电磁加热下分数阶双温度双相滞后生物传热：一种解析物理信息神经网络框架

《International Communications in Heat and Mass Transfer》：Fractional two-temperature dual-phase-lag bioheat transfer under electromagnetic heating: An analytical-physics-informed neural network framework

　　

•分数阶热传输揭示了组织加热过程中的强非平衡现象。•经典生物热建模与参考值的偏差高达38.9%。•物理信息学习预测耦合场的误差低于1.3%。•神经网络推理将重复评估加速约252倍。•阿伦尼乌斯分析映射了温度、时间和深度上的热损伤分布。引言生命生物组织中的热传递是一种复杂的生理现象，在维持稳态、调节体温和确保代谢过程正常运行方面起着关键作用。对生物介质中热行为的理解不仅对生理学具有基础意义，对各种医学应用同样至关重要，包括高温癌症治疗、激光手术、冷冻手术和热消融[1]、[2]。在这些治疗过程中，精确控制组织内的温度分布对于最大化治疗效果并最小化对周围健康结构的损害至关重要。因此，过去几十年中，开发准确描述生物热传递的数学模型一直是研究的热点话题[3]、[4]、[5]、[6]。分析生物系统中热传递的基础框架由Pennes于1948年建立[7]。Pennes生物热方程，通常被称为经典生物热模型，将代谢产热和血液灌注的影响纳入了标准热传导方程。该模型假设热传播以无限速度发生，这对于稳态或长时间瞬态过程是一个合理的近似。然而，Pennes模型依赖于傅里叶热传导定律，无法考虑微观结构相互作用和热波传播的有限速度，特别是在短时间加热场景或高強度热源作用下[8]、[9]。在异质且非均质的生物组织中，瞬时热传播的假设可能导致理论预测与实验观测之间出现显著偏差[10]。为了解决傅里叶定律中固有的无限速度悖论，提出了多种非傅里叶热传导模型。其中，Cattaneo-Vernotte（CV）波模型引入了单一相移来考虑热传播的有限速度，从而得到双曲型热传导方程[11]、[12]、[13]。尽管CV模型改进了傅里叶定律，但它仍然缺乏捕捉生物组织在快速加热下复杂热响应的灵活性。Tzou通过双相移（DPL）模型提出了更先进的公式[14]、[15]。DPL理论认为，热流矢量与温度梯度之间存在时间延迟，同时温度梯度与热流之间也存在延迟。这些相移分别记为????和????，使模型能够捕捉微观结构相互作用，如声子-电子相互作用或声子散射，这在生物组织等复杂介质中普遍存在[16]。DPL模型已被广泛用于生物热传递研究，以分析皮肤、肌肉及其他组织在各种热载荷下的热波。热传导理论的进一步改进导致了双温度（TT）模型的发展[17]。在经典热弹性和热传导中，通常假设导热温度（控制热流）和热力学温度（控制熵和应力）是相同的。然而，在涉及快速加热或高速率过程的情况下，这两种温度可能差异显著。双温度理论区分了这两个不同的温度场，为热弛豫效应显著的材料中热传播提供了更准确的描述[18]。当与DPL模型结合时，双温度-双相移（TTDPL）理论为分析生物热传递提供了稳健的框架，特别是在涉及热冲击或高频热载荷的场景中[19]、[20]。近年来，分数阶微积分作为一种强大的数学工具，已被用于建模具有记忆依赖特性的复杂物理系统[21]、[22]、[23]、[24]。生物组织表现出粘弹性行为和非均质结构，通常表现出非局部和记忆依赖的热传递特性[25]。经典整数阶导数可能无法完全捕捉这些复杂性。特别是，Caputo分数阶导数已被用于修改热传导方程，从而更灵活地表示组织内的热历史和异常扩散过程。通过引入分数阶参数??，模型可以在不同的热传导行为之间进行插值，为生物介质中的实验数据提供更好的拟合[26]、[27]。将分数阶导数整合到TTDPL模型中代表了重大进步，能够同时捕捉相移效应和记忆依赖的热响应[28]。除了热因素外，生物组织在磁共振成像（MRI）、透热疗法和微波消融等医疗程序中还经常受到电磁场的作用[29]、[30]。电磁波与生物组织的相互作用会产生电流，由于组织的介电特性而产生热量。这一现象由麦克斯韦方程组控制，该方程组描述了电磁场在介质中的传播。感应电磁场还会产生洛伦兹力，可能影响组织的机械变形。