具有非线性终端约束的航天器轨迹优化的双层准线性化方法

《Advances in Space Research》：Two-layer Quasilinearization Method for Spacecraft Trajectory Optimization with Nonlinear Terminal Constraints

　　

摘要

带有非线性终端约束的航天器轨迹优化问题在航空航天工程中十分普遍。本文提出了一种基于两层拟线性化（TQL）的间接方法来求解此类问题。通过对非线性正则方程和非线性终端约束进行同步拟线性化，原始最优控制问题被重构为一系列具有规定边界条件的线性边界值问题。随后，基于叠加原理和线性系统齐次性的状态分解技术将每个线性边界值问题转化为一个非齐次初值问题和一组齐次初值问题。利用它们的解递归地更新缺失的初始条件，直到满足校正判据，之后独立评估非线性终端约束残差。该方法在最大半径轨道转移问题（含两个非线性终端约束）和从低月球轨道到倾斜目标圆轨道流形的三维低推力转移问题（含五个非线性终端约束）上进行了验证。与牛顿打靶法和GPOPS-II的对比表明，在状态、协态、控制量和哈密顿量历程方面具有高度一致性，目标函数值和终端约束残差也相当。在两个算例中，TQL均在五次校正内收敛，且在所报告的测试中所需CPU时间少于两种参考方法。蒙特卡洛模拟进一步表明，TQL在所有测试的初始协态采样范围内均比牛顿打靶法获得更高的收敛率，表明在所考虑的设置下对初始猜测的敏感度降低。

引言

航天器轨迹优化旨在确定满足系统动力学、路径约束、边界条件和任务要求的控制历史及相应轨迹。性能指标可能与燃料消耗、飞行时间、终端精度或其他任务相关量有关。在许多轨迹优化问题中，终端要求不仅限于规定的终端分量，还可以表示为终端状态的非线性函数，例如终端流形约束、相对运动几何约束或轨道注入条件。本文中，此类要求称为非线性终端约束。这些终端要求可以在固定终端时间或自由终端时间的情况下施加。在后一种情况下，可以通过对时间变量进行归一化并将终端时间纳入增广系统来将其转化为等效的固定终端时间形式（Ascher和Russell，1981）。

与仅涉及规定边界条件的最优控制问题（OCPs）相比，带有非线性终端约束的OCPs在数值上更具挑战性，因为终端变量通过非线性代数方程隐式耦合。尽管复杂性增加，但此类问题在航天工程中相当常见，包括航天器临近和环绕飞行操作（Lu，2021；Zhao等，2024）、航天器从低地球轨道脱离（Huang等，2022）以及火箭着陆问题（Sagliano等，2024b）。为求解这些问题，解析解（Shirazi等，2018；Quarta和Mengali，2012；Li等，2015）通常不可获得，因此通常采用数值方法，广义上分为直接法、间接法和混合法。

直接法通过将状态和控制历史参数化或离散化，将连续时间OCP转化为有限维优化问题。这些方法具有通用性，因为复杂的边界和路径约束可以相对系统地纳入所得的优化问题中。代表性方法包括直接配点法和伪谱法（Betts和Erb，2003；Fahroo和Ross，2002；Garg等，2010；Patterson和Rao，2014）。伪谱法特别有吸引力，因为它们在非均匀节点上的高阶近似通常可以用相对较少的离散化点提供精确解。对于合适的伪谱方案，协变量映射定理将转写非线性规划（NLP）问题的拉格朗日乘子映射为离散协态，后者近似连续时间协态。这种联系可用于初始化间接求解器，从而构建直接-间接混合策略（Garg等，2010；Spada等，2023）。然而，直接法通常不保证最优性，也不必然保证满足连续时间最优控制问题。此外，解的质量可能取决于离散化网格和求解器容差（Betts和Erb，2003；Garg等，2010）。

在直接法框架内，基于凸优化的方法，包括二阶锥规划、无损和逐次凸化以及伪谱凸优化，因其计算效率和相对较低的初始猜测依赖性，已被广泛应用于进入制导和动力下降问题（Liu等，2016；Sagliano，2018；Szmuk等，2016）。后续发展将这些方法扩展到气动和可重复使用运载器问题、六自由度动力学以及状态触发约束（Liu，2019；Sagliano等，2021；Reynolds等，2020；Sagliano等，2024a）。然而，非线性等式约束仍然具有挑战性，因为标准凸化形式通常要求等式约束为仿射形式，这促使了专门的处理方法，如逐次凸规划（Wang和Lu，2020；Ma等，2023）和凸凹分解（Lu，2021；Sagliano等，2024b）。

间接法根据庞特里亚金极小值原理（PMP）推导出连续时间状态-协态边界值问题（BVP），可以通过直接执行一阶最优性条件来实现高精度（Pontryagin等，1962；Lawden，1963）。其主要实际困难在于求解过程对未知协态、终端乘子和其他缺失边界数据的初始估计的敏感性。已开发了几种策略来缓解这种敏感性。多重打靶法通过将轨迹划分为较短的段并在段边界处强制连续性来扩大收敛域（Gao和Kluever，2004）。专用初始化过程利用物理关系、简化模型或其他问题特定信息来减小未知协态的搜索空间并生成合适的初始估计（Wang等，2024；Lu和Callan，2023）。继续法和同伦法通过一系列中间问题将更容易求解的辅助问题与目标问题连接起来（Pan等，2023；Nurre和Taheri，2023；Qing和Pan，2024；Qing等，2024）。混合公式将最优控制理论推导的控制律与协态参数的直接优化相结合，从而在保持最优性结构的同时提高数值鲁棒性（Ilgen，1994）。

