具有可调重叠的双群结构网络随机SIR传染病模型：渐近大爆发概率与最终规模

《Advances in Applied Probability》：An epidemic model on a network with two group structures having tunable overlap

　　

研究人员研究了一个网络流行病模型。底层社交网络具有两类不同的群体结构，即家庭（households）和工作场所（workplaces），使得每个个体恰好属于一个家庭和一个工作场所。随机网络按如下方式构建：参数 θ 控制两类群体结构之间的重叠程度，θ=0 对应所有家庭成员属于同一工作场所，θ=1 对应所有家庭成员属于不同工作场所。在该网络上定义了一个随机 SIR（Susceptible–Infective–Recovered，易感者–感染者–恢复者）流行病模型，其具有任意但指定的感染期分布，并包含全局（社区）、家庭和工作场所感染接触。该随机流行病模型在总体规模 n→∞ 时被分析，获得大爆发（major outbreak）的渐近概率和规模。除允许两类群体结构之间具有可调重叠 0≤θ≤1 外，研究人员还通过允许非恒定感染期、全局感染的存在或缺失，以及潜在渐近无限局部爆发，对模型进行了扩展。

论文解读

研究背景与问题：流行病传播受社区异质性影响。家庭模型是最常见结构，个体在家庭内发生局部接触，并在社区发生全局接触，家庭内感染概率通常远高于随机社区成员。随后研究引入多层混合模型、邻里—学校—家庭三层模型以及家庭—工作场所双分区模型。为便于数学分析，许多家庭—工作场所模型假设两类分区渐近无重叠，即没有两个个体同时属于同一家庭和同一工作场所。但现实中存在重叠，如兄弟姐妹同校、大学生按班级分配宿舍。Patwardhan et al. 数值研究大学生宿舍与班级分配，发现按班级分配宿舍可降低疫情严重性并增强随机接种效果。Ouboter et al. 在家庭、工作场所规模和感染期均常数时证明，无重叠模型的大爆发概率和规模均大于完全重叠模型。然而，0<θ<1 的部分重叠尚无一般分析；即便 θ=0 或 1，严格大数定律多要求常数感染期，使全局、家庭和工作场所感染接触数独立。重叠使小独立组分分析失效，因此研究人员构建可调重叠模型，允许非恒定感染期、全局感染有无及潜在渐近无限局部爆发，求渐近大爆发概率和最终规模。

研究人员开展的研究与结论：模型定义 n 个个体，每人恰好属于一个家庭和一个工作场所；家庭大小为 h≥2，工作场所大小为 w=dh，d≥1。先令每个工作场所由 d 个家庭构成，实现完全重叠；每个个体独立以概率 θ 成为 mover（迁移者），其余为 remainer（留驻者）。mover 改变工作场所但不改变家庭，并在腾空工作场所位置中均匀随机重分配，保持工作场所规模。θ=0 为完全重叠，θ=1 为无重叠。流行病为连续时间随机 SIR（susceptible→infective→recovered，易感者→感染者→恢复者）模型，感染期 I 独立同分布，可有任意潜伏期；感染者分别以速率 β_H、β_W、β_G 对家庭、工作场所和全局做感染接触。重新参数化为 β=β_H+β_W+β_G，π_G=β_G/β，π_H|G^c=β_H/(β_H+β_W)，并设 E[I]=1。固定 h、w、θ，令 n→∞。结论：大爆发概率趋于 ρ。π_G>0 时，ρ=1?ξ，ξ 是 [0,1] 中满足 φ_A(β_G(1?s))=s 的最小解，ρ>0 当且仅当 R_*>1；π_G=0 时，ρ 由 (6.19) 给出，ρ>0 当且仅当 R_L>1。若条件于大爆发，Z⁽ⁿ⁾/n 依概率收敛到严格正数 z；π_G>0 时 z 为 (5.5) 的唯一正根，π_G=0 时 z 由 (6.6) 给出。意义在于给出可计算阈值与最终规模框架，并说明重叠减少可使传播增强。

关键技术方法（≤250字）：研究人员构建 θ 可调随机网络，划分 complex（复合单元，由与工作场所相关个体构成，含 remainer、迁出 mover、迁入 mover）；将局部传播与全局传播分离；用局部感染团（local infectious clump）和局部易感集（local susceptibility set）及其 severity；在 n→∞ 下用多类型分支过程近似早期传播和易感集；π_G>0 时采用 Ball–Neal 两层混合框架与 Scalia-Tomba 嵌入技术；π_G=0 时借鉴随机交图思想；计算涉及 PGF（probability-generating function，概率生成函数）、Laplace transform（拉普拉斯变换）与 Perron–Frobenius root（Perron–Frobenius根）。无样本队列。

研究结果：

2. The epidemic model with two group structures and tunable overlap：定义网络，家庭/工作场所大小，θ mover 机制；定义连续时间 SIR、三类接触和参数化。

3. Main results：定理3.1给出大爆发概率 ρ 与阈值 R_*、R_L；定理3.2给出条件大爆发下 Z⁽ⁿ⁾/n 收敛到 z>0。

4. Numerical illustrations：模拟显示有限 n 下渐近 ρ、z 近似良好；最终规模分布呈双峰；z 随 θ 和 d 增加；θ 接近 1 时对 θ 较不敏感，θ=1 无重叠标准模型可近似部分重叠；θ=0 时 z=0；I≡1 比 I~Exp(1) 的 z 更大，临界 θ 更小。

5. Derivations and proofs when π_G>0：5.2 General framework 用有向随机图定义局部感染团和易感集，R~Po(β_GA)，R_*=β_GE[A]=β_GE[C]；z 满足 1?z=f_S(e^?β_Gz)。5.3.1 Complexes 定义 R、H、W 三类个体及 complex。5.3.2 Local infectious clumps 在 I≡1 时 C 为三类型分支过程总后代，Lemma 5.1 证明 C⁽ⁿ⁾ 依分布收敛到 C。5.3.3 Major outbreak probability 对一般 I 进一步分型，得到 φ_A 与 ρ。5.3.4 Local susceptibility sets 得 S 分布、R_L 和 R_* 公式。5.4 Numerical computation 给出计算途径。5.5、5.6 分别证明定理3.1和3.2。

6. Derivations and proofs when π_G=0：6.1 概述无全局感染时 ρ=P(C=∞)、z=P(S=∞)，阈值 R_L。6.2 局部感染团与易感集渐近，耦合前 ?_n 代，分支过程非灭绝概率 z 由 (6.6) 给出。6.3 Size of major outbreaks：Lemma 6.2 证明未灭绝易感集比例收敛到 z；Lemma 6.3 在 I≡1 时证明条件大爆发最终比例收敛到 z。6.4 Non-constant infectious periods：用 w+h?2 型前向分支过程与两类型后向易感集结合，Lemma 6.4 证明前向与后向最大特征值相等。

7. Discussion：模型可推广至感染性随机变化、家庭/工作场所规模可变、成人–儿童两类、非药物干预、中心极限定理、增长率与疫苗策略；R_* 可为无穷，R_L 基于感染 complex 而非个体，比较模型时有限制。研究结论可译为：研究人员研究了一个社区具有两类不同群体结构且允许部分重叠的流行病模型，并推导了该流行病的渐近性质。为便于阐述，研究人员在感染率在感染者感染期内保持常数的 SIR 模型中呈现结果。定理3.1和3.2可推广至感染性在个体感染期内随机变化的情形，其中 I 表示个体的最终累积感染性。