概率估计的精度至关重要。其次，每个中间失效域所使用的保真度级别应尽可能低。这对于使用低成本保真度级别围绕相应中间边界细化代理模型，从而高效估计罕见事件概率至关重要。

本文开发了一种具有渐进保真度细化的主动学习方法，用于罕见事件估计。在所提方法中，首先定义一系列保真度依赖的中间失效域，其保真度级别尽可能低，以避免围绕每个中间边界细化一致的高保真度代理模型。基于建立的保真度依赖中间失效域，然后开发了一种基于松弛的候选样本集生成流程。由于松弛条件分布允许当前中间失效域外的样本参与后续候选生成，生成的候选样本集在保真度提高后的代理模型细化方面仍然足够，从而保证了中间边界附近代理模型近似精度以及失效概率估计的准确性。利用该松弛条件分布，进一步开发了具有渐进保真度细化的主动学习流程，以在生成的候选样本集上细化代理模型。在此流程中，与传统的多保真度主动学习方法不同——传统方法中样本位置及其保真度级别被联合选择以围绕单一目标失效面细化多保真度代理模型[43]——所提方法进一步为每个中间失效域分配保真度级别，以引导沿中间失效事件序列的候选样本集生成和代理模型细化。具体而言，这一分配通过保真度级别确定策略完成，该策略评估较低的保真度级别是否仍能为后续候选生成提供足够的样本。据此，当保真度级别对候选样本集生成仍然有效时，保持尽可能低的保真度级别，仅在目标失效边界附近需要更高保真度的评估进行代理模型细化时才提高保真度级别。因此，代理模型可以通过计算代价低廉的低保真度评估在中间失效边界附近进行细化，而高保真度模型的昂贵评估仅集中于目标失效边界附近区域，以提高代理模型精度。最后，通过子集仿真结合所获得的代理模型来评估罕见事件概率。从而，所提方法能够以改进的效率和精度估计罕见事件概率，适用于受不确定输入影响的实际工程系统可靠性分析。

本文结构如下：第2节简要回顾了基于代理模型的子集仿真罕见事件可靠性分析。第3节描述了所提出的具有渐进保真度细化的主动学习方法。第4节通过三个数值算例验证了所提方法，包括非线性Duffing振荡器和几何非线性钢框架。

**代理辅助子集仿真** 本节概述了子集仿真及其与主动学习代理模型在小失效概率估计中的集成。本节还讨论了现有代理辅助子集仿真方法在工程实际应用中的局限性。

**用于可靠性分析具有渐进保真度细化的主动学习方法** 为克服前述主动学习代理辅助方法在罕见事件估计中出现的局限性，本节开发了一种具有渐进保真度细化的主动学习方法。所提方法的基本思想是构建一系列保真度尽可能低的中间失效事件，并随着中间失效事件序列趋近目标而逐步提高用于代理模型细化的保真度级别。

**数值算例** 本节呈现三个算例以展示所开发的具有渐进保真度细化的主动学习方法性能。算例1提供了一个具有变形椭圆失效边界的二维解析可靠性问题，用于可视化候选样本集生成和代理模型细化过程。算例2通过将失效事件重新表述为标量处理非线性Duffing振荡器的首次穿越罕见事件可靠性问题。

**结论** 本文开发了一种具有渐进保真度细化的主动学习方法，用于受不确定输入影响的工程系统高效罕见事件可靠性分析。在本方法中，首先定义一系列保真度依赖的中间失效域，以避免围绕一系列中间边界细化单一高保真度代理模型。基于这些域，然后建立了松弛条件分布用于候选样本集生成，其中

**CRediT作者贡献声明** 李大树：调查。张瑞静：调查。戴洪哲：调查。

**利益冲突声明** 作者声明不存在任何已知的竞争性经济利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

**致谢** 本研究受中国国家自然科学基金资助（项目12272109）。在此对此支持表示衷心感谢。

李大树 | 张瑞静 | 戴洪哲