乘性白噪声驱动的运动神经系统传导模型的数值模拟：均方稳定性与收敛性分析

《Journal of Mathematical Analysis and Applications》：Numerical simulation of motor neural system transmission models driven by multiplicative white noise: mean-square stability and convergence analysis

　　

摘要

运动神经系统中的信号传输本质上受到随机扰动的影响。理解此类噪声在神经信息编码中的调控作用，仍是计算神经科学与应用数学领域的核心挑战。本文针对由乘性白噪声驱动的多维随机FitzHugh-Nagumo (FHN)神经系统的传输模型，发展了一种基于正交分解（POD）的降阶全隐式有限差分方法。构建了一种全隐式有限差分格式来离散化随机反应-扩散方程，从而克服了传统半隐式方法中的稳定性限制。我们严格证明了全阶与降阶格式在无任何时间步和空间步限制的情况下均具有无条件均方稳定性。通过采用多样本联合快照策略，利用POD技术提取主导动态模式，将高维系统投影到低维空间，同时保留了乘性噪声的统计结构。在一维、二维和三维随机FHN模型上进行了全面的数值实验。理论分析与数值结果证实，所提方法能够保持与全阶格式相当的高近似精度，实现超过10倍的加速，并且在强乘性噪声下仍保持稳定。本工作为大规模长时间随机运动神经动力学的模拟提供了高效、稳定且可靠的计算框架，并可推广至更广的半线性随机偏微分方程类。

引言

神经系统作为调控运动信息传输的基本动态框架，其信号传递过程在真实生理环境中必然受到源自多种因素的随机扰动影响，例如环境微涨落、胞内生化随机性以及随机离子通道门控机制[5], [36], [41]。值得注意的是，此类噪声不仅仅是背景干扰，而是在运动神经元的兴奋性、信号传播和信息编码中发挥着主动的调控作用[30]。因此，揭示噪声调制运动神经活动的动态机制，已成为连接计算神经科学与应用数学的关键跨学科研究课题。

神经电活动的定量建模可追溯至Hodgkin和Huxley的开创性工作[11]，他们建立了基于电导的详细模型来描述跨神经元膜的电离电流。尽管Hodgkin-Huxley模型在生物物理学上精确，但其计算代价高昂，难以适用于大规模网络模拟。为此，FitzHugh [8]和Nagumo等人[37]提出了一种简化但仍保持定性忠实的模型，即FitzHugh-Nagumo (FHN)模型，该模型保留了神经电位的静息-兴奋-恢复动态本质。其三次非线性函数$f(u)=u(u?\alpha )(1?u)$，其中阈值参数$\alpha \in (0,1)$，通过其三个平衡点分别对应静息态、阈值态和兴奋态，捕捉了神经膜的兴奋特性[13]。由于在生物物理解释性和数学可处理性之间取得了平衡，FHN模型已成为研究神经传导和模式形成的经典范式[4], [14], [43]。

在真实生理环境中，噪声强度与膜电位状态密切相关，这表明乘性噪声比加性噪声更具生物学合理性。然而，大多数现有数值研究集中于加性白噪声和半隐式离散化方法[21], [29]，这些方法存在条件稳定性限制，在强噪声情境下的适用性有限[10], [31]。此外，随机系统的数值模拟需要大量样本路径才能获得具有统计意义的解，导致计算成本过高[1], [35]，特别是在高维空间域中更为突出[27], [38]。

针对确定性FHN方程，已有多种数值方法被提出，包括谱方法[22]、有限差分(FD)格式[2], [20], [39]以及配置法技术[40]。然而，将这些方法扩展至随机设置往往带来令人望而却步的计算开销，尤其是在高空间维度情况下。降阶建模(ROM)技术，如正交分解(POD)，通过提取系统动力学的低维表示来缓解维度灾难，提供了有前景的解决方案[12], [16], [17]。POD已成功应用于确定性非线性问题，包括相场模型[23]和不可压缩流[32]。然而，其在随机偏微分方程(SPDEs)[27]中的应用仍然有限，主要面临两个挑战：(i) 需要能够表征随机解概率分布的快照数据，(ii) 降维过程中如何保留随机性质。

