考虑齿圈柔性的行星齿轮系统时变啮合特性、全局动态演化与齿面微动接触跨尺度统一建模

《Results in Engineering》：Time-Varying Meshing Characteristics and Global Dynamic Evolution of Planetary Gear Systems Considering Ring Gear Flexibility

　　

研究人员将齿圈柔性纳入实际啮合路径演化，提出一个统一框架耦合全局非线性动力学与局部微滑移接触，并揭示从结构变形到齿面响应的跨尺度载荷传递。研究人员提出统一多尺度建模框架，将齿圈柔性、非线性系统动力学和齿面微动接触耦合。首先，根据齿圈变形修正行星轮-齿圈副的实际啮合路径；随后沿修正路径重新计算啮合位置参数、时变啮合刚度（Time-Varying Meshing Stiffness, TVMS）和载荷分配系数，并纳入包含齿侧间隙（backlash）、传动误差（transmission error）和啮合状态切换（meshing state switching）的非线性动力学方程。该公式用于评估齿轮柔性对动态啮合力、分岔行为和全局动态演化的影响。最后，以动态啮合力为输入，采用Hertz接触理论（Hertzian contact theory）和Cattaneo-Mindlin部分滑移理论（Cattaneo-Mindlin partial-slip theory）确定齿面法向压力、切向应力和微滑移距离。所得框架建立了连接结构柔性、系统动力学和局部接触响应的跨尺度载荷传递路径。

行星齿轮传动（planetary gear transmission, PGT）具有结构紧凑、功率密度高和均载能力强等特点，广泛用于航空航天传动、风电齿轮箱和重型机械。在轻量化设计与多点啮合载荷下，齿圈会发生不可忽略的弹性变形，进而改变行星轮-齿圈副的实际接触位置和啮合路径，并同时改变压力角、等效基圆半径、时变啮合刚度（Time-Varying Meshing Stiffness, TVMS）和载荷分配。这些变化又会控制齿面接触状态转换和系统非线性动态响应。现有许多齿轮系统动力学模型仍按刚性齿轮的理论作用线定义啮合，仅通过附加位移或等效刚度表示柔性，导致实际接触点及其几何、力学参数未随齿圈变形一致更新；同时，系统级动力学常与局部齿面接触分析解耦，难以说明动态啮合载荷如何传播到局部粘滑状态和微滑移响应。为此，Lei-Hao Li、Shi-chuang Liu 和 Hao Han 提出统一多尺度建模框架，耦合齿圈柔性、非线性系统动力学和齿面微动接触，修正实际啮合路径，更新TVMS和载荷分配系数，分析动态啮合载荷、分岔行为和全局动态演化，并以动态啮合载荷为输入求解齿面局部接触响应，从而建立结构柔性、系统动力学和局部接触之间的跨尺度载荷传递路径。

关键技术方法：采用模态法描述齿圈局部柔性位移，将局部位移 H_iΦ_rq_r(t) 引入理论接触点修正 r_Ki(t)=r_K0i(t)+Δu_i(t)，沿实际路径更新压力角、等效基圆半径、摩擦臂、重合度、TVMS与载荷分配系数。建立含齿侧间隙、传动误差和啮合状态切换的行星齿轮非线性动力学模型，并用多初值分岔图、最大Lyapunov指数、分岔树和吸引域分析全局演化；以动态啮合载荷驱动Hertz与Cattaneo-Mindlin部分滑移模型，求齿面法向压力、切向应力和微滑移距离。实验采用行星齿轮传动振动平台，含伺服电机、磁粉制动器、Kistler 8742A加速度传感器和Kistler 4520A扭矩传感器，采样频率51.2 kHz，测试转速为2000、2500、3000和4000 r/min。

2. 考虑齿圈柔性的齿面微动接触计算：研究人员针对柔性齿圈行星齿轮系统，分析齿圈柔性如何影响实际啮合路径、时变啮合参数（Time-Varying Meshing Parameters, TVMPs）、系统动态响应及行星轮-齿圈副微动接触。模型将行星轮、太阳轮和行星架视为刚体，考虑齿圈结构柔性；齿圈柔性主要通过啮合点局部位移影响实际啮合路径，并考虑TVMS、啮合阻尼、传动误差和齿侧间隙。局部齿面接触被等效为Hertz接触斑，不显式求解粗糙度和微凸体尺度载荷分配。通过理论建模建立了齿圈柔性、实际路径、动力学和局部接触之间的联系。

