带有硬边界嵌入和有限元插值的无量纲能量图网络：线弹性和超弹性问题的无监督变分求解框架

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Dimensionless energy graph network with hard boundary embedding and finite element interpolation: Unsupervised variational solution framework for linear elastic and hyperelastic problems

　　

摘要：用于固体力学的神经求解器仍面临损失项平衡、在复杂非结构网格上的表示、本质边界条件的施加以及基于能量优化中的尺度敏感性等挑战。本文提出HiDEG-Net，一种具有硬边界嵌入和有限元插值特性的无量纲能量图网络，用于线性弹性和超弹性边界值问题的无监督变分求解。有限元网格被用作图载体，消息传递神经网络根据节点、边和边界语义特征预测无量纲节点位移自由度。应变、应力和能量密度通过有限元形函数及其导数在单元层面重建，从而避免了网络输出的空间自动微分。本质边界条件通过逐自由度掩码和输出替换来施加，而自然边界条件则通过无量纲总势能中的外势包含在内。引入几何、位移、材料参数、载荷和能量的统一缩放以改善变分优化的条件数。该方法通过网格收敛性测试、冻结交叉网格预测、目标网格与载荷迁移学习、与代表性神经求解器的基准对比、架构敏感性分析以及全因子消融研究进行评估。数值算例包括二维多孔板、三维悬臂梁、二维超弹性多孔试样和三维超弹性Cook膜，结果表明HiDEG-Net在无监督训练下提供的位移、应力和能量预测通常接近有限元参考解。较大偏差主要出现在孔洞附近、固定边界以及强非线性局部区域。消融结果表明，图拓扑、硬边界嵌入和无量纲缩放各自对精度和训练稳定性都有贡献。冻结交叉网格迁移显示存在网格相关的误差退化，而短期无监督微调则改善了目标网格性能。所提框架为在非结构网格上进行固体力学计算提供了几何拓扑感知且尺度一致的神经变分策略。引言：近年来，物理信息神经网络（PINNs）为求解偏微分方程和连续介质力学问题提供了一种新范式。Raissi等人[1]提出的PINN框架将控制方程、初始/边界条件和观测数据嵌入单个损失函数中，使神经网络能够在无显式网格离散化的情况下逼近未知物理场。然而，后续研究表明，PINN训练往往存在梯度不平衡、损失项尺度不匹配和训练刚度等问题，不同的物理约束在优化过程中容易相互竞争，导致收敛缓慢甚至训练失败[2]。经典PINN的核心痛点在于，尽管强形式残差和软边界惩罚项提供了施加物理约束的灵活方式，但同时也引入了多目标损失竞争、高成本自动微分以及条件不良的训练。为缓解强形式残差训练带来的自动微分高成本和优化困难，研究人员提出了各种弱形式、变分、区域分解和训练增强方法。深度Ritz方法[3]将偏微分方程求解重构为能量泛函最小化问题。hp-VPINNs和RVPINNs[4,5]通过使用变分残差、局部区域分解、高阶测试空间和离散对偶范数来改善弱形式训练稳定性。自适应激活函数[6]、局部自适应激活函数[7]、cPINN[8]、PPINN[9]和XPINN[10]等方法从网络表达能力、区域分解策略和并行训练角度提升了PINNs的可优化性。元学习损失设计[11]和物理信息降阶建模[12]进一步增强了参数化非线性问题的损失平衡能力和建模效率。这些方法显著提升了PINNs的训练性能，但在联合训练多个物理约束时，仍可能面临损失权重选择困难、不同约束间梯度尺度不一致以及收敛效率有限等问题。在固体力学领域，PINNs已被扩展到线性弹性、三维固体、弹塑性、超弹性、参数反演和多尺度材料。Haghighat等人[13]提出了固体力学中参数反演和代理建模的PINN框架，并证明了其在线性弹性、弹塑性和材料参数识别中的适用性。