一种用于求解电信网络中二维耦合非线性随机分数阶正弦-Gordon方程的混合径向基函数-有限差分方法

《Engineering Analysis with Boundary Elements》：A hybrid radial basis function–finite difference method for solving two-dimensional coupled nonlinear stochastic fractional sine–Gordon equations arising in telecommunications network

　　

# 摘要

本文提出了一种基于有限差分思想和径向基函数（RBFs）的高效数值方法，用于近似求解定义在非矩形计算域上的二维随机分数阶正弦–戈登方程的解。在该方法中，将Caputo分数阶导数重新表示为积分形式，并通过分数阶It?积分处理随机驱动项。确定性分数阶积分采用有限差分求积进行近似，而随机分数阶积分则基于布朗增量通过Euler–Maruyama型近似进行离散化。在空间离散化方面，采用基于RBF的估计方法构造空间变量二阶导数的无网格近似。所得到的完全离散格式在每个时间层级上产生关于未知RBF系数的线性代数方程组，并直接求解。此外，利用It?等距性质建立了所提近似方法的均方收敛性。在非矩形计算域上的数值实验验证了所提方法对不同分数阶和空间离散化的精度与收敛行为。数值结果表明，所提的混合RBF–有限差分方法能为所考虑的非线性随机分数阶正弦–戈登耦合方程提供精确的近似解。

# 引言

近年来，人们对能够描述具有记忆依赖性和不确定性驱动现象的精确数学模型的需求日益增长，促使研究者对分数阶微分方程和随机微分方程投入了极大的关注。分数阶随机偏微分方程（FSPDEs）在过去二十年中引起了广泛重视，因为它们具有描述兼具记忆依赖行为和随机波动的复杂动力系统的显著能力。与经典整数阶模型相比，分数阶微分算子提供了一种天然的数学框架，能够捕捉遗传效应、长程时间相关性和反常输运现象。当与随机驱动项结合时，这些模型在表征受不确定性、环境扰动和不完整信息影响的实际过程方面尤为有效。因此，FSPDEs已在流体力学、黏弹性材料、生物系统、金融工程、信号处理和通信技术等多个领域得到了广泛应用。

因此，人们开发了大量的解析和数值方法来研究和近似这些复杂数学模型的解。例如，文献[1]中提出了确定性线法用于求解随机边界值问题。文献[2]中，有限差分法和有限元法被应用于提供受白噪声驱动的线性抛物型和椭圆型随机偏微分方程（SPDEs）的数值解。文献[3]中，基于深度神经网络的数值方法被用于求解椭圆型SPDEs。文献[4]中，基于Pell多项式的数值方法被用于求解随机分数阶微分方程。文献[5]中，谱配点法被应用于求解受加性噪声驱动的随机Burgers方程。

正弦–戈登方程是数学物理和非线性波动理论中最重要的非线性偏微分方程之一。该方程最初在微分几何中被引入，用于研究具有恒定负高斯曲率的曲面，此后已成为描述多种非线性现象的基本模型。正弦–戈登方程的一个显著特征是其能够容纳孤子解，即在传播和相互作用过程中保持形状和速度不变的局域化波。凭借这些优异性质，正弦–戈登方程在超导、约瑟夫森结动力学、晶体位错理论、等离子体物理、非线性光学和场论等多个科学与工程学科中得到了广泛应用。近年来，正弦–戈登型模型在通信工程领域也引起了关注，被用于描述非线性波传播、色散介质中的信号传输以及光通信系统中的脉冲动力学。正弦–戈登方程丰富的数学结构和广泛适用性持续推动着对其大量的理论、解析和数值研究。文献[6]中通过配点法和RBFs近似了一维非线性正弦–戈登方程，文献[7]中使用了多二次准插值方法。文献[8]中使用薄板样条RBFs求解了二维阻尼/无阻尼正弦–戈登方程，文献[9]中采用了差分求积法。文献[10]中通过重心有理插值和本地RBFs求解了多维正弦–戈登方程。尽管经典正弦–戈登方程在建模多种非线性现象方面取得了成功，但它忽略了两个在实际系统中经常观察到的重要特性：记忆效应和随机扰动。引入分数阶导数使模型能够描述长程时间依赖性，而随机驱动项则反映了由环境噪声和不可预测扰动引起的不确定性。因此，随机分数阶正弦–戈登方程已成为研究复杂介质中非线性波传播的更为通用和现实的框架。

