面向脆性三维固体裂纹萌生与扩展的自适应有限元–近场动力学耦合方法

《Engineering Fracture Mechanics》：Adaptive finite element–peridynamics coupling for crack initiation and propagation in brittle 3D solids

　　

**• 面向不可预测三维裂纹扩展的自适应有限元-键合粒子（FE-PD）耦合方法**

• 基于拉伸、损伤和核函数准则的动态FE至PD转换

• 界面再生机制确保自适应过程中力的传递一致性

• 以较低计算成本实现与全PD模型相当的精度

• 在二维/三维基准问题及双缺陷岩石断裂裂纹贯通中完成验证

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## 引言

岩石等材料中的脆性断裂是一个高度复杂且非线性的过程，其特征表现为裂纹的萌生、扩展、相互作用与贯通[1]。材料固有的非均匀性以及多个预存缺陷的分布（具有不同的取向和形状）[2]使这些现象更加复杂。在外载荷（如压缩或拉伸）作用下，岩石表现出多种断裂行为，包括拉伸翼裂纹、剪切带和裂纹贯通。准确预测这些机制对于岩土工程、地下开挖和水力压裂等领域至关重要，因为在这些领域中，结构安全与性能取决于对断裂演化过程的理解[3]、[4]、[5]。裂纹路径无法事先确定，且对缺陷几何形状和材料各向异性具有强敏感性，这要求采用先进的建模技术，在不预先定义裂纹轨迹的情况下解决不连续性问题。

非局部理论方法，如键合粒子力学（Peridynamics, PD），已作为模拟脆性断裂的有前景的数值方法出现[6]、[7]。PD用积分方程取代空间导数，无需特殊准则或网格调整即可自然处理不连续性[8]。该方法能够模拟长程相互作用和自发放裂，使其非常适合模拟涉及裂纹分支和贯通的断裂模式[9]。然而，键合粒子模型的高计算成本对全域模拟的广泛应用构成了相当大的挑战。计算成本同样推动了多尺度及全局-局部策略的发展，如FE2类方法，即将宏观有限元问题与每个积分点处的微观边界值问题耦合[10]。例如，该框架已被用于直接从微观代表性体积单元计算非线性非均匀材料的宏观响应，避免了现象学宏观本构定律的使用[11]。

为了解决键合粒子力学的高计算成本问题，已提出多种耦合方案，将PD离散化限制在预定义子域中，而结构其余部分用有限元方法（FEM）表示[12]、[13]、[14]、[15]。虽然这些固定耦合方法降低了计算成本，但要求在模拟之前指定FE-PD分区。当裂纹轨迹无法事先确定时，这种预定义分区可能人为地限制裂纹扩展，或者要求PD区域被保守地扩大，从而削弱耦合策略的效率优势。

认识到这一局限性，已有若干研究探索了自适应策略，即在模拟过程中动态演化PD区域[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]。这些方法表明，将PD离散化限制在断裂区域可以在保持预测精度的同时大幅降低计算成本。现有的自适应框架是在耦合公式中开发的，其中连接FE和PD区域的界面节点同时作为FE和PD节点。相比之下，基于嵌入节点界面方案[12]、[14]的自适应耦合策略尚未开发。在基于嵌入节点界面方案的耦合策略中，PD节点嵌入在FE界面单元内。该方法实现了耦合界面处力的平滑且一致的传递，同时允许在FE和PD域之间进行离散化灵活调整。这些优势凸显了开发基于嵌入节点方案的自适应耦合框架的必要性。本研究的新颖之处在于在我们的嵌入节点耦合策略中开发并研究一种自适应策略，这在以前尚未被研究过。这种新的自适应耦合模型将提供耦合界面处力的平滑且一致的传递，并在FE与PD域之间的离散化方面具有更大的灵活性。

断裂模拟可以通过各种正则化或非局部方法进行，例如非局部积分损伤模型、梯度增强损伤公式、梯度损伤模型、相场断裂模型、裂隙场类方法和键合粒子公式[22]。键合粒子力学通过积分型非局部公式有助于表示不连续性和复杂裂纹扩展，但其局限性也在文献中被讨论，例如Bazant等人对相场、键合粒子和裂纹带模型的批判性比较[22]。然而，本研究专注于开发一种自适应FE-PD耦合策略，以减少在裂纹路径无法事先确定时对固定PD区域的依赖。

