反典范极小模型计划的数值方法

《Advances in Mathematics》：A valuative approach to the anticanonical minimal model program

　　

摘要
在本文中，我们表明潜在小簇型（klt）三元组的对数典范阈值可以由准单项估值计算。作为主要结果的应用，我们表明可以在任何潜在小簇型三元组上运行极小模型纲领（MMP），并在潜在小簇型对上运行 $-(K_X+\Delta)$-MMP。

引言
全文我们在特征零的代数闭域上工作。众所周知，对代数簇奇点几何的透彻理解在极小模型纲领的发展中起到了至关重要的作用；反之，极小模型纲领的进展也极大地加深了我们对奇点的理解。
对数典范阈值是双有理几何奇点理论中的基本不变量。它被定义为一种测量对（pair）奇点的度量，且众所周知，对数典范阈值的行为与代数簇的双有理几何有着深刻的联系。对于对 $(X, \Delta)$ 和理想分级序列 $\mathfrak{a}_\bullet$，对数典范阈值 $lct(X, \Delta, \mathfrak{a}_\bullet)$ 定义为
$$lct(X, \Delta, \mathfrak{a}_\bullet) = \inf_{\nu \in Val_X^*} \frac{A_{X,\Delta}(\nu)}{\nu(\mathfrak{a}_\bullet)}$$
其中下确界取遍 $X$ 上的所有非平凡估值 $\nu$。人们相信 $lct(X, \Delta, \mathfrak{a}_\bullet)$ 由某个准单项估值 $\omega \in Val_X^*$ 计算（弱猜想），而且 $lct(X, \Delta, \mathfrak{a}_\bullet)$ 仅能由准单项估值计算（强猜想）。Xu 在 [29] 中证明了弱猜想成立。关于弱/强猜想的更多细节和背景请参见 [18]。
在本文中，我们证明了一类更广泛对象的对数典范阈值可由准单项估值计算，我们称之为潜在三元组。潜在三元组 $(X, \Delta, D)$ 由一个对 $(X, \Delta)$ 和 $X$ 上的一个伪有效 $R$-Cartier 除子 $D$ 组成。如果 $\inf_E \{A_{X,\Delta}(E) - \sigma_E(D)\} > 0$，则称此类三元组为潜在小簇型（pklt），其中下确界取遍 $X$ 上的所有素除子 $E$。关于对数分歧 $A_{X,\Delta}(E)$ 和渐近除子型估值 $\sigma_E(D)$ 的定义，请参见第 2 节。这些概念提供了一个框架，使我们能够进一步考虑 Birkar-Zhang [5] 关于对和广义对的概念和结果的推广。确实，（广义）对满足的许多性质在潜在三元组中类似地成立，尽管潜在三元组的概念比广义对更一般（参见 [10], [7], [9]）。我们还需要指出，三元组的概念已经以显式或隐式的方式出现在 [18], [29], [30], [31] 等各种情境中，其中研究了与估值理论和 $K$-稳定性相关的对 $(X, \Delta)$ 和分级线性系 $\mathfrak{b}_\bullet$ 的性质。最近，关于 Fano 型簇在潜在三元组方面的一个有趣刻画得以获得 [8]，我们也期望潜在三元组上的极小模型纲领可以为建立 $-K_X$-MMP 提供关键。在 [15, Lemma 3.8] 中，为了研究局部体积，也定义了关于一个对 $(X, \Delta)$ 的大除子 $L$ 的条件，该条件等价于 pklt。关于潜在三元组及相关概念的精确定义，请参见第 2 节。
以下是本文的第一个主要定理。潜在三元组 $(X, \Delta, D)$ 的对数典范阈值定义为
$$lct_\sigma(X, \Delta, D) = \inf_{\nu \in Val_X^*} \frac{A_{X,\Delta}(\nu)}{\nu_\sigma(D)}$$
其中下确界取遍 $X$ 上的所有非平凡估值 $\nu$。关于渐近估值 $\nu_\sigma(D)$ 的定义，请参见 2.4 小节。
**定理 1.1** 设 $(X, \Delta, D)$ 为一个 pklt 三元组。则存在 $X$ 上的一个准单项估值 $\omega$ 计算 $lct_\sigma(X, \Delta, D)$，即 $lct_\sigma(X, \Delta, D) = \frac{A_{X,\Delta}(\omega)}{\omega_\sigma(D)}$。
我们注意到，定理 1.1 将 [29] 的主要结果推广到了 $D$ 不一定大的情况。我们还指出，定理 1.1 对 [24, Question 6.15] 给出了部分肯定的回答。作为定理 1.1 的推论，我们在命题 4.1 中证明，对于给定的 pklt 三元组 $(X, \Delta, D)$，三元组 $(X, \Delta, (1+\epsilon)D)$ 对于充分小的 $\epsilon > 0$ 也是 pklt。进而，这种扰动为我们提供了以下有用的应用。
**定理 1.2** 设 $(X, \Delta, D)$ 为一个 pklt 三元组。则对于任意 $0 < \epsilon \ll 1$，我们可以运行相对于一个丰除子缩放的 $(K_X+\Delta+(1+\epsilon)D)$-MMP。
利用定理 1.2，我们可以轻易获得 [2] 中主要结果的反典范类似物。
**推论 1.3** 设 $(X, \Delta, -(K_X+\Delta))$ 为一个 pklt 三元组。则我们可以运行相对于一个丰除子缩放的 $-(K_X+\Delta)$-MMP。
注意在定理 1.2 和推论 1.3 中，我们可以假设相应的 MMP 最终是一系列翻，其终止性目前仍未知。因此，在曲面情况下，我们获得了 $(X, \Delta)$ 的一个 $-(K_X+\Delta)$-极小模型，因为在维数 2 中没有翻。
**推论 1.4** 设 $(X, \Delta, -(K_X+\Delta))$ 为一个维数 2 的 pklt 三元组。则存在 $(X, \Delta)$ 的一个 $-(K_X+\Delta)$-极小模型。
我们解释定理 1.1 的证明策略。假设给定一个 pklt 三元组 $(X, \Delta, D)$。我们首先表明存在一个估值序列 $\nu_\ell$ 逼近对数典范阈值 $lct_\sigma(X, \Delta, D + \frac{1}{\ell}A)$（意义如下命题 3.15），使得所有 $\nu_\ell$ 的中心重合，记为 $c_X(\nu_\ell) = x$。然后我们表明存在某个 $\delta > 0$ 使得对于所有 $\ell$ 都有 $\nu_\ell(m_x) \geq \delta$。在证明过程中，我们使用了 [13], [24] 中引入的递减乘子理想理论。最后，通过 $\nu \mapsto \nu_\sigma(D)$ 在 $Val_X \leq M := \{\nu \in Val_X \mid A_{X,\Delta}(\nu) \leq M\}$ 上的连续性，对于每个 $M > 0$，我们可以证明存在 $\{\nu_\ell\}$ 的一个收敛子序列，其极限计算 $lct_\sigma(X, \Delta, D)$，并且实际上是一个准单项估值。
本文其余部分组织如下。在第 2 节中，我们回顾潜在三元组的定义以及相关概念，如 pklt 和 plc 三元组。我们还回顾准单项估值、渐近阶和对数典范阈值的概念。第 3 节致力于收集关于渐近乘子理想的概念和引理。在第 3 节和第 4 节中，我们证明主要结果：定理 1.1 和定理 1.2。