因此，对生物热行为的全面分析必须考虑热场、机械场和电磁场之间的耦合[31]、[32]。外部磁场的存在可以改变热传递特性并在组织内引起附加应力，需要采用耦合热-电-磁-弹模型。生物组织对热载荷的机械响应是另一个不可忽视的关键方面。由于温度梯度引起的热膨胀会在组织基质中产生应力和应变。在热弹性的语境下，温度场与位移场之间的耦合由本构方程和运动方程控制。对于分层的且含有血管的皮肤组织，感应热应力会影响血液灌注速率和代谢产热。先前的研究已利用经典理论研究了生物组织中的热弹性行为，但需要将这些分析扩展到包括非傅里叶热传导和分数阶效应[33]、[34]、[35]。将生物热方程与运动方程耦合可以评估位移和应力分布，这对于评估热疗法期间的组织损伤和结构完整性至关重要[36]、[37]。血液灌注和代谢产热是生物组织的内在特性，显著影响温度分布。灌注速率代表血管与周围组织之间的热交换，根据温差起热汇或热源的作用。代谢产热源于细胞内的生化过程，并且具有温度依赖性[38]、[39]、[40]。在许多模型中，这些参数被视为常数，但在实际中它们随温度和生理条件而变化[41]、[42]、[43]、[44]、[45]。将温度依赖的代谢产热和灌注系数纳入生物热模型可增强模拟的生理相关性。此外，电磁辐射提供的外部热源必须利用从麦克斯韦方程组推导的比吸收率（SAR）准确建模[35]、[46]、[47]。尽管已有关于生物热传递的广泛文献，但在目前对生物组织耦合热-电-磁-弹行为的理解中仍存在若干空白。大多数现有研究仅独立关注DPL模型或分数阶热传导模型[48]、[49]、[50]、[51]、[52]、[53]、[54]。很少有研究在电磁辐射的语境下将双温度理论与双相移模型和分数阶导数结合起来[55]、[56]、[57]、[58]。此外，在谐波热载荷下皮肤组织中感应洛伦兹力与热弹性变形之间的相互作用尚未利用这一先进的数学框架进行深入研究。许多模型通过忽略导热温度与热力学温度的区别或忽略分数阶微积分捕捉的记忆效应来简化问题。因此，需要一种统一模型来整合这些多样的物理现象，以更准确地预测复杂载荷条件下的生物热行为。本研究解决的主要研究空白是缺乏一个综合性数学模型，在皮肤组织的热弹性框架内同时纳入双温度-双相移（TTDPL）理论、Caputo分数阶导数和电磁场相互作用。虽然先前的工作[56]、[58]、[59]已研究了这些效应的子集，但分数阶参数、相移、双温度区别和电磁洛伦兹力对生物热响应的综合影响仍未被探索。本工作的新颖性在于制定了一个修改后的生物热传递方程，将TTDPL模型与Caputo分数阶导数相结合，从而同时捕捉微观结构时间延迟和记忆依赖的热传递。此外，本研究将分析扩展到包括与麦克斯韦方程组的耦合，以评估感应的电磁场和洛伦兹力，为涉及电磁辐射的医疗程序提供更逼真的模拟。从热传递的角度来看，本工作的主要新颖性不仅在于同时纳入分数阶导数、双相移和双温度效应，更在于开发了一个统一框架，能够解析热记忆、有限速度热传播、电磁能量沉积和组织热力学如何共同改变瞬态热传输。与传统的傅里叶-Pennes公式不同，所提出的模型区分了导热温度和热力学温度，因此允许直接量化快速加热期间的热非平衡。此外，分数阶次以及热流和温度梯度的相移提供了独立机制来控制热记忆、传播延迟、衰减和渗透。解析解随后与物理信息神经网络整合，构建了一个保留控制热传递物理的快速预测框架。因此，本研究建立了电磁强度、暴露持续时间、热渗透、峰值温度、热弹性应力和热损伤风险之间的定量关系，从而将广义非傅里叶传输理论与实际相关的热管理和生物医学加热条件联系起来。本调查的主要贡献有五方面。第一，开发了一个分数阶双温度双相移生物热公式，同时考虑热记忆、有限速度热传播和导热温度与热力学温度之间的非平衡。第二，将电磁能量沉积及其相关的热弹性响应纳入耦合公式中，使得外部电磁加热、代谢产热、血液灌注、温度、位移和应力之间的相互作用可以在统一框架内进行研究。第三，通过拉普拉斯变换和数值反演构建了解析基准解，为瞬态温度、位移和热应力提供了物理一致的参考场。第四，将物理信息神经网络与分析框架整合，在强制执行控制方程和初始-边界条件的同时，提供耦合时空场的快速预测[66]。第五，引入定量热安全指标，以识别热渗透、非平衡温度差异、安全治疗窗口以及从安全到潜在损害性电磁暴露的转变。这些进展使得能够直接评估简化分数阶、相移和双温度物理的后果，并为重复热治疗和安全分析提供了计算框架。