无限离散分布随机采样下反应–扩散神经网络（RDNNs）的几乎必然指数同步与截断-尾部验证LMI设计

《Mathematics》：Synchronization in Probability of Reaction–Diffusion Neural Networks Under Stochastic Sampling Governed by Infinite Discrete Distributions

　　

研究人员将反应–扩散神经网络（reaction–diffusion neural networks, RDNNs）的随机采样数据同步从有限支撑采样分布推广到无限离散分布，其采样区间取自可数无限集合 {q_i}_i=1^∞，概率为 {α_i}_i=1^∞。研究识别出四个正则条件——有限区间均值、加权绝对衰减参数的可和性、概率平均衰减率的严格正性以及衰减参数的有上界性，这使得 Lyapunov–Krasovskii 泛函（Lyapunov–Krasovskii functional, LKF）在其时滞权重上模式无关，从而在采样时刻连续。构造了模式依赖 LKF，将弱大数定律步骤替换为大数强定律并结合 Cesàro 型论证，无限族设计线性矩阵不等式（linear matrix inequalities, LMIs）通过截断-尾部验证过程处理，并给出严格证明：当尾部衰减参数非正时，尾部条件为仿射条件，并由共享变量的角点可行性检查证明；否则，适用收敛尾部论证。建立了具有显式速率的几乎必然指数同步，这意味着依概率同步，并以 LMI 形式导出控制器设计条件；三个例子（两个神经网络和一个反应–扩散神经网络）通过计算增益、验证尾部条件、随机闭环仿真、N-灵敏度分析以及与固定周期控制器的比较，验证了该设计。所提出的框架消除了采样分布的有限支撑限制，并产生具有数值可验证 LMI 设计的几乎必然、速率显式同步保证。

神经网络（neural networks, NNs）自 Hopfield 提出首个集体计算模型以及 Chua and Yang 引入细胞神经网络以来受到持续关注。NNs 具有大存储容量、强自学习、联想记忆和优化能力，已应用于模型辨识、模式识别、信号处理和组合优化。耦合 NNs 的同步支撑保密通信、图像处理以及生物与工程网络集体行为建模。在硬件和网络实现中，耦合由数字控制器在离散采样时刻实现，采样间隔常不确定，随机采样成为现实描述。反应–扩散神经网络（reaction–diffusion neural networks, RDNNs）引入神经元状态空间扩散。Turing 的分析表明，反应–扩散机制可破坏均匀模式，因此 RDNNs 动力学分析既有挑战性又具实际相关性。已有 RDNNs 研究覆盖脉冲同步、随机 RDNNs 脉冲同步、采样数据控制下的准同步、自适应事件触发同步、模糊自适应采样数据镇定、多层 RDNNs 反同步、忆阻 RDNNs 全局指数同步以及切换时滞反应–扩散系统同步等。由于扩散和时滞下自然同步困难，控制型同步成为中心议题；代表性采样数据设计包括有限时间同步、异步采样数据控制、改进模糊采样数据镇定、输出同步、加性时滞模糊采样数据同步、空间采样数据同步和空间点采样下量化采样数据设计。

在采样数据文献中，随机采样已用于广泛问题。已有工作将随机区间建模为连续分布或有限支撑离散分布。Zeng et al. 的切换系统协议在有限离散分布下，通过给活动子系统附加切换参数、构造模式依赖 LKF 并调用弱大数定律，建立了 RDNNs 的依概率同步。近期工作继续放宽采样与通信假设，包括异步非周期采样数据耦合、基于累积状态误差的事件触发采样、有向网络异步采样数据事件触发间歇控制、反应–扩散项耦合 NNs 事件触发同步、混合时滞与随机分布时滞脉冲同步以及执行器饱和下采样数据混沌 NN 同步。然而，这些工作将采样区间建模为确定性、有界或有限支撑随机序列，结论通常为确定性或均方意义。本文的不同在于：采样区间服从可数无限离散分布，且同步结论强化为具有显式速率的几乎必然指数衰减，其概率步骤由弱大数定律替换为大数强定律。

有限支撑假设便于使 LKF 条件形成有限 LMI 族，但排除了区间集为可数无限的采样模型，例如由队列、重传计数和长尾通信链路产生的几何或泊松型区间律。在这类模型中，支撑集无限，设计条件成为无限 LMI 族，弱大数定律仅给出依概率收敛。因此，研究人员去除有限支撑限制，主要贡献包括：无限离散采样模型与四个正则条件；具有显式速率的几乎必然指数同步；截断-尾部验证。研究人员构造模式依赖 LKF，使延迟项指数权重模式无关且跨采样连续；用大数强定律结合 Cesàro 型均匀性论证替代弱大数定律步骤；将无限 LMI 族通过先截断设计、再尾部验证的两步数值过程处理。尾部衰减参数非正时，尾部条件仿射，并由共享变量的角点可行性检查证明；否则适用收敛尾部论证。研究建立几乎必然指数同步显式速率，意味着依概率同步，并导出 LMI 控制器设计条件；三个例子验证设计。其意义在于消除采样分布有限支撑限制，并给出几乎必然、速率显式且数值可验证 LMI 设计的同步保证。