为弥补上述不足，本文针对乘性噪声驱动的随机FHN模型，发展了一种基于POD[33], [34]的全隐式降阶有限差分(ROFD)框架。主要贡献总结如下：(1) 将随机FHN模型扩展为乘性白噪声驱动形式，更好地刻画真实神经系统中状态依赖的随机扰动。(2) 构建全隐式有限差分格式，并严格证明全阶与降阶系统的无条件均方稳定性，且不受时间和空间步长限制。(3) 设计多样本联合快照策略以确保POD基函数能够捕捉随机变异性，并推导出一种结构保持的降阶格式，该格式保留了噪声增量的正态性和独立性。(4) 一维和二维数值实验表明，降阶方法在保持高精度和结构一致性的同时实现了超过10倍的加速。

本工作不仅为随机神经动力学提供了高效可靠的数值工具，还建立了一个可推广的降阶建模框架，适用于更广泛的随机反应-扩散方程类。从生物应用角度来看，它量化了白噪声在神经信息传导中的调控机制，并为分析复杂神经系统在随机干扰下的动态行为提供了可靠的数值工具。

本文余下部分组织如下：第2节建立乘性白噪声驱动的随机FHN模型，并推导全隐式FD格式。第3节发展基于POD的降阶全隐式格式，包括快照生成和Galerkin投影。第4节严格证明无条件均方稳定性和收敛性。第5节展示一维、二维和三维的数值实验，验证精度、效率和生物学相关性。最后，第6节总结全文并提出未来研究方向。

章节摘要

随机FHN模型与全隐式FD格式

神经信息传导本质上是一个交织着随机性和非线性的时空动态过程[15]。为了准确刻画这一过程，本节建立了由乘性白噪声驱动的随机FitzHugh-Nagumo (FHN)模型，并构造了相应的全隐式有限差分(FD)格式，该格式保留了布朗运动的统计特性并保证了无条件稳定性。全离散框架作为

基于POD的全隐式ROFD格式

尽管第2节建立的全离散FD格式(3)或(5)为模拟随机神经传导提供了可靠基础，但在应用于随机FHN模型时面临一个根本性瓶颈：获得具有统计意义的解需要模拟大量（通常为数百到数千条）独立的白噪声样本路径。传统方法需要为每条样本独立求解高维代数方程组，导致

数值分析

本节建立了乘性白噪声驱动的随机运动模型的全隐式全阶有限差分(FD)格式和基于POD的降阶有限差分(ROFD)格式的无条件均方稳定性和收敛性。所有结果对任意时间步$\tau >0$和空间步$h>0$均成立，即无任何CFL型限制。

数值实验

为验证所提基于POD的全隐式降阶有限差分(ROFD)格式的可靠性、精度和计算效率，在一维（神经轴突）和二维（神经网络）场景下进行了广泛的数值模拟。所有实验均在配备Intel Core i7-12700H处理器和32 GB内存的工作站上使用MATLAB R2023b实现，以确保可重复性和公平比较。

实验的主要目标为

结论与未来工作

本文针对乘性白噪声驱动的随机运动神经模型，发展了一种基于POD的全隐式降阶有限差分(ROFD)框架。全隐式格式保留了布朗运动的统计特性，并克服了半隐式方法的步长限制。通过采用多样本联合快照策略和Galerkin投影，POD技术提取了最优低维基函数，同时保留了乘性

CRediT作者贡献声明

所有作者对本工作贡献相同。所有作者共同撰写、阅读并批准了最终稿件。

致谢

作者感谢匿名审稿人和编辑提出的宝贵意见，这些意见将促进本文的完善。

宋政远|张子怡|李环荣