从工程角度来看，随机分数阶正弦–戈登型模型在现代通信系统分析中变得越来越重要。当代通信网络运行在高度异构的环境中，具有多径传播、随机干扰、衰落信道和动态变化的传输条件。在这种场景下，信号演化通常表现出非局域时间特性和随机波动，无法用传统确定性模型准确表征。分数阶导数可以有效地建模具有记忆依赖性的信道行为和反常信号衰减，而随机分量则表征噪声源和不可预测的信道扰动。此外，由正弦–戈登型方程支配的非线性波传播现象自然出现在多种与通信相关的应用中。例如，非线性介质中的电磁脉冲传输、光纤通信系统中的光孤子传播、基于约瑟夫森结器件的信号传输以及微波传输结构中的非线性动力学。非线性、随机性和记忆效应之间的相互作用在决定此类系统的性能、稳定性和可靠性方面起着关键作用。因此，开发高效的计算工具来分析随机分数阶正弦–戈登模型对于下一代通信基础设施的设计具有重要的实际意义。

作者们已开发了一些数值方法来获取一维非线性随机正弦–戈登方程[11]、时间分数阶随机非线性正弦–戈登方程[12]、耦合非线性变阶时间分数阶正弦–戈登方程[13]和二维随机时间分数阶正弦–戈登方程[14]的数值解。

基于上述发展，本文研究以下定义的二维耦合非线性随机分数阶正弦–戈登方程组：

$$D_t^\alpha v(x,y,t) - v_{xx}(x,y,t) = -\gamma^2 \sin(v(x,y,t) - u(x,y,t)) + f(x,y,t) + \mu_1 \frac{dB(t)}{dt}$$

$$D_t^\alpha u(x,y,t) - c^2 u_{xx}(x,y,t) = \sin(v(x,y,t) - u(x,y,t)) + g(x,y,t) + \mu_2 \frac{dB(t)}{dt}$$

定义在空间域 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 上，$0 \leq t \leq T$。初始条件和边界条件如下：

$$v(x,y,0) = v_0(x,y), \quad u(x,y,0) = u_0(x,y)$$

$$v_t(x,y,0) = v_1(x,y), \quad u_t(x,y,0) = u_1(x,y)$$

$$v(x,y,t) = h_1(x,y,t), \quad (x,y) \in \partial\Omega, \quad 0 < t \leq T$$

$$u(x,y,t) = h_2(x,y,t), \quad (x,y) \in \partial\Omega, \quad 0 < t \leq T$$

其中 $f$、$g$、$v_0$、$u_0$、$v_1$、$u_1$、$h_1$ 和 $h_2$ 为已知函数，$v(x,y,t)$ 和 $u(x,y,t)$ 为待近似的未知函数。$\mu_1$、$\mu_2$、$c$ 和 $\gamma$ 为给定常数。$D_t^\alpha$ 表示阶数为 $1 < \alpha < 2$ 的Caputo分数阶导数，$B(t)$ 表示定义在概率空间 $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ 上的标准布朗运动过程。随机项的引入旨在建模在许多物理和工程系统中自然产生的随机扰动。

尽管分数阶微分方程和随机微分方程的理论分析取得了重大进展，但获得耦合非线性随机分数阶正弦–戈登方程组精确解析解仍然是一项极具挑战性的任务。非线性耦合机制、多维空间算子、分数阶时间动力学和随机激励项的共存显著增加了问题的数学复杂性。在大多数实际应用中，闭式解不可用，使得数值模拟成为研究此类系统定性和定量行为的主要工具。为应对这些挑战，人们提出了多种数值技术，包括有限差分法、有限元法、谱方法、配点方案、分解技术和无网格方法。虽然传统网格法在许多应用中取得了显著成功，但在处理不规则几何形状、复杂边界或多维域时其性能可能下降。这些局限性在工程应用中尤为相关，因为计算域通常具有非标准形状，无法使用结构化网格高效离散化。

在可用的数值策略中，无网格方法作为一种强大的替代方案应运而生，因为它无需网格生成，仅依赖于分布在整个计算域上的散点。这一特性显著减少了几何限制，增强了计算灵活性。因此，无网格技术特别适合求解定义在不规则域、移动边界和高维空间上的偏微分方程。在无网格方法家族中，RBF方法因其简单性、稳健性和类似谱的精度而广受欢迎。RBF近似可以在不要求单元连接性或网格构造的情况下，提供多维函数的高度精确表示。此外，即使对于复杂几何和散点数据集，其实现仍相对简单。这些特性促使RBF技术被广泛应用于计算力学、逆问题、图像处理、流体流动模拟、定量金融、电磁建模和通信工程等领域。例如，该方案已被应用于获取Fisher–Kolmogorov模型[15]、二维Allen–Cahn方程[16]和分数阶Burgers方程[17]的数值解。