Abueidda等人[14]提出了用于三维固体力学的无网格PINN方法，并将其应用于线性弹性和Neo-Hookean超弹性问题。Bai等人[15]提出了用于二维和三维计算固体力学的无量纲最小二乘加权残差损失函数，以缓解物理量间尺度差异导致的训练困难。Henkes等人[16]引入了连续介质微力学PINN框架，并讨论了材料非均匀性、局部化和区域分解对预测精度的影响。这些工作证明了PINNs在固体力学中的适用性，但主要问题在于：应变和应力大多通过自动微分获取，导致训练成本高；在复杂拓扑、局部应力集中、材料不连续和复杂边界附近，采样点的放置显著影响局部场变量的精度和优化稳定性；多损失冲突未得到充分解决。处理复杂几何和边界条件是神经求解器在固体力学工程应用中的关键。Finite-PINN[17]、EPINN[18]、UPINN[19]、FE-PINN[20]、FEINN[21]和参数化扩展PINN[22]从有限几何编码、精确Dirichlet条件、统一边界施加和复杂混合边界处理等方面提升了PINNs的适用性。然而，这些方法通常依赖距离函数、几何映射、构造函数或惩罚因子，使其问题依赖性强。当边界条件仍以惩罚项、边界残差或附加约束的形式进入损失函数时，优化目标不可避免地会与强形式/弱形式残差或能量泛函项竞争。深度能量方法基于最小势能原理，为固体静力学问题提供了更自然的物理约束形式。深度能量方法[23]使用力学系统的总势能作为神经网络的训练目标，使网络通过能量最小化获得平衡解。后续工作将其扩展到有限变形超弹性[24]、应变梯度弹性[25]、混合变量超弹性[26]、简单超弹性和粘弹性材料问题[27]、相场断裂[28]以及弹塑性分析[29]。基于能量的方法的优势在于，它们用势能最小化替代强形式残差，并通过外势能项自然地将自然边界条件纳入目标函数。然而，大多数现有DEM仍使用基于坐标的网络和域内配置点来计算能量；配置点缺乏由单元拓扑和邻接关系建立的结构连接，导致的是孤立的逐点物理约束，而非单元和全局水平上一致的离散力学约束。此外，能量泛函中的材料参数、几何尺寸和载荷量级往往存在显著不同的尺度；在没有系统无量纲处理的情况下，训练过程仍对问题尺度高度敏感。另一方面，图神经网络（GNNs）为在非结构离散域上学习提供了自然工具。在MeshGraphNets框架中，图结构可以有效表示节点、边、单元和局部邻域关系[30,31]。基于图的变分求解器最近在计算力学中得到了探索。He等人[32]将图卷积网络与深度能量方法相结合，并引入了基于形函数的梯度评估用于线性和超弹性变形问题，实现了在不规则域上的能量最小化而无需重复的空间自动微分。Gao等人[33]开发了物理信息图神经Galerkin网络，将图消息传递与Galerkin变分公式相结合用于非结构离散化上的正向和逆向偏微分方程问题。这些研究共同突显了基于图的物理信息求解器在拓扑感知学习、有限元型梯度重建、无监督变分训练和强施加边界条件方面的关键进展。在固体力学中，物理信息GNNs[34]和基于神经算子的力学求解器[35]进一步证明了图网络与最小势能原理和强或弱物理约束相结合的潜力。总体而言，图结构学习与离散变分思想的结合正在为固体力学中的神经求解器开辟新的可能性，从连续坐标场逼近转向离散拓扑感知求解。综上所述，现有固体力学神经求解器在PINNs、变分PINNs、DEM、硬边界施加和基于GNN的力学建模等方面取得了显著进展。然而，以下不足仍然存在：大多数模型采样连续坐标场且缺乏拓扑感知；多个损失项导致条件不良的训练和损失竞争；应变、应力和能量密度通常通过自动微分获取或依赖采样点的先验数据；边界条件往往依赖惩罚项、距离函数或问题特定构造，而非直接嵌入；基于能量的训练缺乏系统无量纲处理，易受材料参数、几何尺度和载荷量级的影响。本工作基于现有基于图的变分和能量方法，开发了一种具有显式节点级硬边界嵌入的无量纲有限元插值图能量公式。