基于逐次凸优化方法的正模糊系统鲁棒输出反馈 H∞ 控制

《Journal of the Franklin Institute》：Robust output feedback H ∞ control for positive fuzzy systems using a successive convex optimization approach

　　

摘要 本文针对一类正模糊系统开发了一种降阶动态输出反馈（RODOF）控制方案，确保系统状态保持非负，并通过抑制最坏情况扰动的影响来实现鲁棒性能。为了增强设计的灵活性和可实施性，设计了基于不完全前件匹配机制的RODOF控制器，相关的综合条件本质上涉及双线性矩阵不等式，直接求解较为困难。为解决这一挑战，本文提出了一种逐次凸优化算法，通过一系列凸松弛迭代求解原问题。在每次迭代中，我们在当前解附近用凸近似替代非凸约束，从而高效地更新控制器增益，直至满足收敛条件。此外，利用收敛性，我们提出了一种迭代程序来确定可行的初始条件，进一步促进了其应用性。最后，提供了两个示例来验证算法的有效性，并展示了其相对于现有方法的优势。

引言 动力学系统中，给定非负初始条件后状态变量在整个演化过程中始终保持非负的系统被称为正系统[1]。这一非负性约束在许多实际场景中至关重要，在这些场景中负值缺乏物理意义。例如，种群动力学中的个体数量，经济学中的资本、商品和服务数量，以及各种工程应用中的材料或数据流量[2]、[3]、[4]。与一般动力学系统不同，正系统的额外考量在于保持非负性约束。非负矩阵理论[5]构成了研究正系统的基础，该研究领域在分析和综合方面均取得了显著进展[6]、[7]。然而，由于正非线性系统固有的非线性特征，与正线性系统相关的结果并不能直接适用于正非线性系统。为了近似复杂的非线性动力学，Takagi-Sugeno（T-S）模糊框架通过前件依赖的加权函数对一系列局部线性子系统进行插值[8]、[9]、[10]。在正系统的背景下，在稳定性分析[11]、[12]、镇定[13]、[14]、$l_1$综合[15]、[16]、[17]、$H_\infty$综合[18]、[19]、[20]以及滤波[21]、[22]、[23]方面均已取得实质性理论进展。为了减轻常见二次Lyapunov方法的固有保守性，成员函数依赖的Lyapunov候选函数已被广泛应用于模糊控制综合中。然而，这种策略引入了由前件变量不匹配引起的交叉项，因为控制Lyapunov矩阵演化的加权函数通常与表征系统动力学的加权函数不同，在离散时间情况下尤为如此。处理模糊求和的传统技术通常忽略模糊基函数之间的耦合效应，从而重新引入保守性。为解决这一问题，一些重要不等式（如Young不等式）被用于解决不匹配的双重整数求和[24]，并在不引入额外松弛变量的前提下，提出了更多的松弛策略[25]。然而，仍然迫切需要有效的方法来解决不匹配的多维模糊求和项问题，同时不牺牲计算效率或引入不必要的保守性。由于维度高、成本限制或传感器限制，全状态反馈或全阶动态输出反馈控制器在实际控制系统中往往无法应用[26]。通过利用输出测量值而非状态变量，RODOF方案在复杂性和性能之间提供了一种实用的折中。RODOF方案旨在构建一个维度低于被控对象的控制器，确保对扰动的鲁棒性能，同时保持状态变量的非负性。由于正性约束与鲁棒性要求之间的相互作用，这带来了重大挑战。具体来说，要求状态轨迹保持在非负正象限内的约束，使实现预期性能的挑战更加复杂。事实上，正系统的$H_\infty$控制通常需要将问题转化为涉及控制器增益和Lyapunov变量的非凸双线性约束[27]。在状态反馈和全阶动态输出反馈（DOF）控制方案中，常规的参数化策略通常被应用于将双线性矩阵不等式（BMI）转化为凸线性矩阵不等式（LMI）表示。然而，由于固有的非凸性，RODOF控制中的转化并非简单直接。具体而言，由BMI表示的条件要求某些矩阵不等式对所有可行的决策变量值成立，这通常涉及Lyapunov矩阵和控制器增益的双线性形式。将这些条件凸化通常需要寻找合适的参数化或分解方法来线性化双线性项，同时不违反底层要求。然而，这一过程并不总是简单直接的，当存在额外的正性约束时，情况可能尤为复杂。在输出反馈控制综合中，处理BMI约束的经典策略是变量替换技术[28]。为了消除Lyapunov矩阵和控制器增益之间的非线性耦合，该技术通常需要对Lyapunov矩阵和松弛矩阵施加分块对角或解耦结构限制[29]，这固有地引入了结构保守性。作为替代方案，交替优化算法（通常称为迭代LMI（iLMI）技术）[30]通过交替固定一组决策变量来优化剩余变量来求解BMI。虽然计算上较为简单，但此类坐标下降式方案无法联合探索搜索空间，并且对初始条件表现出强烈的敏感性。在没有经过认证的可行初始猜测值的情况下，标准iLMI算法通常会发散或陷入不可行区域。为解决这些局限性，本文提出了一种定制的逐次凸优化（SCO）框架，并配合系统性的初始化方案。本文的主要技术贡献总结如下：

