二维调频脉冲内插系统衰落信道的建模方法及其滑模控制策略

《Journal of the Franklin Institute》：The modeling method on fading channels of 2D FMII system and its SMC strategy

　　

摘要

本工作引入了一种新颖的方法，用于在二维（2D）Fornasini-Marchesini (FMII) 系统框架下分析和建模信道衰落现象，其中构建了基于记忆和无记忆的信道衰落模型。在记忆衰落模型中，当前网络模式概率性地依赖于之前的网络模式，特别是前两个点共同决定了转移概率。不同之处在于，无记忆衰落模型遵循独立同分布随机过程，且其衰落系数依赖于两个索引。上述两类衰落信道的关键特征充分反映了 2D FMII 系统的双向特性。此外，构建了一个包含基于记忆和无记忆衰落信道的总测量模型，以描绘复杂的通信环境。为了克服测量限制，利用模式检测器来估计记忆信道中的实际模式。随后设计了检测模式相关的观测器和基于估计状态的滑模控制器，以实现所需的系统性能（稳定性和可达性），其增益由优化算法确定。最后，通过仿真结果进一步验证了所提出的控制方案。

引言

二维（2D）系统广泛存在于许多科学与工程领域，适用于描述涉及两个独立变量（可能是空间或时间）的动态行为，例如重复过程 [1]、网格传感器网络 [2]、图像处理 [3] 等。2D 系统的关键优势之一在于它们允许比一维（1D）对应系统更复杂的建模和分析。例如，在图像处理中，2D 系统可以捕获单个像素的强度值及其空间关系和模式 [3]。这使得能够通过网络高效地执行许多物理任务，如增强质量、压缩或传输。受此启发，Roesser 模型、第二个 Fornasini-Marchesini (FMII) 模型以及其他 2D 状态空间模型得以开发，并伴随着相关理论（见，例如 [4]、[5]、[6]）以及各种控制设计策略，包括增益调度控制 [7]、耗散控制 [8]、迭代学习控制 [9] 和滑模控制 (SMC) [10]。

在上述控制策略中，SMC 策略是鲁棒控制的一种流行且有效的选择，因其能够处理不确定性和扰动。其核心思想是构建一个系统状态收敛向的滑模面。随后，设计一个控制律将系统状态驱动到该面上并保持在该面上。如今，SMC 方法已应用于 1D 系统中的各种问题 [11]、[12]、[13]、[14]、[15]。特别是，最近的研究也显示将 SMC 方法应用于 2D 系统取得了有希望的结果 [16]、[17]、[18]、[19]。例如，对于 Roesser 型 2D 系统，[16] 和 [17] 分别针对水平和垂直方向设计了两个 SMC 律。对于 FMII 型 2D 系统，SMC 律的开发旨在同时考虑两个相互依赖的方向，例如 [18] 中的 SMC 律涉及一条线上的所有状态和滑模变量，而 [19] 中仅涉及几个点的状态和滑模变量。

作为无线通信中经常经历的现象之一，信道衰落 (CF) 发生在物体阻碍发射机和接收机之间的信号路径时，导致通信链路质量显著下降。这种现象在工业环境中尤为明显，其中移动物体和机械可以进一步加剧通信质量的恶化。通常利用一些随机过程来描述衰落信道模型，其中无记忆衰落和基于记忆的衰落（例如莱斯衰落和马尔可夫衰落）模型是最普遍的模型。无记忆 CF，也称为独立同分布 (IID) CF，将衰落过程视为随时间 IID，这通常用于简化信道建模和分析，可应用于高速移动环境中的通信和其他特定场景 [20]。无记忆模型仅与当前信息相关，而基于记忆的模型涉及之前的状态/模式信息。特别是，马尔可夫 CF 对应于具有有限模式数的马尔可夫过程衰落过程，其中从一个模式跳到另一个模式是随机的，这使得它适合建模室内或城市环境中的衰落信道 [21]。迄今为止，已做出重大努力来解决 CF 下的控制/滤波问题，并且已发表了大量关于 1D 系统的文献 [22]、[23]、[24]、[25]、[26]。

2D FMII 系统的无记忆衰落模型最近在 [27] 和 [28] 中建立，仅涉及当前信息。由于 2D FMII 系统的固有复杂性（两个先前信号共同决定当前信号），直接选择其先前信息是具有挑战性的。因此，为 2D FMII 系统建立与过去信息相关的模型（例如莱斯衰落模型、马尔可夫衰落模型）是困难的。为了解决这个问题，[29] 中通过沿线某些状态的加权和定义了前 L 步状态，显然，这不适合马尔可夫模型，因为其当前网络模式仅从先前一点的模式转换。特别是，在 2D FMII 系统中，当点 (??,??+1) 和 (??+1,??) 的模式影响点 (??+1,??+1) 的模式时，不能像 1D 系统那样将 CF 模型称为马尔可夫衰落模型。这种差异的主要原因是 2D 情况下缺乏一对一的对应关系。因此，对于 2D FMII 系统，开发一个基于转移概率的 CF (TPBCF) 模型（类似于 1D 情况下的马尔可夫衰落模型，被视为基于记忆的 CF）变得至关重要，该模型捕捉连续信道通信之间的相关性，这也是推动本研究动机的原因。

