Bakhvalov网格上求解对流扩散问题的高阶参数一致缺陷修正方法

《Mathematics and Computers in Simulation》：A higher-order parameter-uniform defect correction method for convection-diffusion problems on the Bakhvalov mesh

　　

摘要 我们提出了一种针对Bakhvalov网格上的一维奇异摄动对流-扩散问题专门设计的缺陷校正方法。该方法在线性求解中使用单调迎风离散化，并通过校正步骤中的残差评估引入高阶信息，采用一种在网格过渡点附近进行特殊处理的非稳定中心格式。我们的方法直接受到Gracia和O'Riordan（Num. Alg. (2006) 41:359–385）提出的混合缺陷校正方法的启发。在Bakhvalov网格上，我们证明该方法在离散最大范数下具有二阶收敛性，且关于摄动参数ε一致。对于已知精确解的问题以及通过双网格原理评估的问题的数值结果，证实了所预测的参数一致二阶行为。

引言 本文考虑如下形式的一维对流-扩散边界值问题：Lu ? -εu''(x) - b(x)u'(x) + c(x)u(x) = f(x), x ∈ Ω ? (0,1), 满足边界条件 u(0) = u(1) = 0。全文假设 0 < ε ≤ ε* ≤ 1，且系数满足 b, c, f ∈ C?[0,1], b(x) ≥ β > 0, c(x) ≥ γ > 0 对所有 x ∈ Ω 成立。在这些条件下，问题(1)存在唯一解 u ∈ C?(Ω)，并且在 x = 0 处具有左边界层，参见[1]、[2]。

一般而言，像(1)这样的奇异摄动对流-扩散问题通常表现出薄边界层，其中解的变化尺度远小于规则部分的尺度。众所周知，在均匀网格上的标准离散化通常无法关于摄动参数ε一致地解析这些边界层。为完全解析边界层，一种常见的数值处理方法是在层适应网格上采用稳定离散化以获得参数鲁棒方法。Shishkin类型[3]、[4]、[5]或Bakhvalov类型[6]、[7]、[8]的层拟合网格是该领域中最常用的。关于网格构造和参数鲁棒方法分析的全面阐述，读者可参阅专著[1]、[2]、[9]。

即使使用层适应网格，与反应-扩散问题相比，对流-扩散问题(1)在数值求解上仍较为困难。例如，应用于反应-扩散问题的中心差分格式在Shishkin[10]和Bakhvalov[11]网格上分别几乎具有二阶 O(N?2ln2N) 和二阶 O(N?2) 收敛性，关于ε一致，其中N表示离散化网格参数。相比之下，在对流主导问题的情况下，b(x)u' 项的中心离散化是不稳定的，计算解中会出现振荡[12]。一种自然的修复方法是使用单调迎风离散化，该方法鲁棒且稳定，但通常仅为二阶精度（例如参见[3]在Shishkin网格上或[7]、[13]在Bakhvalov网格上的讨论）。

缺陷校正方法提供了一种在不放弃基础格式单调性性质的前提下提高精度的自然机制。在此类方法中，先求解一个稳定的低阶离散问题，然后通过高阶但不稳定的格式计算校正项；参见缺陷校正的经典著作[14]、[15]。对于拟合网格上的奇异摄动问题，这一思想已在多次尝试中成功应用[16]、[17]、[18]、[19]、[20]，但由于缺陷校正分析本身的困难性——即使对于一维对流-扩散问题也是如此，如[18]所述——主要集中于Shishkin类型网格。本文在[18]中，Gracia和O'Riordan提出了一种混合迎风-中心单调格式作为基础，并通过另一个在Shishkin网格过渡点处具有特殊处理的混合校正格式进行校正。该变体的目标在于简化缺陷校正技术的分析，即使是针对分段均匀的Shishkin网格也是如此。

遵循Gracia和O'Riordan[18]的方法以及Lin?[1, §4.3.3]对层适应网格上缺陷校正方法的开创性分析，我们为Bakhvalov网格设计了一种特殊的缺陷校正算法。我们的方法采用迎风离散化作为基础，并通过一种混合Bakhvalov定制化校正格式进行校正，该格式将[18]中使用的不稳定中心离散化与Bakhvalov过渡点α附近的迎风离散化相结合。Bakhvalov网格设置中的主要难点在于α周围的网格过渡区域。在远离过渡点的地方，中心算子具有预期的更高阶截断结构，但当它直接应用于Bakhvalov界面处网格宽度的突变时，会产生不利的局部贡献。鉴于此，设J-1和J为满足 x_{J-1} < α ≤ x_J 的网格点索引，我们的混合校正算子的初步形式为 (L_hyb^W)_i = (LU^W)_i, i ∈ {J-1, J}, (LC^W)_i, i ? {J-1, J}，即在远离过渡对的区域使用中心算子LC，并在过渡点周围恰好两个节点上恢复迎风算子LU。

这种混合选择有两个优势。首先，它在源头消除了过渡缺陷，因为算子差 (L_hyb - LU)W 在过渡对上恒为零。其次，它导出了一个更简洁的第二阶段误差方程：过渡贡献被简化为两个局部迎风截断项，而全局部分则由中心截断误差和算子差处理。注意，本文的贡献是针对Bakhvalov网格的新缺陷校正方法的特殊设计与分析，其中过渡点α是隐式定义的，这基于[18]中为Shishkin网格提出的特殊变体。这是因为在[21]中，基于等分布原则[1, Chapter 2]的广义网格上引入了标准缺陷校正方法，这也隐含了Bakhvalov网格上的二阶一致收敛（参见[1, §4.3.3]）。

