有限元方法?v：基于边界层虚拟元增强的有限元方法

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：FEM?v: FEM enhanced with boundary-layer virtual elements

　　

**•边界局部化VEM在规则体部保留标准FEM。•针对单段和多段边界构型的受控二维切割。•受DtN/Steklov启发的最低阶切割虚拟单元稳定化。•分组向量化边界组装，并量化了计算开销。**

**引言**

在几何复杂区域上对偏微分方程（PDEs）进行精确离散仍然是科学计算中的核心问题 [1], [2]。在经典有限元法（FEM）中，网格通常拟合物理边界，这使得近似、求积和边界条件的施加变得直接简单 [3], [4]。然而，当几何形状复杂、包含尖锐特征或频繁变化时，体拟合网格的生成与修复可能成为计算工作流程中的重要组成部分 [5], [6]。非拟合方法和嵌入方法通过允许物理边界与背景离散相交来避免反复进行体拟合网格划分。代表性方法包括XFEM、虚区域方法和CutFEM [7], [8], [9], [10]。它们的灵活性伴随着众所周知的小切割问题：任意小的有效分数和各向异性切割区域可能影响稳定性、条件数和求积，从而催生了富集、Nitsche公式、幽灵惩罚、聚集或相关稳定化机制等技术 [11], [12], [13], [14], [15], [16]。同时，多边形离散提供了实现几何灵活性的另一条路径 [17], [18], [19]。特别是虚拟单元法（VEM），通过可计算的投影和稳定化，支持一般的多边形和多面体单元，而无需显式的内部基函数 [20], [21], [22], [23]。这对于不规则单元和短边具有吸引力 [24], [25]，但在其他规则网格上全面应用VEM则牺牲了标准FEM实现的部分简洁性 [26], [27]。

本文利用了几何不规则性往往是局部化的这一事实。我们提出FEM?v，该方法在内部保留结构化背景网格作为标准FEM，仅将相交单元的物理部分替换为最低阶符合虚拟单元（见图1）。符号?v强调了虚拟单元的贡献被限制在几何边界层，而非作为FEM的全局替代。因此，该方法既不同于全域多边形离散，也不同于传统的分区FEM-VEM耦合：FEM和VEM区域由同一背景剖分生成，仅由几何诱导的切割层分离。使这种局部化可行需要两个要素。首先，切割程序必须产生受控的多边形族，而非不受限制的切割形状集合。我们使用快速的单段重构处理局部简单切割，在已知角点周围进行局部预处理，并在局部交集中拓扑需要时采用多段重构。其次，VEM稳定化必须在切割产生的小型、细长或短边多边形上保持有效。对于最低阶空间，非多项式部分是调和分量式的，这启发了对其能量的狄利克雷-诺伊曼（DtN）/施泰克洛夫解释 [20], [28], [29]。由此导出了结合几何和刚度依赖缩放的、可计算的边界度量。在标准多边形正则性假设下，该构造在谱意义上等价于核能量。对于更严重的切割，实际修改旨在保持数值鲁棒性，但不声称几何无关常数 [30], [31]。

各个要素与多条已确立的研究路线相关，但在此以不同的局部化目标进行了组合。非拟合FEM和CutFEM在嵌入几何上稳定有限元空间；VEM提供一般多边形离散；FEM-VEM耦合已在独立定义子域或应用专用混合化方面有所考虑 [22], [32], [33], [34]；面向工程的自由切割策略已用于磁学中的形状合成 [35]。最近的切割单元多边形方法（如CutVEM）也处理了小切割鲁棒性，通常通过全局VEM策略、聚集或更广泛的网格修改 [36]。与此同时，DtN/Steklov算子主要在VEM中作为连续谱问题的一部分出现，而非作为标准椭圆切割单元稳定化的设计原则 [31], [37]。