基于以上考虑，本研究开发了一种稳健的混合数值框架，将有限差分离散化与RBF近似相结合——前者用于时间方向，后者用于空间域。所提方法专门设计用于处理定义在非矩形计算域上的耦合非线性随机分数阶正弦–戈登方程。通过集成有限差分方案的稳定性与RBF无网格近似的几何灵活性，所提方法为求解应用数学、物理和现代通信工程中产生的一类广泛随机分数阶波动模型提供了高效的计算工具。

# 预备知识

为便于阐述所提数值框架，本节介绍贯穿全文所使用的关键数学概念、定义和预备结果。

**定义1 [18]** 对于足够光滑的函数 $f(t)$，阶数为 $\alpha \geq 0$ 的Caputo分数阶导数定义如下：

$$D_t^\alpha f(t) = \frac{1}{\Gamma(k-\alpha)} \int_0^t (t-s)^{k-\alpha-1} f^{(k)}(s)\, ds, \quad k-1 < \alpha < k$$

$$D_t^\alpha f(t) = f^{(k)}(t), \quad \alpha = k$$

其中 $\Gamma$ 表示Gamma函数。

**定义2 [18]** 阶数为 $\alpha \geq 0$ 的Riemann–Liouville分数阶积分 $I^\alpha f(t)$ 定义为：

$$I^\alpha f(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^t (t-s)^{\alpha-1} f(s)\, ds$$

# 数值求解过程

本节开发了一种新颖的混合数值框架，用于近似求解定义在非矩形域上的二维耦合非线性随机分数阶正弦–戈登方程的解。所提方法结合了有限差分离散化思想和RBF近似的优点，以高效处理问题的时间分量和空间分量。所考虑的耦合系统的数学表述给出在公式(1)中。

# 随机分数阶积分的均方收敛性

本节建立了所提随机分数阶积分近似的均方收敛性。对于固定时间层级 $t_n$，定义：

$$I_v(t_n) = \frac{\mu_1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^{t_n} (t_n - s)^{\alpha-1} dB(s)$$

$$I_v^n = \frac{\mu_1}{\Gamma(\alpha)} \sum_{k=0}^{n-1} (t_n - t_k)^{\alpha-1} \Delta B_k$$

其中 $\Delta B_k = B(t_{k+1}) - B(t_k) = \sqrt{\delta t}\, Z_k$，$Z_k \sim \mathcal{N}(0,1)$，且随机变量 $Z_k$ 相互独立。为证明此类收敛性，需要建立以下关系：

$$\lim_{\delta t \to 0} \mathbb{E}[(I_v(t_n) - I_v^n)^2] = 0$$

由于 $\Delta B_k = B(t_{k+1}) - B(t_k) = \int_{t_k}^{t_{k+1}} dB(s)$，我们可以写出：

$$e_{v,n} \equiv I_v(t_n) - I_v^n = \frac{\mu_1}{\Gamma(\alpha)} \cdots$$

# 数值实验

本节研究并求解两个示例问题以评估所提数值格式的性能。所得数值结果通过表格和图形表示呈现，以展示所提方法的效率、精度和可靠性。为评估所提混合方法的精度，计算并分析了绝对误差、$L^\infty$-误差和均方根误差（RMS-误差）。这些误差度量定义如下：

$$\text{绝对误差} = |v_{\text{exact}} - v_{\text{num}}|$$

$$L^\infty\text{-误差} = \max_{(x,y)} |v_{\text{exact}} - v_{\text{num}}|$$

$$\text{RMS-误差} = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} (v_{\text{exact}} - v_{\text{num}})^2}$$

# 结论

本研究开发了一种混合RBF–有限差分框架，用于数值求解定义在非矩形计算域上的二维耦合非线性随机分数阶正弦–戈登方程。首先将Caputo分数阶导数重新表示为适当的积分形式，并通过分数阶It?积分处理随机驱动项。确定性分数阶积分通过有限差分求积进行近似，而随机分数阶积分通过Euler–Maruyama型离散化方法进行处理。数值实验验证了所提方法的精度和收敛性，结果表明该方法能够有效地处理非矩形计算域上的随机分数阶波动问题。

# CRediT作者贡献声明

Nasrin Samadyar：监督指导、调查研究、软件编写、形式化分析。Farshid Mirzaee：验证、资源提供。Shadi Rezaei：软件编写。

# 利益冲突声明

作者确认本稿件的任何作者目前或过去均无任何竞争性经济或非经济利益冲突，包括为该期刊担任编辑职务。

# 致谢

作者衷心感谢编辑和匿名审稿人的宝贵评论和建设性建议，这些意见帮助提升了本文的质量和呈现水平。

Nasrin Samadyar | Farshid Mirzaee | Shadi Rezaei