随机微分代数方程保结构随机θ方法的弱收敛阶

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Weak convergence order of structure-preserving stochastic theta methods for stochastic differential algebraic equations

　　

摘要

本文研究了一类具有时变奇异矩阵的指标1随机微分代数方程的约束保持随机θ方法的弱收敛阶。奇异矩阵允许随时间变化，但保持固定的微分-代数分解，从而扩展了常数奇异矩阵的情形，同时保留了约束保持所需的投影子结构。通过利用精确解的指标1代数-微分分解，我们建立了约束保持一步逼近的抽象弱收敛定理，并将其应用于θ∈(0,1]的随机θ方法。在全局Lipschitz、线性增长和适当光滑性假设下，证明了所考虑的方法是适定的，在所有时间层级保持代数约束，并且以弱一阶收敛。最后给出了数值实验，说明了约束保持在给定非线性求解器容差下的表现以及理论收敛阶。

引言

随机微分方程（SDEs）为描述受随机扰动影响的动态系统提供了基本的数学框架。然而，在许多应用中，状态变量并非自由地在环境状态空间中演化，而是受到由守恒律、平衡关系、电路定律或几何约束产生的代数约束的限制；参见例如[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]。此类系统自然地由随机微分代数方程（SDAEs）描述，其中随机微分动力学与代数约束在单一公式中耦合[3], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15]。大多数现有的SDAEs理论和数值研究基于常数奇异矩阵设定，其中微分和代数子空间是固定的，相关的投影子是时间无关的[7], [16]。在更一般的模型中，奇异矩阵本身可能依赖于时间，反映了时变参数或变化的物理系数。这种依赖性也可能导致时间相关的微分和代数子空间，使得分析变得更为微妙；参见例如[8], [11], [13], [14], [15]。

在本文中，我们关注一个中间但非平凡的情形：奇异矩阵允许随时间变化，而微分-代数分解保持固定。微分-代数模型自然地出现在电力系统和电路中[3], [7], [17], [18]。特别是，[19, Section 7.1]中的电路模型具有时变的电容和电感系数，而其奇异导数系数矩阵允许一个具有时间无关正交因子的奇异值分解。受此矩阵结构的启发，我们假设At = MΣtN，其中M和N是时间无关的正交矩阵，Σt是对角矩阵且具有常数秩。更精确地说，我们考虑以下SDAE：

At dXt = F(t, Xt)dt + G(t, Xt)dWt, t ∈ (0, T]

具有确定性初值X0 ∈ Rd。这里{Wt}t ∈ [0,T] 是定义在完备滤测概率空间(Ω, F, P, {Ft}t∈[0,T])上的m维标准布朗运动，其中滤波{Ft}t∈[0,T]满足通常条件。系数F: [0,T]×Rd→Rd和G: [0,T]×Rd→Rd×m是给定的函数，矩阵At ∈ Rd×d 对每个t ∈ [0, T]都是奇异的。At的奇异性导致了代数约束的出现，并将(1.1)与标准的无约束SDEs区分开来。全文中，(1.1)被假设为指标1 SDAE，即扩散与代数约束相容，且代数变量由微分变量全局唯一确定；参见例如[7], [11]。

由于SDAEs的显式解通常不可得，数值逼近对于其模拟和分析是必不可少的。然而，与标准的无约束SDEs相比，SDAEs的数值方法还必须尊重潜在的代数约束；参见例如[20]。一种离散化如果逼近了微分动力学但未能保持代数约束集，可能产生物理上或结构上不一致的数值解。对于具有常数奇异矩阵的SDAEs，在全局Lipschitz或相关假设下，已发展了多种数值方法和收敛结果[7], [21], [22], [23], [24], [25]。相比之下，具有时变奇异矩阵的SDAEs的数值分析发展较少，现有结果主要关注路径或强收敛；参见例如[8], [13], [14], [15]。然而，在许多应用中，感兴趣的量是统计观测量，如响应泛函的期望。它们的精确逼近需要弱收敛分析，这关注的是试验函数的期望中的误差；参见例如[26], [27], [28], [29], [30]。据我们所知，对于具有时变奇异矩阵的SDAEs的结构保持方法的系统性弱收敛分析尚未建立，这激发了本研究。

给定均匀步长h = T/N, N ∈ N和网格tn := nh, n = 0, 1, ?, N，对于每个θ ∈ (0, 1]应用于(1.1)的随机θ方法为：

{AtYn+1 = AtYn + h((1?θ)F(tn, Yn) + θF(tn+1, Yn+1)) + G(tn, Yn)ΔWn,
Y0 = X0

对n = 0, 1, ?, N?1，其中Yn表示Xtn的数值近似，ΔWn := Wtn+1 ? Wtn。此处不考虑显式情形θ = 0，因为Atn的奇异性阻止了显式更新唯一确定Yn+1的代数分量，且新时间约束不会被自动强制。因此，θ > 0的隐式贡献对于适定性和约束保持都是必要的。我们分析的核心要素是指标1的代数-微分分解。在连续层面上，精确解可以写成Xt = Ut + V^(t, Ut)，其中V^是代数重构映射，微分量Ut = PXt满足一个降阶SDE。然而在离散层面上，我们并不直接离散化降阶SDE。相反，随机θ方法在原SDAE层面表述，我们从中提取其微分量所诱导的一步动力学。这一观点将SDAE层面离散化的约束保持性质与所诱导的微分近似的弱误差分析联系起来。