从实用角度看，FEM?v旨在作为一种互补的边界局部化选项，而非现有非拟合方法的普遍替代。当需要规则FEM体部且几何不规则性集中在边界附近时，该方法最为自然。在这种情境下，仅切割多边形需要VEM投影子和稳定化，而体部FEM核和求解器基础设施保持不变。当需要成熟的高阶、三维或更广泛PDE能力时，成熟的CutFEM、浸没式和有限单元型公式可能更为优越；当多边形复杂性分布于整个网格时，全域VEM更为自然。本文公式仅限于最低阶二维问题，需要显式重构切割多边形，且不对任意退化单元声称几何无关条件数。因此，其目标是在最小化对规则FEM体部干扰的前提下实现局部几何灵活性，而非在精度、条件数或运行时间方面的普遍优越性。总之，本文的主要贡献为：•一种边界层FEM-VEM离散方法，在未被切割的背景单元上保留标准FEM，仅在几何诱导的切割多边形上使用VEM；•一种二维切割程序，结合快速单段重构与局部角点预处理和多段处理，同时保持切割单元族的受控；•一种受DtN/Steklov启发的最低阶切割虚拟单元稳定化，配合几何感知的实际缩放和标准多边形正则性假设下的核稳定性分析。本文刻意限于最低阶符合离散和二维对称强制二阶问题。第2节介绍离散要素及其混合化。第3节描述几何构造。第4节发展稳定化，第5节总结实现。第6节报告数值结果，第7节为结论。此外，向量化组装细节和网格统计数据收集于附录A——单元的完整边界加权矩阵、附录B——FEM和边界层VEM的向量化实现。

**PDE求解的FEM与VEM**

我们假设二维线性椭圆边界值PDE的（变分）弱形式可写为：求 $u \in \mathcal{V}$ 使得 $a(u,v) = b(v), \forall v \in \mathcal{V}$，其中 $\mathcal{V}$ 是编码本质边界条件的合适希尔伯特空间（例如，齐次狄利克雷数据对应 $\mathcal{V} = H^1_0(\Omega)$），$a(\cdot,\cdot)$ 在 $\mathcal{V}\times\mathcal{V}$ 上连续且具有强制性，$b(\cdot)$ 在 $\mathcal{V}$ 上连续。全文中，我们不将 $a(\cdot,\cdot)$ 和 $b(\cdot)$ 特化为某个特定的PDE，仅假设在Lax-Milgram框架内的标准适定性条件 [3], [38]。

**几何切割工作流程概述**

切割阶段将隐式描述的物理区域转化为混合网格，同时保持规则背景单元不变。工作流程为：(i) 表示和分类背景单元，(ii) 当局部交集拓扑简单时使用快速单段重构，(iii) 仅在局部切割更为复杂时调用局部角点预处理和/或多段重构。输出为受控的多边形边界层，与...

**边界层虚拟单元的稳定化**

切割程序仅产生少量的多边形拓扑类型，但其几何仍可能不利：可能出现细长条、小的保留区域和短边。VEM一致性项在此类单元上仍可计算，而非多项式分量则必须由稳定化来控制 [25], [27]。以下分析针对满足标准正则性假设的多边形上的最低阶符合VEM。随后的几何感知修改是实际...

**FEM?v完整实现工作流程**

算法3将几何和代数阶段收集为一个端到端的实现。几何切割仅对预设的背景网格执行一次，标准FEM贡献在所有未被切割的内部单元上向量化组装，切割多边形按顶点数分组后批量计算VEM核。两部分贡献合并为一个稀疏系统，然后在...之前应用来自角点细化阶段的可选约束矩阵。

**数值算例**

我们在Poisson方程和小应变线弹性上评估FEM?v，同时使用三角形和四边形结构化背景。所有几何均嵌入归一化背景域 $[0,1]^2$ 中，物理尺寸和材料参数在各个弹性基准中引入。均匀细化参数化为 $h = 2^{-r}$，其中 $r$ 表示报告的细化水平。测试检验收敛性、对切割几何和稳定化的敏感性，以及...

**结论与展望**

我们提出了FEM?v，一种最低阶边界增强离散方法，在规则体部保持标准FEM，仅在几何诱导的切割多边形上使用符合VEM。受控的二维切割程序通过单段重构处理局部简单切割，仅在局部拓扑要求时才调用局部角点预处理或多段处理。切割层稳定化受狄利克雷调和能量的DtN/Steklov表示启发，并...

**CRediT作者贡献声明**

**Zhibao Zheng：** 撰写–审阅与编辑，撰写–初稿，可视化，验证，软件，资源，项目管理，方法论，调查，资金获取，形式化分析，概念化。

**Peng Hao：** 撰写–审阅与编辑，可视化，资源，方法论，调查，形式化分析，概念化。

**Udo Nackenhorst：** 撰写–审阅与编辑，资源，项目管理，调查，资金获取，形式化分析。

**利益冲突声明**

作者声明他们没有任何已知的竞争性经济利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

**致谢**

作者感谢德国下萨克森州科学文化部、德国研究基金会（DFG）（资助编号527222589和575372789）以及亚历山大·冯·洪堡基金会。我们感谢Peter Wriggers教授在本文撰写过程中提供的有益讨论和意见。

**Zhibao Zheng | Peng Hao | Udo Nackenhorst**