2.1 齿圈柔性作用下的实际啮合路径：传统模型假定行星轮与齿圈沿理论啮合线接触，但高载荷下柔性齿圈发生局部弹性变形，实际接触点偏离理论接触点。研究人员以齿圈局部位移 u_r,i(t) 和行星轮齿面局部弹性变形 u_p,i(t) 定义相对柔性变形 Δu_i(t)，并用 r_Ki(t)=r_K0i(t)+Δu_i(t) 修正实际啮合点，使 r_Ki(t) 的轨迹构成实际啮合路径。沿该路径重新计算等效基圆半径 R_bp2,i(t)、R_br2,i(t)，实际压力角 α_pk,i(t)、α_rk,i(t)，摩擦臂 S_p,i(t)、S_r,i(t) 和实际重合度 ε_rp,i(t)。结论是齿圈柔性使实际啮合几何和运动学参数不再等同于理论啮合线结果。

2.2 考虑齿圈柔性的TVMS与载荷分配：行星轮-齿圈副的时变啮合刚度由Hertz接触柔度、行星轮轮齿柔度、齿圈轮齿局部柔度和齿圈整体结构柔度共同决定。研究人员将弯曲、剪切、轴向压缩、齿根柔度、齿圈整体结构柔度 C_rg,ij(t) 等纳入总等效柔度，得到单齿对啮合刚度 k_rp,ij(t)，并区分单齿和双齿啮合区，计算齿对载荷分配系数 η_ij(t) 与动态啮合载荷 F_rp,ij(t)=η_ij(t)F_rp,i(t)。结果表明，齿圈柔性不仅因结构柔度直接降低啮合刚度，还通过实际啮合路径改变单齿/双齿啮合区分布，进而影响载荷分配和动态啮合载荷波动。有限元结果复现了该方法预测的TVMS主要周期性变化，峰谷位置、多齿啮合区转换和总体刚度水平吻合较好，过渡区存在小偏差。

2.3 动态啮合载荷驱动的齿面局部部分滑移接触模型：由非线性系统方程得到行星轮-齿圈副动态啮合力 F_rp,i(t)，再据瞬时齿对载荷分配系数确定第 j 个活动齿对承受的 F_rp,ij(t)。局部接触模型不描述单个微凸体，而是将动态齿对载荷传递到以实际啮合位置为中心的等效名义Hertz接触斑。其法向载荷为 F_n,ij(t)=|F_rp,ij(t)|。根据Cattaneo-Mindlin部分滑移理论，当 0ij(t)<μF_n,ij(t) 时，接触区同时存在粘着区和滑动区；当 Q_ij(t)≥μF_n,ij(t) 时进入整体滑移。研究人员给出接触圆半径 a_c(t)、接触面积、最大法向压力 p₀(t)、法向应力分布、粘着区半径 c_c(t)、切向应力分布 q(ρ,t)、等效应力 σ_contact 和代表性微滑移距离 u_s(t)。结论是齿圈柔性不显式出现在Hertz接触公式中，但通过实际啮合路径、TVMS、载荷分配和系统动态啮合载荷间接影响齿面局部法向压力、切向应力和微滑移距离。

3. 考虑齿圈柔性的行星齿轮系统非线性动力学模型：研究人员建立含齿圈柔性的行星齿轮系统非线性动力学模型，以获取系统动态啮合载荷并为齿面微动接触模型提供动态输入。广义坐标包括太阳轮、行星架、行星轮的平移和等效扭转位移，以及齿圈柔性模态坐标 q_r。模型计算行星轮和齿圈接触点位移、相对啮合位移 x_rp,i(t)、齿侧间隙非线性函数、动态啮合力 F_rp,i(t) 及接触指示函数 I_rp,i(t)，并给出太阳轮-行星轮副的相对位移和动态啮合力，最终组装为系统非线性动力学方程。齿圈柔性通过两个耦合通道进入啮合力模型：模态变形 H_iΦ_rq_r 贡献相对啮合位移，属运动学贡献；同一变形改变实际啮合几何并更新时变啮合参数，属参数化贡献。研究还分析三行星系统中10、11、12个外花键对齿圈径向变形的影响，发现12花键系统因12为行星数3的倍数而呈现圆对称齿圈变形，且花键数增加使齿圈变形减小。以输入太阳轮、输出行星架，输入转速从1000到12000 r/min按12个速度增量扫频。刚性齿圈响应仅含啮合谐波，而柔性齿圈响应出现显著低频阶次，并在啮合谐波周围出现明显边带；11花键设计的花键通过频率 f_s=4.06，与响应吻合。

