FNO-PD：一种基于傅里叶神经算子的物理-数据驱动框架，用于车轨耦合系统动力学响应的高效计算

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：FNO-PD: A Fourier neural operator-based physics-based data-driven framework for efficient dynamic response computation in vehicle-track coupled systems

　　

**摘要**

准确高效地计算车轨耦合系统的动力学响应对于高速铁路的安全、平稳运行及维护优化至关重要。然而，传统数值仿真方法在求解大规模动力学问题时存在显著的效率瓶颈，而现有的深度学习方法难以准确表征系统的全局动态耦合特性。为应对这些挑战，本研究提出了一种基于傅里叶神经算子的物理信息数据驱动（FNO-PD）框架，用于高效预测车轨耦合系统的动力学响应。该框架包含物理驱动模块和数据驱动模块：物理驱动模块将物理信息融入FNO中，用于预测列车动力学响应；数据驱动模块结合本征正交分解（POD）与FNO，用于预测钢轨位移场。以概率密度演化法（PDEM）作为基准，对所提框架的精度和效率进行评估。在相同的车轨数值框架下，模型在实测轨道不平顺输入、近程速度外推以及噪声干扰鲁棒性方面进行了数值泛化能力评估。结果表明，FNO-PD框架实现了高精度的预测和在线计算效率，其预测结果与PDEM结果吻合良好。在在线预测过程中，所提方法相比PDEM实现了约1200倍的速度提升。在训练范围内及略超出训练范围速度下的实测轨道不平顺输入测试，以及噪声干扰测试表明，在所测试条件下具有令人满意的数值泛化能力和噪声鲁棒性。本研究为车轨耦合系统动力学响应的数值预测提供了一种新颖高效的技术途径，有望在高速铁路工程的大规模数值分析中得到应用。

**引言**

随着全球高速铁路网络的持续扩展和运营速度的稳步提升，车轨系统的动态耦合效应日益复杂。这些效应已成为影响高速铁路运营安全、运行性能和结构耐久性的关键因素。在列车运行过程中，轨道不平顺、车辆结构参数波动以及速度变化共同诱发轨道和车体的复杂动力学响应。这些响应可能直接威胁运行稳定性和安全性，如异常的轮轨磨损[1]、车辆部件的疲劳损伤[2]以及路基沉降[3]。此外，这些响应还可能降低乘坐舒适度[4]、产生额外的振动和噪声[5]、增加维护成本，并缩短轨道和车辆关键部件的使用寿命[6]。然而，目前的车轨耦合动力学分析仍然主要依赖于数值仿真，对于多随机因素和多工况场景效率低下，大规模仿真和批量分析因此在工程实践中难以实施。因此，开发准确高效的车轨耦合动力学计算框架仍然是一个重要课题。

在以往的研究中，传统数值仿真方法一直是车轨耦合动力学分析的主流方法。翟等[7]发展了车轨耦合动力学理论，获取了列车荷载下的路基面位移时程和基础振动响应等动力学响应。李等[8]利用商业软件通用机械（UM）建立了车轨多体动力学模型，研究了曲线轨道上的钢轨磨损行为。徐等[9]将车体建模为多刚体系统，并利用有限元法（FEM）模拟了轨道-路基相互作用，讨论了不同轮轨接触模型的适用性。为提高计算效率，提出了并行隐式时间积分算法[10]、高级求解器算法[11]和高效迭代求解方法[12]。然而，这些方法通常需要逐例求解。当考虑多参数组合或大量随机不平顺样本时，仍需反复进行时域积分，计算瓶颈尤为明显。对于车轨耦合动态系统的随机分析，常用方法包括蒙特卡洛方法（MCM）[13]、[14]，随机摄动法（RPM）[15]、[16]，伪激励法（PEM）[17]、[18]、[19]以及概率密度演化法（PDEM）[20]、[21]、[22]。尽管这些方法对不确定性分析有效，但仍需要反复确定性的仿真，计算成本较高。特别是MCM等方法需要大量重复计算，进一步放大了传统数值方法的效率限制，使得快速工程评估难以实现。

近年来，随着计算机硬件的快速发展，深度学习方法在结构动力学响应分析中受到越来越多的关注。其强大的建模能力和高效的数据处理能力为提高计算效率提供了新的可能。这些方法大致可分为纯数据驱动方法和物理信息数据驱动方法。纯数据驱动方法利用大规模标注数据集训练神经网络，直接从数据中学习输入-输出映射。例如，用于学习时空动力学的卷积神经网络（CNN）[23]，用于建模时序依赖关系的循环神经网络（RNN）[24]，用于缓解长期依赖问题的长短期记忆（LSTM）网络[25]，以及用于在非结构化网格上预测时空物理特性的图神经网络（GNN）[26]。然而，这些方法大多为黑箱模型，严重依赖大规模数据集，泛化能力可能有限，并可能产生与物理规律不一致的预测结果。为解决这些问题，物理信息神经网络（PINNs）[27]作为一种代表性的物理信息数据驱动方法应运而生，并已被证明是深度学习中的有效范式[28]。与纯数据驱动方法不同，PINNs将物理信息嵌入损失函数中并用于约束网络训练，从而构建具有更好物理一致性和泛化能力的模型。李等[29]将膨胀性粘土土的持水方程纳入基于PINN的模型中，并展示了其在模拟非饱和土水力动力学响应方面的能力。刘等[30]展示了PINNs在地震场地响应分析中的潜力。阎等[31]提出了一种基于PINN的智能桥梁支座方法，并实现了对支座反力的有效预测。然而，传统神经网络模型主要学习有限维输入与输出之间的映射，依赖于适当的离散化策略，而PINNs是一种无网格方法，不需要显式的离散化方案。