值得注意的是，上述关于 CF 的工作仅关注单一类型的衰落效应，尽管通信链路可能存在多种路径的可能性。混合衰落模型在 [30]、[31]、[32] 中开发，以更好地模拟和预测现实世界无线链路的性能，其中接收信号是来自不同衰落路径分量的加权和。例如，对于 1D 模糊系统，[32] 中分别为两个不同的传感器到控制器信道建立了两种类型的 CFs 模型（一种是马尔可夫衰落模型，另一种是无记忆衰落模型）。当两种不同的衰落现象在 2D FMII 系统中同时共存时，构建一个反映基于记忆和无记忆 CF 影响的总衰落测量模型至关重要，同时遵循 2D FMII 系统的固有特性。这是本工作的另一个动机。

总结上述讨论，本文开发了一个全面的 SMC 框架，用于受复杂衰落效应影响的 2D FMII 系统。以下是本工作的主要贡献：
1) 初步建立了 2D FMII 系统中提出的两种衰落现象的数学模型，其中基于记忆衰落模型中的转移概率由两个先前点的模式决定，而无记忆衰落模型中的衰落系数依赖于两个方向。
2) 开发了一个总测量模型，考虑了基于记忆的 CF（即 TPBCF）和无记忆 CF 效应，并将它们结合起来以捕捉通信环境的固有随机性和点变化特性。
3) 为了克服基于记忆和无记忆 CF 的联合效应，提出了一种基于观测器的 SMC 方案。观测器是在总测量信号和检测模式下设计的，SMC 律与估计状态和检测模式相关。
4) 推导了一组充分条件，这些条件依赖于信道衰落变量的统计特性，以确保渐近稳定性和可达性。此外，这些条件被用于确定一个最小化滑模域的最优控制器增益。

记号。???{??|??} 和 Pr{x?|?y} 分别是在事件 y 下事件 x 的条件期望和概率。符号函数用记号"sign"表示，矩阵中由对称性产生的项用"*"表示。诱导矩阵 2-范数表示为 ‖?·?‖。I 和 0 分别表示单位矩阵和零矩阵。对于实对称矩阵 Y，最小值（最大值）特征值记为 λmin(Y) (λmax(Y))，当 Y?>?0 (Y?
章节片段

2D FMII 系统的信道衰落模型

考虑一类具有两组分布在不同地理/空间位置（分别称为传感器 I 和 II）的传感器的不确定 2D 离散系统，其由以下 FMII 模型描述：
?{ { { { {?{ { { { {????(??+1,??+1)=(??1+Δ???1?(??,??+1))????(??,??+1)+(??2+Δ???2?(??+1,??))????(??+1,??)+??1?(???(??,??+1)+???(??,??+1))+??2?(???(??+1,??)+???(??+1,??)),??1?(??,??)=??1????(??,??)+??1????(??,??),??2?(??,??)=??2????(??,??)+??2????(??,??),
其中 ??,??∈?+; ???(??,??)∈????? 和 ???(??,??)∈????? 分别表示部分状态和控制输入；??1?(??,??)∈?????1 和 ??2?(??,

滑模控制方案

如第 2 节所述，系统状态无法直接测量，在衰落信道下仅能获得测量信号 ????(??,??) 和检测模式 om,n。因此，在后续部分，我们首先建立一个状态观测器来估计系统状态。

数值仿真

考虑具有以下参数的不确定 2D FMII 系统 (1)：
??1=[?0.490.1?0.30.34],??2=[0.58?0.120.10.35],??1=[?0.330.21],??2=[0.380.12],??=[0.040.06],??1=[0.0250.02],??2=[0.0350.013],??1=[0.1,0.6],??2=[0.6,0.45],??1=0.2,??2=0.5,???(???(??,??))=??0?[sin?(??1?(??,??))?sin?(??2?(??,??))]T,??0=0.1.
输出 y1(m, n) 通过经历基于记忆 CF 的信道 I 传输，而输出 y2(m, n) 通过经历无记忆 CF 的信道 II 传输。信道 I 在两种模式下运行，即 ρm,n

结论

本研究探讨了 2D FMII 系统的两种不同衰落信道建模问题和 SMC 策略。第一个衰落信道是 TPBCF 模型，一类基于记忆的 CF，其中转移概率由两个先前点的两个模式共同决定。另一个是无记忆 CF，其衰落系数反映了 2D 系统的双向特性。根据总传输测量信号和检测模式，状态观测器已被 CRediT 作者贡献声明
Xinyu Lv：写作 – 原稿，方法学，形式分析。
Yugang Niu：监督，经费获取。
Ju H. Park：写作 – 审查与编辑，方法学。
Weiwei Sun：验证。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系，这些利益或关系可能会影响本论文中报告的工作。作者是该期刊的编辑委员会委员/主编/副主编/客座编辑，并未参与本文章的编辑审查或发表决定。
Xinyu Lv|Yugang Niu|Ju H. Park|Weiwei Sun