主要关键技术方法：采用可数无限离散采样模型与 (C1)–(C4) 正则条件；构造模式依赖 LKF，结合 Jensen 不等式、Wirtinger 不等式、Schur 补（Schur complement）与 LMI 导出分析与设计条件；用大数强定律与 Cesàro 平均证明几乎必然指数衰减；无限 LMI 族通过截断设计加尾部验证处理，尾部非正时用仿射角点可行性，否则用收敛尾部论证；数值上对 NN、RDNN 和一般参数模型进行闭环仿真、N-灵敏度分析与固定周期控制器比较。无样本队列来源。

研究结果如下。3.1 反应–扩散神经网络的依概率同步：构造模式依赖 LKF，定理1表明若存在矩阵满足相应 LMI 条件，则驱动–响应 RDNNs 与切换采样控制器实现几乎必然指数同步，误差界明确，速率由 (C3) 的概率平均衰减率 ? 给出；因此依概率同步成立。3.2 控制器设计：当增益未知，引入变量线性化双线性项，定理2给出若设计 LMI 成立且 S 非奇异，则控制器增益由相应表达式给出，实现几乎必然指数同步。3.3 无扩散神经网络同步：当无反应–扩散项时，去掉扩散项和相应约束，定理3表明延迟 NNs 在相同假设与 (C1)–(C4) 下同样达到几乎必然指数同步和依概率同步，设计条件类似。4.1 截断-尾部验证：无限 LMI 族用两步处理：固定 N 解截断 LMI 得增益，再验证尾部。Case A 中尾部衰减参数非正，尾部条件仿射，用共享变量角点可行性检查认证；Case B 中尾部收敛，极限问题严格可行则除有限个尾部索引外均认证，剩余个体验证；失败则增大 N。4.2 例1 神经网络：几何采样律，参数满足 (C1)–(C4)，解截断设计 LMI 得增益，尾部角点验证严格可行；闭环误差单调衰减至机器精度，开环误差放大且不衰减，说明控制器必要。4.3 例2 反应–扩散神经网络：一维域 Dirichlet 边界，同一几何分布，解定理2设计 LMI 得增益，尾部验证严格可行；空间–时间误差 L₂ 范数衰减至机器精度，开环误差增长。4.4 例3 一般参数序列：不同几何律，衰减参数变化并收敛，早期为正、尾部非正；解定理3设计 LMI 得增益，尾部 Case A 验证严格可行；闭环衰减至机器精度，开环放大。4.5 截断水平 N 的灵敏度：对例1取五个截断水平，设计均可行且尾部验证通过；截断平均率随 N 单调趋近全率，增益增量随 N 下降，尾部质量几何衰减。4.6 与固定周期控制器比较：固定周期控制器以均值区间设计常数增益；在相同随机采样律、长区间压力路径与 200 条随机路径上，模式依赖控制器最终误差小于固定周期控制器，且所有测试路径上不劣于后者。4.7 讨论：框架模型无关，适用于 NN、RDNN 和一般参数模型；保证速率为几乎必然量，仿真速率更快反映 LKF 保守性；尾部验证定量，N-灵敏度确认截断率和增益收敛；模式依赖设计匹配或优于固定周期控制器；开环仿真确认指数衰减由采样数据控制器导致。

结论部分翻译：研究人员将随机采样数据同步框架从有限离散分布推广到无限离散分布。在四个正则条件下，通过跨采样连续的模式依赖 LKF 建立 RDNNs 几乎必然指数同步，概率步骤由弱大数定律强化为大数强定律加 Cesàro 论证，显式速率由概率平均衰减参数给出；依概率同步作为推论。设计条件以 LMI 给出，并提出截断-尾部验证：尾部衰减参数非正时，尾部条件仿射并由共享变量角点可行性检查证明；否则适用收敛尾部论证。框架在三个数值例子中验证，覆盖几何采样律神经网络、反应–扩散神经网络和具有变化衰减序列的一般参数模型；N-灵敏度分析确认截断设计收敛，与固定周期控制器在 200 条随机路径上的比较显示模式依赖设计至少同样有效。未来工作包括将框架扩展到采样律的 Markovian 切换、输出反馈协议以及均值条件 (C1) 失败的重尾分布；对于此类重尾分布，需重新审视尾部证书，因为 Case A 的仿射结构依赖 (C1)–(C2) 有界性假设。