1. 保结构SCO综合方案：不采用变量变换或限制Lyapunov/松弛矩阵，而是构建RODOF设计中固有BMI约束的局部序贯凸内逼近。通过沿局部优化轨迹线性化非凸双线性项，控制器增益作为直接决策变量同时综合，消除了结构保守性。

2. 系统性可行初始化程序：为弥补传统迭代BMI求解器的严重初始化敏感性问题，构建了带参数化松弛指示器的辅助凸优化问题。该方案保证了满足所有正性和稳定性要求的经过认证的可行起始点，从而确保主SCO迭代的数值收敛性。

3. 不完全匹配模糊求和的松弛：在不完全前件匹配机制下，我们建立了多维模糊求和的保守性较低的松弛条件。通过引入参数化松弛矩阵来吸收不匹配规则之间的交叉项相互作用，所提条件显著减少了传统前件匹配假设或简单项丢弃界所引入的保守性。

本文的后续安排如下。第2节概述问题公式以及基础定义和引理。第3节呈现设计条件并开发SCO算法，包括其初始化。第4节展示仿真结果并与现有方法进行比较。最后，第5节给出结论和未来工作。

符号说明。我们采用以下数学符号：设$\mathbb{R}$、$\mathbb{R}^n$、$\mathbb{R}^{m \times n}$分别表示实标量集合、$n$维列向量和$m \times n$实矩阵。单位矩阵用$I$表示。$\star$符号用于强制对称结构。正（半）定和负（半）定紧凑地写为$A > 0$（$A \geq 0$）和$A < 0$（$A \leq 0$）。为加以区分，我们采用$A \succeq 0$（$A \succ 0$）表示逐元素非负（正）的条目，$A \preceq 0$（$A \prec 0$）表示非正（负）的条目。此外，$A^\dagger$表示$A$的Moore-Penrose逆。对于矩阵$A$，$A^T$表示转置，$\text{He}\{A\} \triangleq A + A^T$。$\text{diag}\{A_1, A_2, \ldots, A_n\}$表示具有对角块$A_1, A_2, \ldots, A_n$的分块对角矩阵。

第2节 问题陈述和预备知识

非线性系统通过T-S模糊框架进行近似，其中每条规则$r \in \{1, 2, \ldots, p\}$根据以下规则控制子系统演化：

规则 $r$：IF $\xi_1(k)$ is $F_{r1}$, AND, …, AND $\xi_\Phi(k)$ is $F_{r\Phi}$, THEN

$$\begin{cases} x(k+1) = A_r x(k) + B_u r u(k) + B_w r w(k) \\ z(k) = C_z r x(k) + D_u r u(k) + D_z r w(k) \\ y(k) = C_y r x(k) + D_w r w(k) \end{cases}$$

其中 $x \in \mathbb{R}^{n_x}$, $u \in \mathbb{R}^{n_u}$, $w \in \mathbb{R}^{n_w}$, $y \in \mathbb{R}^{n_y}$, $z \in \mathbb{R}^{n_z}$ 分别对应状态变量、控制输入、扰动、输出测量和被控输出的数量。$\xi_1(k), \ldots, \xi_\Phi(k)$ 是前件变量，$F_{r1}, \ldots$

第3节 主要结果

本节首先呈现一个容许模糊控制器（4）的综合条件，该条件保证闭环系统（5）的正性、渐近稳定性和指定的$H_\infty$性能。随后，我们提出了一种新颖的SCO算法及相应的初始化过程，用于寻找镇定控制器。

第4节 示例

本节提供两个示例来展示理论结果的适用性和优势。

例1 为验证所提初始化过程（算法3）的有效性，并展示相对于现有镇定方法[15]、[33]和[34]的潜在优势，我们考虑系统（2），其矩阵如下：

$$A_1 = \begin{bmatrix} 0.6 & 0.6a \\ 0.4 \end{bmatrix}, \quad A_2 = \begin{bmatrix} 0.4 & 0.6b \\ 0.4 \end{bmatrix}, \quad B_u 1 = B_u 2 = \begin{bmatrix} 0.1b \end{bmatrix}$$

我们选择在区间$[1, 3]$上以$0.1$为步长取变量参数$3 \leq a \leq 4$，在区间$[0, 1]$上取$3.1 \leq b \leq 4.0$。

第5节 结论

本研究开发了一种专门针对一类模糊系统的RODOF控制方案。该方案解决了在保持系统状态正性的同时实现鲁棒性能的挑战。通过引入前件成员函数与被控对象不同的RODOF控制器，我们增强了控制方案的设计灵活性和实际可实施性。本工作的主要贡献在于控制器设计的公式化——

CRediT作者贡献声明

Ren Yingying：撰写——初稿，方法论，资金获取。Wang Qian：撰写——初稿，验证。Cuan Zhaoyang：可视化，验证。Ding Da-Wei：撰写——审阅与编辑，监督，资金获取。

利益冲突声明

作者声明不存在已知的可能影响本文所述工作的竞争性经济利益或个人关系。

Yingying Ren | Qian Wang | Zhaoyang Cuan | Da-Wei Ding