HiDEG-Net使用有限元网格作为图载体，通过消息传递预测无量纲节点位移自由度，使用有限元形函数重建单元级应变、应力和能量密度，并在无需求位移、应变或应力标注数据的情况下最小化无量纲总势能。因此，其贡献不在于引入另一种图网络和变分力学的通用组合，而在于构建一个网格原生、尺度一致和运动学相容的神经偏微分方程求解器。HiDEG-Net并非旨在替代一次性高精度分析中的有限元方法。其主要工程范围包括通过低成本交叉网格适配进行初步网格收敛筛选、施加边界载荷变化后的高效修正，以及可潜在复用已训练参数的相关二维和三维超弹性问题的近似求解。有限元方法仍是最终高保真验证的首选方法。本工作的主要贡献总结如下。1. 为固体力学开发了一种无量纲基于图的总势能公式。将特征长度、应力、应变、位移、载荷和能量尺度引入离散能量泛函，使优化目标在不同几何、材料和载荷水平下具有更均衡的数值量级。2. 构建了一种有限元插值图能量求解器，其中图神经网络预测节点无量纲位移自由度，单元级应变、应力和能量密度使用有限元形函数及其导数重建。该公式因此避免了能量组装过程中网络输出的空间自动微分。3. 为本质边界条件引入了一种节点级硬边界嵌入策略。通过自由度掩码和输出替换施加规定位移分量，将网络输出约束在容许位移空间内并避免额外的Dirichlet惩罚项。4. 通过受控消融研究检验了图拓扑、硬边界嵌入和无量纲缩放的影响。对比在同一几何、网格、材料参数、边界条件、优化器设置和有限元参考解下进行，以隔离各组件的作用。5. 在二维和三维线性弹性算例、多孔结构和超弹性算例上评估了所提公式。提供了与代表性神经求解器（包括GCN-DEM、PI-GGN、FE-PINN和FEINN）的对比，以阐明方法的精度、能量一致性和计算特征。因此，HiDEG-Net统一了GNN的拓扑表达能力、有限元的离散变分结构和能量方法的物理一致性，为复杂固体力学问题提供了一个结构化良好、严格边界施加、尺度稳定、适定且可扩展的无监督神经求解框架。章节片段：最小势能方法的一般形式。固体力学中边界值问题的核心在于确定给定几何域、边界约束、外部载荷和材料本构关系下系统的真实变形状态。与基于局部平衡方程的传统强形式方法相比，变分原理提供了更通用且统一的框架，更适合数值逼近和优化：对于保守系统，真实位移场为HiDEG-Net的整体工作流程。基于最小势能原理，HiDEG-Net被构建为固体力学中的一种基于网格的图能量求解器。有限元网格被视为离散图，图消息传递神经网络预测无量纲节点位移自由度。单元级运动学和能量量通过有限元插值重建，网络通过最小化无量纲离散总势能进行训练。模型验证与数值算例分析。本研究基于PyTorch和PyTorch Geometric（PyG）库实现了HiDEG-Net算法。所有数值算例均在配备单块NVIDIA GeForce RTX 4090D GPU和AMD Ryzen 9 9950X CPU的工作站上训练和测试。

为验证所提出方法在不同问题类型、离散化尺度及网络架构设置下的有效性，本工作依次进行了离散化尺度收敛分析、模型架构敏感性分析。本文结论：本工作开发了 HiDEG-Net，作为一种用于固体力学边界值问题的无监督神经网络 PDE 求解器。其具体贡献在于将无量纲总势能最小化、非结构化有限元网格的图表示、基于有限元的场重构以及节点级硬边界嵌入整合于一个统一的变分框架之中。所得神经解具有网格原生性、尺度一致性和运动学适定性，且无需

作者贡献声明（CRediT）：刘顺：撰写——初稿、可视化、验证、软件、资源、方法论、调查研究、形式化分析、数据整理、概念构思。强洪甫：撰写——审阅与编辑、监督、资源、项目管理、资金获取、概念构思。耿婷静：软件、资源、调查研究、形式化分析。王学仁：监督、资源、项目管理、资金获取。裴淑迪：可视化、验证、方法论。Ju 忻：（未详述）。

作者列表：刘顺 | 强洪甫 | 耿婷静 | 王学仁 | 裴淑迪 | Ju 忻