最近，学习从参数空间到解函数空间映射的神经算子方法逐渐成为研究热点。它们不依赖于特定的离散化方案，可以直接对连续时空场中的全局关系进行建模。傅里叶神经算子（FNO）[32]和深度算子网络（DeepONets）[33]是典型示例。与经典神经网络相比，神经算子可以在训练后预测不同参数配置下的解函数。然而，标准神经算子仍以数据驱动为主。为克服这一局限，开发了融合物理信息的神经算子。例如，李等[34]提出了物理信息神经算子（PINO），通过结合训练数据和物理约束来学习参数化偏微分方程（PDEs）的解算子。王等[35]提出了物理信息DeepONet框架，并展示了其在快速预测不同参数化PDEs解方面的有效性。此类物理信息神经算子已成功应用于多体动力学[36]、流体力学[37]、[38]和断裂力学[39]、[40]。近期的研究还表明，将领域知识和物理机制嵌入建模过程可以提高所学特征表示的质量。例如，受电弓-接触网相互作用的物理信息代理建模揭示了与机制相关的动力学特性如何在复杂工况下控制模型响应[41]。类似地，CFFsBD[42]将候选故障频率信息嵌入特征增强中，进一步证实了机制引导建模在特征表示方面的价值。然而，在车轨耦合动力学领域，相关研究仍然有限。传统数值仿真效率低下，基于经典神经网络的预测方法大多集中于局部响应拟合，因此难以用于完整表征系统的全局动力学行为。物理信息神经算子具有学习参数到全局解映射的能力，并可融入物理约束，非常适合多参数输入、多部件耦合和全局场输出问题。然而，其在车轨耦合动力学中的应用尚未得到充分探索，这限制了当前车轨动力学预测方法的效率和全局表征能力，使物理信息神经算子在该领域的潜力未能得到充分发展。

为解决传统数值方法在多工况仿真中计算效率低、常规神经网络难以捕捉系统全局耦合特性以及现有物理信息神经算子模型在大规模工程应用中可扩展性有限的问题，本文开发了一种物理引导的数据驱动FNO-PD框架，用于预测车轨耦合系统的全局钢轨位移场。本研究的主要贡献如下：

（1）开发了一种融合FNO、基于POD的降阶表示和物理约束的全局响应预测框架。该框架采用FNO学习车轨耦合系统的全局映射关系，利用POD降低全场响应预测的维度，并引入控制方程和导数约束以增强模型预测的物理一致性。这为车轨耦合系统的高效全局响应预测提供了一种可行方案。

（2）建立了车轨耦合系统随机动力学响应分析的高效预测机制。通过与PDEM及相关基线模型的对比，验证了所提框架在预测精度和计算效率两方面的性能，为多工况和大规模场景下的重复仿真分析提供了一种高效替代方案。

（3）将FNO-PD框架的泛化能力评估扩展到实测轨道不平顺输入。以数值解作为参考响应，评估了所提框架在实际激励下车轨系统动力学响应的快速预测能力，为工程场景中的高效多工况动力学响应分析提供了依据。

本文其余部分组织如下：第2节介绍FNO-PD框架的核心方法。第3节通过数据集构建与预处理、参数优化与配置、基线对比和数值性能分析验证所提框架的有效性。第4节对车轨耦合系统进行随机动力学响应分析，并通过数值算例进一步评估FNO-PD框架在实测轨道不平顺输入下的泛化性能。第5节总结主要结论并讨论未来工作。

**章节片段**

**车轨空间耦合系统的动力学模型**

本文采用多体动力学（MBD）和有限元法（FEM）分别模拟列车和轨道子系统。钢轨和轨枕被处理为伯努利-欧拉梁，道砟层被建模为弹性质量块，各结构层之间的相互作用通过线性弹簧-阻尼单元进行模拟。最终建立了图1所示的车轨系统空间耦合动力学模型。

所构建的空间…

**数据集构建与预处理**

为构建深度学习所需的训练集和测试集，本文在第2.1节描述的车轨空间耦合系统动力学模型基础上，通过MATLAB数值仿真平台实现。本研究仅关注列车在直线轨道上匀速行驶的场景，每个数值仿真工况由三个可变输入参数定义：列车运行速度、列车子系统物理参数和轨道…

**数值算例**

在本节中，以PDEM作为基准，对比分析FNO-PD框架在预测车轨耦合系统随机动力学响应方面的性能。然后利用该框架研究列车运行速度对系统随机动力学响应的影响。在此基础上，进一步引入实测轨道不平顺数据，评估FNO-PD框架在实际不平顺输入下的泛化能力。

**结论与展望**

本文提出了一种融合物理信息约束、FNO和POD的FNO-PD框架，用于高效预测车轨耦合系统的动力学响应。以PDEM作为基准，系统评估了该框架的预测精度和计算效率。进一步在实测轨道不平顺输入和不同噪声水平下评估了框架性能。主要结论如下：

（1）FNO-PD框架实现了高精度…

**CRediT作者贡献声明**

陈立兵：原创草稿撰写、软件、方法学、形式分析、数据管理。
宋立：审阅与编辑、资金获取、概念构思。
余智武：指导、资金获取。

Jian Hou：验证，调查。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文所述工作的已知竞争性财务利益或个人关系。

致谢
本工作得到了国家重点研发计划“工程科学与交叉融合”专项（项目编号：2025YFF0519300）、国家自然科学基金（项目编号：52078492 和 52378208）以及中国铁路集团有限公科技研发计划项目（项目编号：2023-Special-07、2025-Special-03 和 2025-Special-04）的支持。

Libing Chen|Li Song|Zhiwu Yu|Jian Hou