在本研究中，我们提出了一种自适应FE-PD耦合框架，其中PD子域在模拟过程中自动扩展。域转换由基于三个准则的判据驱动：拉伸阈值、裂纹尖端邻近度和基于核函数的邻域FE扩展。每次转换步骤后，过渡界面被重新生成，以确保FE和PD区域之间力的一致传递。本工作的主要贡献如下。首先，在上述耦合框架内开发了用于脆性断裂的FE至PD域动态转换策略。其次，引入了自适应参数和转换度量来评估域转换过程。第三，通过二维和三维基准问题以及类岩石材料中的双缺陷裂纹贯通问题，系统地验证了所提出的自适应框架。

本文其余部分组织如下。第2节介绍FE-PD耦合框架的理论背景。第3节描述所提出的自适应FE-PD耦合框架，包括域转换准则。同时，介绍了数值实现和转换度量。第4节展示了二维和三维基准问题以及双缺陷裂纹贯通算例的数值结果。最后，第5节总结并得出结论。

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## 各节摘要

### 键合粒子力学的公式化

在键合粒子力学中，参考构型Ω?中的材料点**x**在时间*t*时与邻域内距离不超过**视界**δ的邻域点**x'**相互作用，邻域点集定义为 H_x = {**x'** | ‖**x'** - **x**‖ ≤ δ}。键合粒子力学的运动方程表述为[23]：

ρ ü(**x**, t) = ∫_Hx **f**(**η**, **ξ**) dV(**x'**) + **b**(**x**, t)

其中ρ为密度，**u**为位移向量，**f**为成对力向量，dV(**x'**)为参考构型中邻域材料点**x'**的无穷小体积。

### 自适应转换准则

随着模拟试样中变形的进行，某些有限元（FE）可能需要在给定时间*t*时被转换为键合粒子公式，以允许裂纹萌生和扩展。为确定时间*t*的适当转换，提出了三个准则，参数为γ_s、γ_d、γ_k，如图2所示。这些自适应参数在FE至PD转换过程中具有不同的作用。参数γ_s控制基于拉伸的转换，决定高度变形的FE区域何时被转换。

### 受拉伸载荷作用下的二维板验证

为验证自适应耦合，我们对矩形板进行了简单的拉伸模拟，分别采用纯键合粒子力学（PD）、耦合模型和自适应模型，如图4所示。材料属性定义为弹性模量30 GPa，泊松比0.25，密度2265 kg/m3，能量释放率为110 J/m2[12]。板的尺寸为宽100 mm、长200 mm、厚10 mm。沿x方向的初始裂纹长度为9 mm。

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## 结论

本研究提出了一种用于脆性断裂问题的自适应有限元-键合粒子（FE-PD）耦合框架，适用于裂纹轨迹无法预先确定的情况。所提出框架的主要新颖之处在于，在嵌入节点FE-PD耦合公式内开发了自适应FE至PD转换策略，其中FE至PD的域转换伴随嵌入过渡界面的重新生成。该框架基于转换准则动态地将FE区域转换为PD区域。

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## CRediT作者贡献声明

**Suyeong Jin**：原创稿件撰写、可视化、验证、方法学、经费获取、形式分析、概念设计。

**Sunwoo Kim**：稿件审阅与编辑、可视化、方法学。

**Jung-Wuk Hong**：稿件审阅与编辑、指导、方法学、经费获取。

## 致谢

本工作得到浦项大学2025年研究基金（202516520001）支持。此外，本工作还得到韩国政府（MSIT）资助的国家研究基金会（NRF）项目支持（编号：NRF-2022R1A2C2091533）。此外，本工作还得到韩国政府（MSIT）资助的国家研究基金会（NRF）项目支持（RS-2026-25606110）。

## 利益冲突声明

作者声明不存在已知的竞争性经济利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

**Suyeong Jin | Sunwoo Kim | Jung-Wuk Hong**