因此，本研究解决四个具体的研究问题：(i)分数阶热记忆和双相移相对于经典热传导描述在多大程度上改变了瞬态温度场的幅度、时间和渗透；(ii)在哪里以及在什么条件下导热-热力学温度非平衡在组织内变得显著；(iii)电磁强度、暴露持续时间和代谢加热如何相互作用以确定热弹性响应以及安全与损害性热状态之间的转变；(iv)物理信息神经网络是否足以准确且高效地复现解析分数阶TTDPL解以支持重复的参数评估。这些问题构成了以下各节中解析、数值和机器学习研究的基础。本研究考虑到的模型代表一层受到谐波热载荷和恒定初始磁场暴露的皮肤组织。问题公式将运动方程、麦克斯韦方程组和带Caputo导数的修改后TTDPL生物热方程进行耦合。假设组织是均质且各向同性的，具有温度依赖的代谢产热和血液灌注。边界条件包括表面的斜坡型热参数和深层的固定条件，模拟真实的生理约束。

电磁场垂直施加，从而感应出电流和洛伦兹力，后者与热场和机械场相互作用 [67]、[68]、[69]、[70]、[71]、[72]、[73]。近期关于广义热弹性的研究进一步表明，有限速率热传导、热记忆、电磁相互作用以及微结构效应均可显著改变耦合的热与力学响应 [74] 开发了一套适用于旋转纳米半导体的耦合光热弹性框架，纳入了双相位延迟热传导、温度相关的导热性能、光生载流子动力学、磁场与旋转效应，以及具有时空 Klein–Gordon 类型的非局部弹性。其分析表明，相位延迟、非局部参数、旋转和磁耦合均能显著改变热、机械及载流子波行为 [75] 考虑了在 Moore–Gibson–Thompson 框架下受电磁加热和热扩散作用且具有初始应力的旋转微伸长热弹性层，强调了有限速率热传输、磁场、旋转和微结构效应对耦合波的衰减与传播的影响 [76] 将广义热弹性模型扩展至带有微孔的实心圆柱，通过结合高阶时间导数热传导与时空 Klein–Gordon 非局部弹性，展示了热波效应、固有空间与时间尺度以及微孔动力学在瞬态热弹性响应中的重要性。尽管这些近期研究在广义热传导与热弹性方面提供了重要进展 [77]、[78]、[79]、[80]、[81]，但其控制物理机制与目标介质不同于本研究中的生物组织问题。所引用的研究主要关注半导体、微伸长或多孔弹性固体，侧重于光生载流子传输、热扩散、旋转、非局部弹性、微孔动力学或广义热弹性波传播。本研究的模型转而处理含有血液灌注的生物组织，并将分数阶时间记忆与双温度非平衡及双相位延迟相结合，构建了一个包含生理灌注、温度相关代谢产热、电磁焦耳加热与热弹性耦合的生物热模型。此外，其半解析解与物理信息神经网络相结合，用于快速重复预测，并配合 Arrhenius 后处理框架，进行基于模型的热损伤评估。因此，本研究的贡献不仅在于引入一种广义热传导机制，更在于将其整合进生理生物热传输、电磁加热、热弹性响应、代理预测与热安全分析的统一分数阶 TTDPL 框架中 [[84]、[85]、[86]、[87]]。引入分数阶时间算子的物理动机，并非因为已有证据证明生物组织普遍遵循分数阶本构关系，而是由于异质组织可能表现出由单一局部弛豫尺度无法充分再现的瞬态热响应。时间分数阶导数通过允许当前响应依赖于此前温度历史，为热时间尺度的分布提供了一种有效的连续介质表征。本研究采用 Caputo 形式，0 < ?? ≤ 1，其中 ?? = 1 时退化为对应的整数阶模型，0 < ?? < 1 时引入时间记忆。因此，参数 ?? 应被理解为一种有效本构量，需根据特定组织与加热方案的瞬态热测量加以确定，而非通用材料常数。实验证据近期为该建模策略提供了直接支持，同时也界定了其适用范围 [82] 比较了经典与分数阶 Pennes 模型，并与组织受控加热过程中获得的离体热成像测量结果进行了对比，报道分数阶模型具有更低的预测误差，且在其考察条件下有效分数阶约为 0.84 [83] 同样比较了 Caputo 时间分数阶生物热模型与肝脏激光加热测量结果，发现分数阶接近 0.9 时能比经典 Pennes 方程更准确地再现早期瞬态温度动态，后者高估了实测响应。这些结果表明，分数阶模型相比整数阶描述，在表征实验中观测到的早期热记忆或分布式弛豫行为方面具有更大灵活性。但它们并未确立分数阶传导为所有生物组织的通用微观定律，也未验证本研究使用的完整分数阶 TTDPL 模型。