致谢
作者感谢周初宇教授的评论和问题。S. Choi, D. Kim, 和 D.-W. Lee 部分由三星科学技术基金会（项目编号 SSTF-BA2302-03）资助。D. Kim 部分由韩国国家研究基金会（NRF）通过基础科学研究计划（教育部资助，编号 RS-2026-25555589）以及科学技术信息部（编号 RS-2026-25506097）资助。D.-W. Lee 也部分由韩国国家研究基金会（NRF）通过基础科学研究计划（教育部资助，编号 RS-2023-00237440 和 2021R1A6A1A10039823）资助，并得到韩国高等研究院个人资助（MG111201）的支持。作者感谢匿名审稿人提出的深思熟虑的评论和建议。

章节摘要
预备知识
在本文中，我们在特征零的代数闭域 $K$ 上工作，例如复数域 $\mathbb{C}$。除非另有说明，$K$ 上的簇是有限型的整分离概形。对于正常簇 $X$ 和 $X$ 上的 Cartier 除子 $D$，我们用 $\mathfrak{b}(|D|)$ 表示 $|D|$ 的基点集的理想。对于闭子概形 $N \subseteq X$，$I_N$ 是 $N$ 对应的 $\mathcal{O}_X$ 的理想层。对于理想 $\mathfrak{a} \subseteq \mathcal{O}_X$，$Z(\mathfrak{a}) \subseteq X$ 是对应于 $\mathfrak{a}$ 的闭子概形。对于概形 $X$ 和 $a$

渐近乘子理想层
在本节中，我们收集关于渐近乘子理想层的预备概念和结果。

主要结果证明
我们在本节中证明主要结果。让我们从证明定理 1.1 开始。
定理 1.1 的证明
证明由四个步骤组成。在第一步中，我们构造一个理想分级序列 $\mathfrak{c}_{\bullet, \ell}$ 来逼近对数典范阈值 $lct_\sigma(X, \Delta, D)$。在第二步中，我们找到一个估值收敛序列 $\{\nu_j\}$，其中每个估值都计算 $lct_\sigma(X, \Delta, \mathfrak{c}_{\bullet, \ell_j})$。在后两个步骤中，我们证明该收敛序列的极限 $\nu_0$ 计算 $lct_\sigma(X, \Delta, D)$。通过表明存在一个准单项

Sung Rak Choi|Sungwook Jang|Donghyeon Kim|Dae-Won Lee