由于Atn是奇异的，隐式更新的可解性和代数约束的保持不是自动的。我们通过使用固定的投影子结构和代数重构映射来证明这些性质。更精确地说，SDAE层面的更新被简化为微分量un+1 = PYn+1的不动点问题，然后代数分量恢复为V^(tn+1, un+1)。这为足够小的步长给出了唯一的自适应数值解，并确保Yn ∈ Mtn在所有时间层级成立；参见命题3.1。为了建立弱收敛阶，我们引入与降阶SDE相关的反向Kolmogorov函数，并证明了约束保持一步逼近的抽象弱收敛定理。这将全局弱误差分析简化为所诱导微分量的一步弱局部误差估计。对于随机θ方法(1.2)，通过在该精确降阶流和所诱导微分一步更新之间插入一个冻结Euler参考步来获得此局部估计。所得误差被分解为冻结Euler步的标准弱展开误差和由隐式修正引起的贡献。前者通过布朗增量展开来控制，而后者利用Kolmogorov函数的正则性和适当的增量估计来估计。将此局部估计与数值解的矩界相结合，给出了弱一阶收敛，如定理3.2所述，即

|E[φ(XT)] ? E[φ(YN)]| ≤ Ch

对具有多项式增长的充分光滑试验函数φ: Rd → R成立。

本文的主要贡献总结如下。首先，我们建立了指标1 SDAEs约束保持一步逼近的抽象弱收敛定理。该结果将全局弱收敛分析与所诱导微分量的一步弱局部误差估计的验证分离开来。其次，我们证明了θ ∈ (0, 1]的随机θ方法对足够小的步长是适定的，并在所有时间层级保持代数约束集。第三，通过结合Kolmogorov函数方法、冻结Euler参考步和隐式修正估计，我们验证了所需的局部弱误差界，并获得了随机θ方法的弱一阶收敛。本文的其余部分组织如下。第2节介绍了指标1 SDAE设定、代数重构映射和微分量的降阶SDE。在第3节中，我们发展了弱收敛框架并为随机θ方法验证了其假设。最后，第4节给出了数值实验，说明了约束保持性质和弱收敛阶。

第2节 指标1 SDAE设定与降阶SDE

本节引入指标1 SDAEs (1.1)的结构假设，并推导微分量相关的降阶动力学。代数-微分分解遵循现有指标1 SDAE文献中的标准框架；参见例如[7], [11]。此外，我们给出了时变矩阵族、代数重构映射和降阶系数的若干估计，这些估计是所提出方法弱收敛分析所必需的。

第3节 随机θ方法的弱收敛阶

本节证明随机θ方法的弱收敛阶。我们首先建立了指标1 SDAEs (1.1)约束保持一步逼近的抽象弱收敛定理。它将全局弱误差估计简化为所诱导微分量的一步弱局部误差估计，连同数值解的适当矩界。然后我们为所考虑的方法验证这些条件。

第4节 数值实验

本节考察两个SDAEs的约束残差和弱收敛。在每一步中，我们使用残差求解随机θ更新(1.2)：

Rn(y) = Atn y ? AtYn ? h((1?θ)F(tn, Yn) + θF(tn+1, y)) ? G(tn, Yn)ΔWn, y ∈ Rd

实现将Rn的微分行与新时间代数约束结合起来：

Hn(y) = (Rn(y))diff + c(tn+1, y) = 0

其中c(t, y)是每个例子中RF(t, y)的标量代数行。Newton迭代从Yn出发，使用解析雅可比矩阵，并在‖Hn(y)‖∞ ≤ 10?5时停止。

结论与未来工作

在本文中，我们研究了具有时变奇异矩阵和固定微分-代数分解的指标1 SDAEs的结构保持随机θ方法的弱收敛。基于代数-微分分解，我们建立了抽象弱收敛框架，并证明了θ ∈ (0, 1]的随机θ方法是适定的、保持代数约束的，并以弱一阶收敛。数值实验表明，代数

CRediT作者贡献声明

蔡源 朱：原创草稿撰写、调查研究。
智恒 陈：审校与编辑、监督。
林 陈：审校与编辑。
意薇 周：审校与编辑。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

蔡源 朱 | 智恒 陈 | 林 陈 | 意薇 周

云南大学数学与统计学院，昆明，云南，650500，中国