4. 数值模拟与讨论：基于所建非线性动力学模型，研究人员采用数值积分求解，剔除早期瞬态，仅保留稳态数据，并以啮合周期为采样周期构建分岔图等。通过分岔图识别运动状态随控制参数的演化，结合相轨迹和Poincaré映射判断周期、倍周期和混沌运动。齿圈柔性改变行星轮-齿圈副局部变形、实际啮合路径、啮合点位置、啮合压力角、TVMS和载荷分配关系，进而影响分岔阈值、吸引子拓扑结构和运动稳定性。

4.1 齿圈柔性对系统非线性动态特性的影响：以无量纲齿侧间隙 b_rp 为分岔参数，在载荷因子 L=0.07、啮合频率 ω=1.8、阻尼比 ξ=0.04、传动误差 e_rp,i(t)=0.09 条件下，对比柔性模型和刚性模型。b_rp=0.08 时两者均为周期2运动，但相轨迹覆盖、轨道中心和局部曲率不同。b_rp=0.15 时柔性模型仍为稳定周期2，刚性模型已混沌；柔性可缓冲脱啮和再接触瞬态冲击，增强齿间载荷传递连续性，抑制混沌并延迟失稳。b_rp=0.24 时柔性模型为周期5，刚性模型仍混沌；柔性可把混沌吸引子转为有界高阶周期吸引子。b_rp=0.36 时柔性为周期3，刚性为周期6，说明柔性改变倍周期分岔过程。b_rp=0.88 时柔性为稳定周期1，刚性为混沌，说明较大齿侧间隙区间内柔性可动态补偿啮合冲击，使系统重回稳定单周期运动。b_rp=0.98 时两者均混沌，但混沌吸引子的空间尺度和拓扑形态不同；齿侧间隙过大时非光滑脱啮-碰撞效应占主导，齿圈柔性不足以完全缓和能量扰动。总体看，齿圈柔性的影响具有显著区间性和非单调性，可抑制混沌、降低周期阶次、扩展稳定周期窗口；但不能将齿圈柔性简化为恒定阻尼因子，忽略其影响可能误判运动类型、分岔阈值和稳定运行范围。

4.2 齿面动态啮合-微动接触的全局动态演化机制：研究人员以行星轮-齿圈副沿实际啮合方向的相对位移和速度构建二维初值空间，以啮合频率 ω 构建一维参数空间 Φ₁={ω|0.2≤ω≤5.0}，其他参数为 L_ij(t)=0.14、b_rp=0.98、ξ=0.04、e_rp,i(t)=0.05。利用多初值分岔图识别共存响应，用最大Lyapunov指数判断稳定和混沌，用分岔树描述响应分支的产生、转化、合并和消失，用吸引域揭示初值敏感性。0.2<ω≤0.541 区间仅存在稳定周期1运动 p₁，不同初值收敛到同一周期吸引子，全局稳定性强。0.541<ω≤1.042 区间由单吸引子转为多吸引子共存，出现不同振动幅值的周期1响应，后段出现周期3响应。1.042<ω≤1.113 为低频多周期1向周期2过渡的窄区。随后在1.113<ω≤1.218、1.218<ω≤1.324等区间，周期1、周期2、周期3等分支逐步形成并共存，最大Lyapunov指数出现窄正峰但未形成连续混沌窗口。1.997<ω≤2.325 为中频最主要混沌窗口，B32-Chaos分支形成并持续，同时存在B10-P2、B28-P2、B34/B35-P4等稳定周期分支，表现为周期-混沌多吸引子共存。2.325<ω≤2.658 时B32-Chaos消失，系统恢复以周期响应为主，出现周期1、2、4、9等共存。2.658<ω≤3.137 以B10-P1、B35-P4、B40-P4、B41-P2等分支为主，系统具有多稳定性和初值依赖。3.137<ω≤3.244 为周期4分支重组过渡带。3.244<ω≤4.123 为高阶周期多吸引子共存区，最大Lyapunov指数常近零，稳定性裕度小，初值扰动敏感。4.123<ω≤5.0 并非单一周期1稳态，先出现多种周期分支，ω≈4.4附近最大Lyapunov指数多次穿越零，约ω≥4.6后形成较连续正区间，高频混沌分支B52-Chaos出现并持续。整体动态演化为：低频单周期1、多种周期吸引子、高周期运动、周期-混沌初期共存、周期响应恢复、高阶周期性多稳定、高频混沌。不同周期吸引子对应不同动态啮合力幅值、冲击频率和长周期调制，影响法向压力、切向应力和微滑移距离的循环；混沌吸引子破坏啮合力峰值和微滑移路径的重复性。因此确定系统运行频率时，应避开最大Lyapunov指数持续为正的K区间和P区间后段，也应避开O区间等共存分支多、吸引域高度碎片的频率范围。