近期研究为这一扩展提供了清晰依据 [88] 采用非傅里叶热传导研究了激光辐照下皮肤耦合二维热与力学响应，展示了瞬态组织振动与力学响应的重要性。更近期，[89] 为激光诱发的压力波开发了一个二维 Zener 型热粘弹性模型，其中明确纳入了应力松弛、非傅里叶热传导以及径向–轴向耦合。这些发展表明，当研究目标从对比性热弹性灵敏度分析转向真实的压力波或体内力学预测时，粘弹性和多维力学波行为变得十分重要。解剖结构异质性的影响已通过表皮亚层分辨模拟得到进一步证明 [90]，而温度相关的组织性能已被证明会改变耦合的光–热–力学预测结果 [91]。这些进展凸显了参数辨识与本构真实性的重要性；与此相关的基于受控热脉冲的反演热特性表征也证明，从瞬态测量中估算有效热性能具有重要价值 [92]。与此同时，数据驱动的计算方法越来越多地应用于非线性动力学系统与科学预测领域，包括自适应神经求解器 [93]、传感器异常重构 [94]、域自适应剩余寿命预测 [95]、PINNs 因果架构优化 [96] 以及多保真度物理信息学习 [97]。生物医学传感与计算诊断也受益于结合物理感知与数据驱动的策略，用于亚表面微结构重构 [98] 与自动化生理特性表征 [99]，而先进的神经动力系统持续展示了学习得到的非线性表示在处理复杂高维问题方面的能力 [100]。与热建模尤为相关的是，Cai 等人 [101] 表明物理信息神经网络可以从实测表面温度历史中反演出表面热流，展示了如何将物理约束与观测数据结合用于反传热学估计。总体而言，这些研究促使建立一个将广义生物热物理与热弹性耦合相结合，并与物理信息学习融合的研究框架，同时也强调代理模型的精度无法弥补不确定的本构假设、组织异质性、温度相关性能或校准不足的热参数所带来的问题。因此，本研究将 PINN 作为分数阶 TTDPL 模型的计算代理，而非其物理有效性的独立证据。为求解控制无量纲方程，采用拉普拉斯变换法将偏微分方程转化为拉普拉斯域中的常微分方程。该解析方法允许在初始条件与边界条件约束下对耦合系统进行精确求解。由于对如此复杂的表达式无法获得解析的拉普拉斯逆变换，因此采用基于傅里叶级数展开的数值反演技术，以在物理时间域中恢复解。该方法确保了数值结果的高精度与稳定性。本分析预计得出的主要结论是，分数阶参数、相位延迟以及电磁场强度在调节皮肤组织的生物热响应方面发挥重要作用。所提出的 TTDPL 分数阶模型预测的温度峰值更低且应力分布不同，相比经典模型更加突出记忆效应与微结构相互作用的重要性。结果表明，忽略这些因素可能导致对医疗操作中热损伤的高估。本研究最重要的实际应用在于优化热疗抗癌治疗和激光手术。通过提供更准确的温度与应力分布预测，该模型可帮助临床医生确定电磁辐射的安全暴露限值，并优化加热方案以在摧毁肿瘤细胞的同时保留健康组织。此外，研究结果还有助于为涉及高强度电磁场的医疗器械建立安全标准，确保诊断与治疗过程中的患者安全。章节摘要数学模型与基本方程在活体生物系统中，热传递机制主要由三个不同过程决定：跨组织基质的热传导、血液灌注促进的能量传输，以及血液与血管壁之间发生的对流换热。为描述组织的力学行为，本构关系与应变–位移公式建立如下 [51]：??????=2????????????+[?????????????????θ]?δ???? ??????=1/2?(????,??+????,??)。在这些表达式中，??????问题界定近期的批判性评估表明，生物热研究中所使用的相位延迟系数差异较大，且经常在组织与加热方案之间直接移植，而未经实验重新辨识。最近一项针对离体牛皮的专门实验研究将热流相位延迟限定在 ???? <0.5 秒、温度梯度相位延迟限定在 ???? <0.25 秒。基于这些测量结果，本研究采用基线值 ???? =0.25 秒 和 ???? =0.10 秒。求解方法相应地，引入如下无量纲变量，以在本研究语境下对空间、时间、热场与机械场进行无量纲化：(??′,??′,??′)=??0????(??,??,??), (??′,??′??,??′??)=??20????(??,????,????), (??′,??′)=1/?????(??,??), ??′=??/(????+2?????), ??′???0=?????0?/(??20???2????????), ??′=√??0?/(??2???20???2???????????), ??′=???????。在这些变换中，特征波速 ??0 与热弛豫参数 ?? 