连续测量下自旋-12量子系统稳定化的动力系统方法

《Journal of the Franklin Institute》：A dynamical systems approach for stabilization of spin-12 quantum systems under continuous measurement

　　

摘要
本文提出了一种新颖的动态反馈控制策略，用于稳定经历连续量子非破坏性测量的二能级量子系统。控制输入通过二次代价泛函的梯度构建，从而实现向测量算符目标特征态的系统性收敛。所得闭环系统表现出指数收敛性，其中随机测量引起的扩散在稳定过程中起建设性作用。值得注意的是，控制器仅需量子态在测量轴上的投影，这促成了一个降阶滤波结构的建立。在自旋-1/2系统上的数值仿真验证了理论保证。该设计框架结构简洁，因此可扩展至更高维量子系统。

引言
近年来在量子系统测量与控制方面的进展，如文献[1]、[2]、[3]、[4]、[5]所示，为控制理论工作者设计简洁而高效的策略开辟了新的机遇。这些发展推动了门制备[6]、[7]、量子滤波器[8]、[9]、量子稳定控制[10]、[11]、[12]以及量子同步[13]等各个领域的重大进展。在连续时间演化的开放量子系统是许多新兴量子技术的核心。然而，它们与环境的相互作用以及内在的不确定性使得分析和控制变得尤为困难。

测量在量子控制问题中发挥着关键作用，量子非破坏性（QND）测量[14]是实施控制策略的基石。因此，量子控制中的一个基本目标是利用反馈控制律将系统稳定至目标特征态。许多研究，如文献[15]、[16]、[17]、[18]，已探讨了这一方向。

大多数现有方法依赖于基于李雅普诺夫的方法，将系统模型纳入考量以推导反馈控制律[10]、[19]、[20]。尽管有效，但这些方法通常要求全状态信息，正如文献[21]、[22]、[23]所指出的，这需要全状态观测器。这种对完整系统状态和高维滤波器的依赖提出了实际挑战，并促使需要更简单的控制策略。此外，基于李雅普诺夫的控制设计方法在构建李雅普诺夫函数和推导稳定反馈律时，需要对系统动力学进行显式处理。这通常导致针对特定问题的解析设计，使得扩展至更高维量子系统变得困难。

在本工作中，我们提出了一种基于梯度框架的新颖控制律来解决这些局限性，适用于二能级量子系统。所提出的控制器仅使用测量轴上的单个坐标进行操作，无需全状态观测器。此外，动态反馈控制器具有结构简洁的设计特点，通过基于梯度的优化框架推导，本质上强制代价函数最小化，从而提供系统性的代价驱动反馈设计。这使得动态反馈控制器既结构简洁又易于实现。该方法不仅确保了有效稳定，还为未来扩展至更高维量子系统提供了可扩展的方法。以下是主要贡献：
• 提出了一种动态反馈控制器，用于连续非破坏性测量下二能级量子系统目标特征态的稳定。
• 所提出的控制策略设计简洁，源于二次代价函数的梯度。
• 控制动力学依赖于测量轴上的单个坐标，这可能有助于在实际应用中采用降阶滤波架构。
• 所提出的控制策略在更高维量子系统上展现出令人振奋的可扩展性，通过数值仿真进行了说明。

本文其余部分组织如下：第2节介绍必要的预备知识，包括自旋-1/2量子系统的系统描述及相关稳定性概念。第3节介绍指数稳定的新颖框架，以及基于梯度的反馈控制器设计及其可扩展性的讨论。第4节提供数值仿真结果，说明所提方法的有效性。最后，第5节总结全文并概述未来工作的潜在方向。表1总结了全文使用的符号。

章节摘录
概率工具
（i）可选停止定理[24]
设$(M_t)_{t\geq 0}$为一个鞅，$\tau$为一个停时，满足以下任一条件：(a) $\tau$有界，或(b) $\tau$几乎必然有限，且$\sup_{t\geq 0} \mathbb{E}[|M_{t\wedge\tau}|] < \infty$。则$\mathbb{E}[M_\tau] = \mathbb{E}[M_0]$。特别地，若$(M_t)$为一个上鞅，则$\mathbb{E}[M_\tau] \leq \mathbb{E}[M_0]$。

（ii）法图引理[25]
对于非负随机变量序列$(X_n)_{n\geq 1}$，$\mathbb{E}[\liminf_{n\to\infty} X_n] \leq \liminf_{n\to\infty} \mathbb{E}[X_n]$。

（iii）控制收敛定理（DCT）[24]
设$(X_n)_{n\geq 1}$为一个随机变量序列，几乎必然逐点收敛到一

主要结果
问题表述：推导一个动态反馈控制律，几乎必然地将（1）稳定至测量算符的目标特征态。

示例
考虑一个自旋-1/2系统，$w_{12}=0.1$，$\eta=0.3$，$\Gamma=1$，$K_1=1.2$，$K_2=0.6$。在无维度化公式中，$\omega_{12}$、$\Gamma$和$\eta$分别代表酉漂移的相对强度、测量引起的反作用、探测效率，在实践中可在很宽范围内变化而不影响所提控制框架的有效性。对于仿真过程，考虑以下动力学方程：
$$\rho_{t+dt} - \rho_t = \mathcal{K}\rho_t\mathcal{K}^{\dagger} - \frac{\eta\Gamma}{4}\sigma_z\rho_t\sigma_z\,dt$$
$$\frac{\mathrm{Tr}(\mathcal{K}\rho_t\mathcal{K}^{\dagger} - \frac{\eta\Gamma}{4}\sigma_z\rho_t\sigma_z\,dt)}{\ }$$
$$\mathcal{K} = \mathrm{I} - \left(\frac{i}{2}(w_{12}\sigma_z + u_t\sigma_y) + \frac{\Gamma}{8}\mathrm{I}\right)dt + \sqrt{\frac{\eta\Gamma}{2}}\sigma_z\,dY_t$$
$$dY_t = dW_t + \mathrm{Tr}(\cdots)$$

结论
本文开发了一种新颖的动态反馈控制策略，用于稳定二能级开放量子系统。所提出的控制器源于二次代价函数的梯度，得出了简洁且系统化的反馈设计。此外，我们建立了目标特征态的几乎必然指数稳定性，证明了所提控制律的有效性。值得注意的是，我们表明了扩散项在收敛过程中起建设性作用。

CRediT作者贡献声明
Eram Taslima：撰写——初稿、方法论、形式化分析、概念化。Shyam Kamal：撰写——审阅与编辑、监督、方法论。R.K. Saket：撰写——审阅与编辑、监督。Thach Ngoc Dinh：撰写——审阅与编辑、形式化分析。Meng Zhou：撰写——审阅与编辑。

利益冲突声明
作者声明不存在可能影响本文所报告工作的已知竞争性经济利益或个人关系。

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