本文提出的缺陷校正方法在两个关键方面推进了该领域的发展。首先，虽然针对对流类型问题(1)已存在若干二阶格式——例如Andreev和Kopteva[22]的单调三点有限差分格式、Nhan和Vulanovi?[23]的中心近似与中点离散化组合方法，以及Clavero等人[24]应用的HODIE技术——我们证明可以设计一种新型混合校正格式，有别于[17]、[21]中研究的传统方法。其次，我们的方法为Bakhvalov网格的三阶方法——此前尚未实现——提供了重要步骤。例如，虽然[5]中的有限差分格式在分段均匀Shishkin网格上几乎具有三阶精度，但由于网格复杂性，它在指数分级Bakhvalov网格上存在不稳定性问题。通过利用缺陷校正原理，我们的格式克服了高阶公式的不稳定性，同时将低阶基础格式提升至三阶精度[25]。

本文其余部分组织如下：第2节介绍解的分解和Bakhvalov网格。第3节定义离散算子并详细说明基于混合目标算子构建的两阶段校正迎风格式。第4节给出理论误差分析，并证明参数一致二阶收敛估计。最后，第5节报告验证我们理论发现的数值结果。

2 解的分解与Bakhvalov网格

首先，我们回顾[1]中给出的解u的分解。

引理2.1 精确解u具有分解 u = s + y，其中s是规则分量，y是层分量，满足 Ls = f 和 Ly = 0 在(0,1)上成立，且 |s???(x)| ≤ C, x ∈ [0,1], k = 0,1,2,3,4，以及 |y???(x)| ≤ Cε??e^{-βx/ε}, x ∈ [0,1], k = 0,1,2,3,4。

此处及下文，C表示与ε和N无关的泛常正常数。

证明 详细推导请参见[2, Chapter III]和[1, Chapter 2]。□

为描述Bakhvalov网格构造，我们遵循

3 离散算子与混合缺陷校正格式

定义在Ω?_N ? {x_i}_{i=0}^N 上的网格函数记为 W = (W_0, W_1, ..., W_N)^T。对于连续函数g，我们写 g_i ? g(x_i) 和 g_N ? (g_0, g_1, ..., g_N)^T。我们使用最大范数 ‖W‖_∞ ? max_{0≤i≤N} |W_i|。

对于 i = 1, 2, ..., N-1，定义 (D?W)_i ? (W_{i+1} - W_i)/h_{i+1}, (D?W)_i ? (W_i - W_{i-1})/h_i，以及 (δ2W)_i ? 2h_i/(h_i + h_{i+1}) W_{i+1} - (W_i/h_{i+1} - W_{i-1})/h_i。

我们还定义非均匀中心一阶差分算子 (D?W)_i ? h_i/(h_i + h_{i+1}) · (h_i + h_{i+1}) W_{i+1} + (h_{i+1} - h_i)/(h_i h_{i+1}) W_i - h_{i+1}/(h_i(h_i + h_{i+1})) W_{i-1}。

最后，设 h?_i ? (h_i + h_{i+1})/2, i = 1, 2, ..., N-1。

4 第一阶段误差分析

我们在此简要介绍使用屏障函数方法[7]在Bakhvalov网格上迎风算子的误差分析，该方法最初针对最简单的Bakhvalov类型网格提出。设 E?1? ? U?1? - u_N。

则 (LU E?1?)_i = -τ_i^up[u], i = 1, 2, ..., N-1，其中 τ_i^up[g] ? (LU g_N)_i - (Lg)(x_i)。

引理4.1 若 g ∈ C3[0,1]，则 |τ_i^up[g]| ≤ Cεh_{i+1} ‖g?3?‖_{[x_{i-1}, x_{i+1}]} + h_{i+1} ‖g?2?‖_{[x_i, x_{i+1}]}。

证明 对g(x_i ± 1)关于x_i展开得 g(x_{i+1}) = g(x_i) + h_{i+1} g'(x_i) + h_{i+1}2/2 g''(x_i) + h_{i+1}3/6 g?3?(ξ_{i,+}), g(x_{i-1}) = g(x_i) - h_i g'(x_i) + h_i2/2 g''(x_i) - h_i3/6 g?3?(ξ_{i,-})，对适当的...

5 数值实验

本节报告所提方法的计算数值结果。在整个实验中，我们使用Bakhvalov网格(4)–(6)，取q = 12, a = 3。对于每对(ε, N)，我们计算第一阶段解U?1?，然后求解校正问题(26)，最后令U?2? = U?1? + C?1?。我们计算误差为 E_εN ? max_{0≤i≤N} |u(x_i) - U_i^{(2),N}|，以及数值收敛率 r_εN ? log?(E_εN/E_ε2N)。当精确解未知时，我们使用双网格原理[9] D_εN ? max_{0≤i≤N} |U_i^{(2),N} - U_{2i}^{(2),2...

6 结论

我们提出并分析了一种受[18]启发的两阶段缺陷校正方法，针对Bakhvalov网格上的一维奇异摄动对流-扩散问题。该方法在两个线性求解中都保留了单调迎风算子，并仅通过校正步骤中的残差评估引入高阶信息，采用非稳定中心算子和迎风算子。这一主要结构要素构成了混合目标算子L_hyb，该算子与...

CRediT作者贡献声明

Vinh Quang Mai: 写作 – 审阅与编辑，写作 – 原创草稿，验证，方法论，形式分析，概念化。Thái Anh Nhan: 写作 – 审阅与编辑，写作 – 原创草稿，验证，监督，项目管理，方法论，调查，形式分析，概念化。

未引用参考文献 [29]

致谢

T.A.N.的工作部分由美国能源部科学办公室、教师与科学家劳动力发展办公室（WDTS）的访问教授计划（VFP）支持。

Vinh Quang Mai | Thái Anh Nhan