通过耦合广义有限差分法和投影方法对二维强迫对流问题进行数值模拟

《Engineering Analysis with Boundary Elements》：Numerical simulation of 2D forced convection problems via coupled generalized finite difference and projection methods

　　摘要：本文提出了一个无网格框架，将广义有限差分方法（GFDM）与一阶投影方案相结合，用于求解二维层流强迫对流问题。不可压缩的Navier-Stokes方程和能量方程在节点云上离散化，无需背景单元或域积分。该公式一致地处理了局部GFDM算子、压力边界条件、壁面梯度重构和稳态推进。研究了三个基准案例：后退台阶、T形通道和周期性沟槽通道。通过速度场和压力场、再附长度、局部Nusselt数、节点密度研究以及守恒诊断对结果进行了验证。速度和传热结果与已发表的数值研究和实验结果在测试的层流范围10≤Re≤1076内一致。最大差异出现在非光滑角落附近，因为这些地方对壁面法向梯度重构最为敏感。入口与出口的质量不平衡随着节点细化的增加而减少，而均方根偏差和最大点扩散范数却随着节点细化的增加而增加。结果表明，GFDM-投影耦合公式为模拟几何形状不光滑的二维域中的流动分离、再循环、压力损失和局部壁面传热提供了一个无网格节点框架。

引言：强迫对流是一种基本的热传递机制，通过外部手段诱导流体运动来增强热量传输。这种现象广泛应用于各种工程领域，包括供暖、通风和空调系统、电子冷却以及工业热过程。由于其实际重要性，强迫对流已被广泛采用数值模拟技术进行研究。过去几十年中，提出了许多计算方法来分析强迫对流现象[1][2][3][4][5][6][7][8]。例如，Wang和Chen[2]采用坐标变换技术与样条交替方向隐式方法研究了具有正弦波状壁面的通道中的热传递，证明了随着雷诺数和壁面振幅与波长比的增加，热传递增强。Alawadhi[3]应用有限元方法（FEM）模拟了含有矩形热源的通道中的强迫对流冷却，并表明使用波状板可以显著提高对流热传递。Saeidi和Khodadadi[4]使用有限体积方法（FVM）研究了带有进出口的方形腔体中的稳定强迫对流，重点研究了进出口位置和开口大小对流场和热场的影响。Shen等人[6]提出了一种用于不规则域中二维强迫对流的局部差分求积方法，并与现有的数值和实验结果吻合良好。Najafi等人[7]引入了一种基于特征的分裂算法，改进了用于层流、自然对流和强迫对流的无网格局部Petrov-Galerkin方法。最近，Afzal等人[8]对共轭强迫对流传热进行了全面综述，涵盖了稳定和非稳定实验及数值研究，并指出了当前挑战和未来研究方向。尽管有这些数值方法，但对于实际应用中遇到的复杂几何形状，仍需要额外的功能。传统的基于网格的方法，如有限差分方法（FDM）、FEM、FVM和边界元方法（BEM）已被广泛使用，并显示出良好的鲁棒性。然而，生成高质量网格通常既费时又费力，且网格变形可能会影响解的准确性。对于突然扩展、狭窄沟槽、凹角和局部集中热梯度的情况，可能需要重复调整网格或局部细化。为了克服这些限制，开发了多种无网格方法，包括基本解法（MFS）[9]、Treffatz方法[10]、径向基函数配置方法[11][12]、虚拟中心方法[13]、广义有限差分方法（GFDM）[14][15]、局部径向基函数配置方法[16]和局部基本解法[17]。这些方法避免了传统的单元连接性，从而减少了网格生成的需求并提高了几何灵活性。其中，GFDM是一种域型无网格方法，它将经典的有限差分概念扩展到分散的节点。其局部微分算子可以应用于内部和边界节点，并且在适当选择支撑几何形状的情况下，可以产生稀疏的代数系统。GFDM最初由Benito等人[18]提出，它利用泰勒级数展开和移动最小二乘技术来近似空间导数，使得给定节点处的导数可以表示为邻近节点值的加权线性组合。通过在内部节点施加控制方程和在边界节点施加边界条件，通过点配置对控制方程进行离散化。由于不需要单元网格或域积分，GFDM提供了一个灵活的数值框架。它已成功应用于非线性障碍问题[19]、Burgers方程[20]、逆Cauchy问题[21]、双扩散自然对流[22]、浅水方程[14]、波浪-电流相互作用[15]、平面裂纹问题[23]、Stokes方程[24]以及数值波浪水槽中的非线性波传播[25]。准确且可重复的GFDM实现需要明确指定支撑选择、权重矩阵、单边边界模板和支撑尺寸标准。

