一种用于模拟聚合物驱油藏流动的无网格流线方法

《Computers & Mathematics with Applications》：A meshless streamline method for simulating flow in polymer flooding reservoirs

　　

摘要

作为提高石油采收率的关键技术，聚合物驱面临储层几何形状适应性复杂和数值耗散显著等挑战。现有基于网格的模拟方法在复杂场景中表现出局限性，而新兴的无网格方法虽然灵活，但尚未整合流线模拟技术来解决聚合物驱中的数值耗散问题。为克服这些挑战，本研究首次提出了一种用于聚合物驱的无网格流线模拟方法，实现了无网格流线模拟（命名为EFVM-SL）在聚合物驱储层中的应用。该方法基于扩展有限体积方法（EFVM）框架，首先使用EFVM求解压力场，然后将达西定律与无网格广义有限差分算子结合计算渗流速度。利用等效圆柱径向速度模型对源汇节点进行修改，同时采用分段线性算法追踪流线并计算飞行时间（TOF）。在流线上，利用迎风有限差分方法求解仅包含对流项的饱和度和聚合物浓度输运方程，节点控制体积平均参数通过TOF加权平均获得。引入固定时间更新机制以动态适应聚合物注入引起的总流度变化，定期更新压力场、渗流速度、流线分布和TOF。数值算例（均质储层（笛卡尔点云和不规则点云）和不规则边界储层模型）表明，与传统EFVM方法相比，EFVM-SL显著减少了聚合物前缘处的数值耗散。利用点云离散化的灵活性，它高效地适应复杂储层几何形状，为复杂储层聚合物驱开发提供了精确高效的模拟工具。

引言

储层数值模拟是研究地下储层中多相多组分渗流的关键工具，其核心是渗流方程的离散求解。经过数十年的发展，基于满足局部物质守恒且具有紧凑性和单调性的两点通量估算格式的有限体积离散方法已被广泛应用于各种商业和学术储层数值模拟器中。然而，在全张量渗透率或非结构化网格场景下，两点通量近似（TPFA）方案可能产生显著误差，因此经常使用多点多通量近似（MPFA）方案来解决此问题。混合有限元方法（MFE）和仿形有限差分方法（MFD）可以仅使用单网格信息在全张量渗透率或非结构化网格条件下推导数值通量表达式，该方法近年来获得了广泛研究。简单的笛卡尔网格难以容纳复杂储层几何形状，而更先进的网格类型如角点网格和非结构化网格在生成方面面临更大挑战。无网格方法利用点云离散化计算域，点云生成过程中的拓扑约束远少于网格创建。这使得点云离散化在复杂区域中更具灵活性和优势。基于简单灵活的点云离散化开发无网格储层模拟器对开采应用具有重要的实际价值。

广义有限差分方法（GFDM）是一种无网格方法，通过在计算域内布置节点并利用Taylor级数和最小二乘法估算每个节点的空间导数来离散化微分方程。Benito等人[1]提出了最广泛使用的GFDM公式。Urena等人[2]提出了自适应策略以改进GFDM在二维（2D）和三维（3D）问题中的应用。目前，GFDM已成功应用于解决各种科学与工程问题[[3]、[4]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]]，展示了其强大的计算能力。Rao[11]将单点上风向加权方案引入GFDM，并将其应用于多孔介质中质量和热量传递、两相流以及渗流-岩体力学耦合问题的研究。为解决GFDM中的点源和汇问题，Rao等人[12]引入了节点控制体积的概念，并提出了扩展有限体积方法（EFVM）。该方法在确保局部质量守恒的同时，利用了基于网格的储层模拟软件中现有的非线性求解器。基于EFVM，Rao等人[13]开发了第一个用于 fractured储层的无网格离散裂缝模型（MFDFM）。该模型的计算精度和效率与嵌入式离散裂缝模型（EDFM）相当，同时减少了离散裂缝模型（DFM）和EDFM中储层区域离散化的复杂性。

