用于三维外部声学问题的虚拟边界积分神经网络

《Computers & Mathematics with Applications》：Virtual boundary integral neural network for three-dimensional exterior acoustic problems

　　

**摘要** 本文提出了一种用于三维外声问题的虚拟边界积分神经网络（VBINN）。该方法在散射体或振动体内部引入一个虚拟边界，并使用神经网络表示与之相关的源密度。基于声学格林函数，该表示满足Sommerfeld辐射条件，并能够在任意场点直接评估声压及其法向导数。由于积分面与物理边界分离，该方法避免了传统边界积分学习方法中奇异和近奇异核的计算问题。为降低对虚拟边界位置设置的敏感性，虚拟边界的几何参数与源密度在训练过程中联合优化。针对声散射、多体相互作用和水下声传播的数值算例表明，该方法与解析解及COMSOL结果吻合良好，Burton-Miller扩展进一步改善了特征频率附近的稳定性。这些结果表明VBINN在三维外声分析中具有应用潜力。

**引言** 三维声辐射与散射问题在许多工程应用中具有重要意义，包括噪声控制、声学设计和水下声学[1]。其数值求解具有挑战性，因为它们通常涉及复杂几何形状和无界域，且声场必须在无穷远处满足Sommerfeld辐射条件。传统的域基方法，如有限元法（FEM）和有限差分法（FDM），被广泛用于声学分析，并在有界域问题中表现出强大的性能[[2], [3], [4], [5]]。然而，对于外声问题，这些方法通常需要截断无界域并引入人工边界处理，如吸收边界或完美匹配层。这些附加处理不可避免地使网格生成复杂化并增加计算成本[[6], [7], [8]]。

近年来，物理信息神经网络（PINNs）及相关科学机器学习方法为求解偏微分方程提供了一种新的无网格框架[[9], [10], [11], [12]]。通过将控制方程和边界条件嵌入损失函数，这些方法为正问题和逆问题均提供了灵活性[[13], [14], [15]]。最新的发展通过自适应损失加权等策略进一步增强了对强耦合非线性系统的PINN性能[16]。然而，传统PINN在外声应用中仍面临重要困难[17,18]。它们通常需要在计算域内布置大量配点[19,20]，导致训练昂贵且不稳定。在三维情况下，这一问题更为严重。更重要的是，传统PINN并不能自然地满足远场辐射条件。因此，通常需要额外的截断边界或专门设计的损失项，这可能降低效率并引入额外的近似误差。

鉴于此，边界积分方程（BIE）方法[[21], [22], [23]]在声辐射和散射问题中尤为引人注目[24]。通过使用格林函数，这些方法将域问题转化为边界积分形式，将问题维数降低一维，并自然地满足外域中的控制方程和辐射条件。这些优势促使了将BIE与深度学习相结合的最新努力[25]。已提出了多种基于边界积分的神经网络模型和边界算子网络[26]。这些模型已应用于声辐射和散射，并推广到更一般的偏微分方程问题[27,28]。示例包括边界积分神经网络[29,30]、PIBI-Nets[31]以及其他相关的基于边界的学习框架。

尽管取得了这些进展，奇异积分仍是基于边界积分的神经网络方法中的主要困难。当源点接近物理边界时，格林函数核变为奇异或近奇异，因此精确处理通常需要专门的数值积分或正则化[[32], [33], [34]]。这既增加了实现复杂度，也增加了训练成本[35]。一种可能避免此问题的方法是将源点放置在远离物理边界的虚拟边界上，如基本解法和虚拟边界元法[36,37]。辅助神经网络的基本解法也得到了研究，其中源点的位置或分布通过基于学习的过程确定[38,39]。这样，核在源点和边界点不重合处进行计算。然而，此类方法对虚拟边界的设置非常敏感：边界放置得离物理边界太近仍可能导致近奇异核，而放置得过远则会使所得系统严重病态[40,41]。在大多数现有方法中，虚拟边界是通过经验性试错选择的。一种鲁棒且自适应的选择机制仍然缺乏。

为解决这些问题，本文提出了一种虚拟边界积分神经网络（VBINN）。VBINN不仅学习虚拟边界上的源密度，还学习定义该虚拟边界的几何参数，两者在训练过程中联合优化。因此，该方法能够自动确定一个平衡数值稳定性和近似精度的虚拟边界。

本文其余部分组织如下：第2节介绍了控制方程、VBINN的主要方法、Burton-Miller方法以及虚拟边界的学习策略。第3节展示了一系列数值算例，包括声散射和水下声传播问题，并将VBINN结果与解析解和COMSOL结果进行了比较。最后，第4节总结了主要发现并讨论了未来工作。

**章节片段**

**声学问题的控制方程** 声学波在理想流体介质中的传播遵循线性波动方程。在理想流体中，时谐声压$\boldsymbol{p(\mathbf{x})}$的复振幅在无界外域$\Omega$中满足Helmholtz方程：

$$\Delta\boldsymbol{p(\mathbf{x})} + k^2\boldsymbol{p(\mathbf{x})} = 0, \quad \mathbf{x} \in \Omega$$

其中，$\mathbf{x}$表示空间位置向量，$\Delta$为拉普拉斯算子，$k = \omega/c$为波数，$\omega$为角频率，$c$为流体中的声速。为获得唯一解，需要在边界上施加边界条件。

**单位球体的平面波散射** 本算例旨在验证VBINN在求解具有Neumann边界条件的三维声散射问题时的数值精度和稳定性。考虑一个半径$a=1.0\,\text{m}$的刚性球体，置于声速$c=343\,\text{m/s}$、流体密度$\rho_f=1.225\,\text{kg/m}^3$的无限流体介质中。一列平面声波沿正$x$轴方向入射。相应的散射配置如图3所示。入射声场为$p_{inc} = e^{ikx}$。由于球体……

**结论** 本文针对三维外声问题提出了一种虚拟边界积分神经网络（VBINN）。通过在散射体或振动体内部引入虚拟边界，所提方法避免了传统边界积分学习方法中源点与配点重合所导致的奇异核计算问题。此外，虚拟边界参数与源密度表示在训练过程中联合优化，从而……

**CRediT作者贡献声明**

Jiahao Li：概念化、方法论、软件、验证、形式化分析、研究、数据管理、可视化、撰写——初稿、撰写——审阅与编辑。
Qiang Xi：方法论、形式化分析、验证、获取资金、撰写——审阅与编辑。
Ilya Marchevskiy：研究、验证、撰写——审阅与编辑。
Zhuojia Fu：概念化、方法论、监督、项目管理、获取资金、资源、撰写……

Jiahao Li | Qiang Xi | Ilya Marchevskiy | Zhuojia Fu
河海大学 力学与工程科学学院，南京，211100，中国