4.3 实验验证：研究人员建立行星齿轮传动系统振动实验平台，包括驱动伺服电机、行星齿轮传动装置、磁粉制动器、扭矩传感器、振动加速度传感器、数据采集系统和计算机测试分析软件。驱动电机提供稳定转速输入，磁粉制动器调节输出载荷，扭矩传感器监测负载，振动加速度传感器布置在齿轮箱支撑处采集振动响应，采样频率51.2 kHz。实验选用2000、2500、3000和4000 r/min四个转速，对应ω约为1.44、1.80、2.16和2.88。结果表明，实验信号与理论计算在主振动周期、幅值演化和频谱主峰位置方面总体一致；随转速升高，系统振动响应增强，频谱主要能量向高阶频率移动并与理论啮合频率及谐波一致。2500 r/min时振幅增大，边频分量更明显，但主要能量仍为离散频率分量。3000 r/min对应ω≈2.16，位于数值分析预测的K-L混沌响应区，实验和数值时域响应出现更强幅值调制和非规则时间波动，频域出现额外边带和宽带成分。4000 r/min对应ω≈2.88，进入M-N区，实验频谱能量重新集中于若干离散频率分量，宽带贡献相对3000 r/min减小，与数值预测的有界周期吸引子恢复一致。实验支持所提模型重现系统振动响应演化的能力，但不作为确定性混沌的独立证据；更严格的混沌实验表征还需连续或精细步进扫频、相同步Poincaré或返回映射，或从稳态实测时间序列计算非线性混沌指标。

讨论部分总结：研究人员表明，齿圈柔性通过实际啮合路径、TVMPs、动态啮合载荷与局部接触响应相连，系统全局动态状态可传递到齿面局部微滑移接触。齿圈柔性对稳定性的作用取决于柔性变形、齿侧间隙、TVMPs和动态载荷的匹配，不是简单恒定阻尼效应。从齿面动态稳定和损伤控制看，应避免连续混沌频率区间，并关注具有大量共存吸引子和高度碎片化吸引域的高阶周期区域，以降低初始扰动导致吸引子转变、啮合冲击增强和局部微动损伤加剧的风险。实验在四个离散转速下验证了主啮合频率成分和响应复杂性随转速演化的趋势。

研究结论翻译：1. 本文建立了考虑齿圈柔性的实际啮合路径和TVMPs计算方法，有效整合结构柔性、系统动力学和局部接触响应。不同于依赖刚性齿圈和理论啮合线的传统建模，本研究通过引入齿圈啮合位置局部柔性位移修正理论接触点，使实际啮合点随时间形成柔性条件下的动态啮合路径。据此重新确认了压力角、等效基圆半径、摩擦臂、重合度、TVMS和载荷分配系数等关键参数。2. 齿圈柔性显著改变系统分岔路径、运动类型和稳定运行范围，其动态行为具有明显参数依赖性和非单调性。齿圈柔性不应仅视为恒定阻尼因子；其对系统稳定性的影响取决于柔性变形、齿侧间隙、TVMPs和动态载荷之间的相互作用与匹配。忽略这种柔性效应可能导致对运动类型、分岔阈值和稳定运行范围的错误判断。3. 系统全局动态状态通过动态啮合载荷传递到齿面局部微滑移接触。不同吸引子对应不同局部接触载荷循环和微滑移特征。从齿面动态稳定性和损伤控制角度看，避免连续混沌频率区间至关重要。此外，维持具有大量共存吸引子和高度碎片化吸引域的高阶周期区域，对于缓解初始扰动导致吸引子转变、啮合冲击增强和局部微动损伤加剧的风险至关重要。