参数化物理信息神经网络（PINN）与非侵入式张量降阶模型（TROM）在一维浅水溃坝问题中的对比研究

《Fluids》：Comparison of a Parametric Physics-Informed Neural Network and a Tensorial Reduced-Order Model for the Shallow-Water Dam-Break Problem

　　

研究人员构建了两种参数化数据驱动降阶模型：物理信息神经网络（physics-informed neural network, PINN）和非侵入式张量降阶模型（non-intrusive tensorial reduced-order model, TROM），并将两种方法应用于参数化一维浅水溃坝问题。两种降阶模型均无需时间积分，而是学习从空间、时间和溃坝参数到物理状态的直接解映射。研究人员针对样本外参数值与外推参数值给出了详细比较。此外，研究还证明，引入激波感知配点（shock-aware collocation）对于提高PINN模型的鲁棒性至关重要。

研究背景与问题

双曲型守恒律在流体力学等领域广泛出现，其解常含有尖锐瞬态和间断（激波）。一维浅水溃坝问题作为典型基准，尽管形式简单，却包含非线性波相互作用、移动波前以及干/湿床配置导致的强间断，给经典数值离散和代理建模带来挑战。投影型降阶模型在输运主导问题中受到Kolmogorov n-宽度衰减缓慢的限制，难以在间断附近保持精度；物理信息神经网络（physics-informed neural network, PINN）将偏微分方程（partial differential equation, PDE）嵌入损失函数，但双曲守恒律的间断使强形式微分方程在间断处失效，训练稳定性与激波定位困难。为此，研究人员旨在构造并系统比较两种参数化降阶模型：非侵入式张量降阶模型（non-intrusive tensorial reduced-order model, TROM）与参数化PINN。两者基于同一全阶模型（full-order model, FOM）数据集构建，在线评估均无需时间积分，并可在同一基准下评估插值和外推性能。该比较为含激波参数化双曲问题的代理模型选型提供了量化依据，并揭示了强间断条件下PINN鲁棒训练的关键设计。

主要技术方法

研究人员采用由局部Lax-Friedrich斯（Local Lax-Friedrichs, LLF）有限体积全阶模型在65个参数实例上生成的快照数据集。TROM将快照组织为四阶张量，通过高阶奇异值分解（higher-order singular value decomposition, HOSVD）获得Tucker低秩表示，并用三次样条在参数网格上插值、经张量收缩重构新参数解。PINN采用全连接网络，以平均水深和相对跃变重新参数化输入；损失包含监督数据、强形式质量/动量残差、边界与初值条件及非负惩罚；训练中使用激波感知配点、PDE门控、指数移动平均均方根（EMA-RMS）残差缩放、余弦退火与梯度裁剪。评估采用相对L₂误差和Fourier谱分析。

5. 数值结果（插值）

研究人员在六个代表性参数状态下比较水深h和流量q的预测，发现两种模型均能准确再现激波位置，误差主要集中于移动间断附近；TROM在干床情形更准确，PINN在湿床情形更准确，近干床参数(26,0.14)对两者都最难。Fourier谱分析显示，预测谱在低、中波数与FOM一致，高波数偏差最大。计算成本方面，FOM数据生成约占TROM离线成本的94%；TROM在线单次重构相对FOM约快10³倍，而PINN的主要开销是离线训练。

6. 外推实验

针对训练参数范围之外的六个参数值，两种模型均能复现大尺度解结构和传播激波，但PINN在所有外推情形下均获得更低的相对误差；TROM在远离训练范围时会在激波附近出现人工凸起，且随外推距离增大而更明显。

7. 消融研究

在固定参考配置上逐一移除组件后发现，移除激波感知配点使聚合误差分数增至三倍以上，是影响最大的设计；其次是PDE门控和EMA-RMS残差缩放；移除PDE损失本身仅造成较小退化；减小流量权重主要增大q误差；移除ramp-up影响很小。这表明对含激波问题，残差在何处以及如何施加比是否包含PDE损失更关键。

8. 讨论与结论

讨论指出，TROM在结构化参数网格上构建快速、离线成本低，但需要矩形张量积网格，难以处理不规则采样或局部参数加密；PINN训练昂贵且需仔细调节，但可处理非均匀数据、可通过迁移学习更新，并能重构任意时刻的解。两种模型在近干床极限等参数正则性较弱时均面临困难；当激波在t=0.2移出计算域时，二者在右边界附近均不准确。由于精度均相对于LLF-FOM参数到解映射衡量，二者可能继承参考数据的数值扩散特征。总体结论是：TROM与PINN是互补而非竞争关系——TROM适合结构参数网格上的快速直接压缩，PINN更适合不规则数据和外推需求；选择取决于数据、参数域结构和应用目标，融合两者是值得探索的方向。