强迫对流问题由不可压缩的Navier-Stokes方程和能量方程共同控制。对于不可压缩流的数值求解，投影方法（也称为算子分裂方案）是一种广泛使用的方法。该方法最初由Chorin[26]和Temam[27]提出，通过计算中间速度、求解压力Poisson方程，然后校正速度场来满足不可压缩性约束，从而将速度场和压力场解耦。该方法已应用于密度驱动流[28]、高雷诺数自然对流[29]、多孔介质中的自然对流[30]以及具有可变密度和粘度的不可压缩流[31]。当与无网格空间离散化结合使用时，需要特别关注压力边界条件、压力零空间、时间分裂和单边支撑附近的残差扩散。

受GFDM和投影方法互补特性的启发，本研究开发了一个用于二维层流强迫对流的耦合GFDM-投影框架。动量方程、压力Poisson方程、速度校正和能量方程使用相同的局部GFDM算子进行离散化。压力边界条件从速度校正方程一致推导得出：在入口和固体壁面施加均匀Neumann条件，在出口处规定零规压力以确保压力Poisson问题的唯一性。使用相同的局部GFDM算重新构造用于评估局部Nusselt数的壁面法向温度梯度。数值评估包括速度场和压力场、再附长度、主要变量的节点密度差异以及单独的扩散和进出口流量诊断。主要工程目标是解决几何形状不光滑壁面上的局部热传递问题。后退台阶和周期性沟槽会产生分离、再循环、再附、压力损失和高度局部化的热梯度。本研究考虑了10≤Re≤1076范围内的准均匀节点分布和二维层流。

本文的其余部分组织如下：第2节介绍了二维强迫对流问题的控制方程和边界条件；第3节描述了数值方法，包括GFDM空间离散化和压力-速度耦合的投影程序；第4节介绍了基准问题和数值比较；第5节讨论了主要数值观察结果；第6节总结了结论和局限性。

数学表达式：考虑一个二维不可压缩牛顿流体，其密度ρ、动态粘度μ、热导率k和比热cp为常数。假设流动保持层流状态，热属性视为常数。忽略浮力、粘性耗散、辐射和体积热生成，因此热量传输由强迫对流和分子扩散控制。设Lc、Uc和ΔT=Th?Tc表示特征长度、速度和温度。

GFDM微分和支撑构造：对于中心节点i，使用欧几里得距离选择最近的Ns个物理节点。二阶泰勒基函数为mij=hij,kij,hij22,kij22,hijkijT,hij=xj?xi,kij=yj?yi。设Mi=[mi1T;…;miNsT]和Wi=diag(wi12,…,wiNs2)。四次样条权重为wij=1?6rij2+8rij3?3rij4，rij=dij/dmi≤1。这里，dij=hij2+kij2是中心节点i与支撑节点j之间的欧几里得距离，dmi=max1≤j≤Nsdij是节点i支撑范围内的最大距离，rij是相应的归一化值。

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讨论：主场收敛表显示，随着节点细化，u、v、p和T的差异逐渐减小，而压力等值线和剖面保持平滑，没有可见的棋盘格振荡。扩散范数和进出口流量不平衡衡量了数值解的不同方面，因此应分别解释。在所有三个示例中，流量不平衡随节点细化而单调减小。相比之下，两者都...

结论：耦合GFDM-投影公式再现了三个二维层流强迫对流基准案例的主要速度、压力、再循环和壁面传热特性。对于后退台阶，计算出的流向速度剖面与已发布的基准数据一致，最细节点的再附长度为6.4329，在报告的数值范围内。对于T形和沟槽通道，主场和压力剖面表现出系统性的...

作者贡献声明：Chiung-Lin Chu负责撰写——原始稿件、可视化、验证、方法论、调查和形式分析；Chia-Ming Fan负责撰写——审阅与编辑、监督、形式分析和概念化。

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