摘要
传统的偏度和峰度要求有限的三阶和四阶矩，因此对于尾指数较小的帕累托型和极值模型来说是无定义的。我们研究基于平均绝对偏差（MAD）的形状度量，这些度量仅要求有限的均值，并探讨它们在解释、计算和参数估计方面与L矩比率相比如何。对于帕累托I-IV、弗雷歇、古姆贝尔和魏布尔分布族，我们利用不完全Beta和Gamma函数推导了关于任意分位数的MAD、MAD偏度和峰度以及相应L矩比率的闭式表达式，并通过数值积分进行了验证。MAD度量是有界的，并且在子均值方面具有简单的解释。然后我们提出了MAD-Q，它在四分位数处匹配理论和经验MAD，给出其闭式形式的雅可比矩阵，并刻画了可识别性：当尺度已知时，估计方程有唯一解；而当尺度未知时，MAD比率不是单调的，需要一个四分位数一致性步骤。在尺度已知的蒙特卡洛实验中，对于大多数分布族，MAD-Q是最准确的非似然方法，并且在破坏帕累托I似然性的下尾污染情况下仍然可用；当尺度未知时，其优势仅限于无穷方差的尾部。财务损失和风速应用说明了该方法的优势和局限性。