定义为：??20 =????+2?????/????, ?? =?????????/??。将这些变换代入前一节推导的控制方程后，得到拉普拉斯变换为获得控制生物热行为的耦合偏微分方程组的解析解，采用拉普拉斯变换法。函数 ???(??,??) 的拉普拉斯变换定义为 [63]、[64]：F(x,s)=??{???(??,??)}=∞∫0???(??,??)????????????，其中 ?? 为拉普拉斯变换参数。对无量纲控制方程 (28)、(29)、(30)、(31) 施加拉普拉斯变换并代入方程 (13) 中指定的齐次初始条件后，系统被转化为拉普拉斯域中的常微分方程。拉普拉斯变换的数值反演对于复杂的耦合系统（如控制生物组织生物热行为的系统），其拉普拉斯逆变换的闭式解析表达式往往因存在分数阶导数、指数项以及复杂的耦合参数而在数学上难以处理。因此，采用数值反演技术从拉普拉斯域的解中恢复物理域的解。目前存在多种成熟的数值反演方法。结果与讨论为进行定量分析并验证所提出的数学模型，人体皮肤组织的物理与热性能参数取自已有的实验与理论研究 [35]、[36]、[51]、[52]、[53]。数值模拟中采用的有量纲参数总结如下：相位延迟参数已根据近期关于生物组织非傅里叶热传递的批判性与实验证据予以修正（表 2）。此前采用的数十秒级相位延迟已被替换为更符合近期皮肤类组织实验约束的亚秒级范围。基线热流相位延迟与温度梯度相位延迟分别为 0.25 秒 和 0.10 秒，灵敏度分析限制在 0.05–0.50 秒区间内。主要发现从半解析、参数敏感性、物理信息学习与热安全分析中获得的主要发现总结如下：1. 实验约束下的相位延迟范围。此前采用的数十秒级相位延迟已被替换为符合近期皮肤类组织实验约束的亚秒级范围。基线热流相位延迟与温度梯度相位延迟分别为 0.25 秒 和 0.10 秒，灵敏度分析限制在 0.05–0.50 秒区间内。结论本研究建立了一个分数阶双温度双相位延迟热弹性框架，并结合了有效的电磁焦耳加热模型，用于描述生物组织中的瞬态热传递。该模型为在统一解析框架内研究时间热记忆、传导–热力学非平衡、有限速率热传输、生理热源以及热弹性变形提供了一条共同途径。拉普拉斯域解与数值反演作者贡献声明通讯作者确保所有作者对描述内容的准确性达成一致。在 Dr. Abhinav Singhal 的指导下，作者 Abaker A. Hassaballa、Ghada Moh. Samir Elhessewi 和 Adwan A. Alanazi 完成了概念化、方法学、软件、验证、形式分析、调查、初稿撰写、审稿与编辑以及可视化工作。CRediT 作者贡献声明Abaker A. Hassaballa：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，验证，软件，资源，项目管理，调查。Abhinav Singhal：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，验证，监督，软件，方法学，调查，形式分析，数据整理。Ghada Moh. Samir Elhessewi：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，资源，方法学，调查，资金获取，形式分析，概念化。Adwan A. Alanazi：（贡献信息不完整）资金诺拉公主·本·阿卜杜勒阿齐兹大学研究人员支持项目编号（PNURSP2026R809），沙特阿拉伯利雅得，诺拉公主·本·阿卜杜勒阿齐兹大学。作者感谢沙特阿拉伯阿拉尔北部边界大学科学研究院，通过项目编号“NBU-FPEJ- 2026-1266-04”为本研究提供资金支持。利益冲突声明作者声明不存在任何已知可能影响本文工作的竞争性经济利益或个人关系。致谢诺拉公主·本·阿卜杜勒阿齐兹大学研究人员支持项目编号（PNURSP2026R809），沙特阿拉伯利雅得，诺拉公主·本·阿卜杜勒阿齐兹大学。作者感谢沙特阿拉伯阿拉尔北部边界大学科学研究院，通过项目编号“NBU-FPEJ- 2026-1266-04”为本研究提供资金支持。Abaker A. Hassaballa | Abhinav Singhal | Ghada Moh. Samir Elhessewi | Adwan A. Alanazi