最近，面向鲁棒性的研究导致了基于平均动力学的间接法（Wu等，2024）、间接逐次凸规划（Liu等，2023）以及纯间接的前向-后向打靶方案（Sidhoum和Oguri，2024）。相关研究还将PMP与微分动态规划相结合，以优化协态并改善对不良初始猜测的鲁棒性（Sidhoum和Oguri，2026）。这些发展旨在将间接法的解析结构与互补的数值机制相结合以提高收敛鲁棒性。尽管如此，改善粗初始猜测下间接迭代的收敛行为仍是本研究的重要动机。

在此背景下，拟线性化提供了求解非线性边界值问题的替代方法。基于牛顿-康托罗维奇定理，Bellman和Kalaba证明了非线性方程可以用一系列线性方程近似（Bellman和Kalaba，1965）。这种方法称为拟线性化方法。在收敛区域内，线性化子问题的解逐步以更高的精度逼近原始非线性问题的解，且在真解邻域内的收敛是二次的。此外，线性化子问题可以使用线性系统方法进行分析求解，从而降低边界值问题的复杂性。与仅校正缺失初始条件的牛顿型打靶法不同，拟线性化在整个时间区间上迭代校正估计解，因此可能提供更好的收敛行为（Na，1979）。这些特性使拟线性化成为轨迹优化的有前景方法。

基于以上考虑，本文提出了一种针对带有非线性终端约束OCP的两层拟线性化（TQL）方法。首先，原始OCP通过庞特里亚金极小值原理转化为由正则方程和相关边界及横截条件组成的非线性BVP。在每次迭代中，非线性正则方程和终端约束关于同一条参考轨迹进行拟线性化，将非线性BVP转化为一系列具有规定边界条件的线性BVP。随后引入状态分解技术，利用叠加原理和线性系统的齐次性将每个线性BVP转化为一组初值问题（IVPs）。缺失的初始条件从IVP解中递归更新，直到满足规定的校正判据。通过这种方式，所提出的方法利用了拟线性化的BVP导向优势，同时保留了间接法的连续时间最优性结构。本研究聚焦于带有非线性终端约束的平滑单弧OCP。涉及活动路径约束、控制界限或多弧结构的问题超出了当前范围。

使用两个轨迹优化算例来检验所提出的方法：最大半径轨道转移问题和从低月球轨道到倾斜目标圆轨道流形的三维低推力转移。本文组织如下：第2节公式化带有非线性终端约束的OCP。第3节介绍TQL方法。第4节提供数值演示和蒙特卡洛模拟。第5节总结全文。

各节选摘

带有非线性终端约束的最优控制问题

考虑受控系统 ?(t)=f[x(t),u(t),t]，x(t?)=x?，其中 x(t)∈?? 和 u(t)∈U 分别为状态向量和控制输入向量，U 表示容许控制集。t? 和 x? 为规定的初始时间和初始状态。f[x(t),u(t),t] 关于 x(t)、u(t) 和 t 具有连续的一阶偏导数。终端状态 x(t_f) 受代数方程 ψ[x(t_f),t_f]=0 约束，ψ:??×?→???，n_ψ≤n，其中 t_f 为固定终端时间，向量函数 ψ[x(t_f),t_f] 具有

正则方程的拟线性化

为以紧凑形式书写公式(6)，定义正则变量 y(t)=[x?(t),λ?(t)]?。在最优控制输入已通过控制最优性条件表示为 t 和 y(t) 的函数并代入状态和协态方程后，定义所得向量函数为 F(t,y)=[f?(x(t),u(t),t),h?(x(t),u(t),λ(t),t)]?。状态和协态方程可写为正则方程 ?(t)=F(t,y(t))，其中 ?(t) 表示 y(t) 的时间导数。

数值演示

所提出的方法使用 MATLAB R2023b（AMD Ryzen 7 5800H CPU，3.20 GHz）实现，用于求解两个轨道优化问题。为评估所提出的 TQL 方法性能，数值结果与牛顿打靶法（NS）（Scheiber，2022）和现成的基于 MATLAB 的转写方法 GPOPS-II（Patterson 和 Rao，2014）获得的结果进行了比较。注意 NS 和 GPOPS-II 仅作为参考方法使用，不是 TQL 求解过程的一部分。ode45

结论

本文开发了一种基于两层拟线性化（TQL）的间接方法，用于解决带有非线性终端约束的航天器最优控制问题。在每次外层迭代中，非线性正则方程和非线性终端约束关于同一条参考轨迹同步进行拟线性化，得到具有规定边界条件的线性边界值问题。通过利用叠加原理，状态分解技术将此……

利益冲突声明

作者声明不存在任何已知的可能影响本文所报告工作的竞争性财务利益或个人关系。

致谢

本研究得到国家自然科学基金（12402053，52272408）和广东省基础与应用基础研究基金（2023B1515120018）的支持。

冯浩阳|王学川|岳晓魁|张金秀|王吉贺|Camilla Colombo