然而，传统基于网格的储层数值模拟方法和近年来新开发的无网格方法在对流主导的饱和度和组分浓度中均表现出显著的数值耗散误差。虽然大幅增加网格或节点密度可以减少数值耗散，但这也会导致计算成本显著增加。在传统基于网格的储层模拟中，主要采用两种策略来减轻对流主导物理量（如饱和度、组分浓度或温度）的耗散误差。第一种方法是采用以间断Galerkin方法为代表的高阶方法来计算饱和度或组分浓度。例如，Hoteit和Firoozabadi[14,15]提出了MFE-DG混合方法，Rao等人[16]提出了MFD-DG混合方法。然而，混合方法的稳定性条件通常比使用隐式压力显式饱和度（IMPES）方案的非混合方法更为严格，且需要更小的时间步长可能会显著增加计算成本。第二种方法利用流线模拟（SL），沿流线计算饱和度以提高分辨率和计算效率。Datta-Gupta和King[17]采用Pollock流线追踪方法[18]，引入了飞行时间（TOF）的概念，提出了现代流线模拟技术。Bratvedt等人[19]和Batycky[20]开发了包含算子分裂技术的三维储层尺度流线模拟器以考虑重力效应，同时更新流线以考虑流动分布和井筒变化。Berenblyum等人[21]应用算子分裂方法将毛细管力纳入流线模拟。Prevost等人[22]提出了结构化（角点）网格和非结构化网格上一般张量场的流线追踪方法。Gerritsen等人[23]将流线模拟框架扩展到注气组分过程。Mallison等人[24]改进了动态流线更新过程中流线饱和度分布与网格平均饱和度之间的映射方法，显著提高了基于流线的注气模拟精度。Zhu等人[25,26]将流线模拟扩展到热水驱和蒸汽驱过程。Matringe[27]利用MFE在非结构化网格和全张量渗透率条件下计算压力和渗流速度分布，提出了基于MFE的流线模拟方法。对于fractured储层，He等人[28]采用简化的双孔单渗透率（DPSP）模型表征fractured储层，仅在裂缝系统内追踪流线，未充分考虑实际裂缝分布的几何形态。Park等人[29]提出了基于四边形网格的DFM流线模拟框架，但所采用的有限元方法未能满足局部质量守恒，导致基质网格通量计算精度较低，流线追踪过程中TOF精度降低。Onishi等人[30]采用双孔双渗透率（DPSP）模型进行fractured储层流线模拟。Teixeira等人[31]提出了基于MPFA方案的DFM流线模拟方法，尽管该方法仅限于二维四边形网格。Rao等人[32]开发了适用于二维三角形网格和三维四面体网格的实用流线追踪方法，建立了更适合离散化具有复杂裂缝网络的计算域的DFM流线模拟方法。Zuo等人[33]和Chen等人[34,35]开创了基于传统EDFM的TPFA方案的第一个流线模拟方法。Kim等人[36]将此方法应用于fractured储层两相流历史拟合。Rao等人[37]提出了基于TPFA-MFD混合方案的EDFM流线模拟方法。然而，由于EDFM已被证明在许多渗流场景中存在显著计算误差，Rao等人[38]进一步提出了基于投影法嵌入式离散裂缝模型（pEDFM）的流线模拟方法，命名为pEDFM-SL，以解决此问题。

这表明流线模拟方法在基于网格的储层数值模拟中已得到广泛深入的研究。然而，对于近年来发展的无网格储层数值模拟方法，目前尚无相关流线模拟研究。由于以往研究已证实无网格模拟方法相比基于网格的方法具有某些优势，在无网格储层数值模拟框架内开发第一个流线模拟方法是一个自然而紧迫的任务。这对于减少无网格储层模拟中的数值耗散和改善此类方法的总体框架具有重要意义。因此，Zhao等人[39]提出了第一个基于EFVM用于注水储层的无网格流线模拟方法，命名为EFVM-SL。他们证明该方法实现了与传统流线方法相当的计算精度和效率，同时更能适应复杂储层几何形状。聚合物驱作为提高石油采收率的关键技术，通过注入聚合物溶液改善流度比并降低水相渗透率，从而提高采油效率和波及体积。近期工作解决了聚合物驱本身的数值挑战，如难以适应复杂储层几何形状和数值耗散显著。Berthon等人[40]开发了具有不可及孔隙体积的聚合物-流动模型的松弛方案，强调在强对流区域的鲁棒性和正性。无网格方法利用点云离散化的灵活性，为复杂储层聚合物驱模拟提供了新的解决方案。在过去三年开发的无网格储层模拟方法学（集成了GFDM和EFVM）基础上，本研究通过将在EFVM框架中融入流线模拟技术和聚合物驱渗流机制，提出了第一个无网格聚合物驱流线模拟方法（EFVM-SL）。为了专注于核心渗流原理并验证方法有效性，该方法明确忽略了聚合物吸附和扩散效应。它采用系统化的工作流：首先计算压力，然后确定速度，沿流线求解输运方程，并计算TOF加权平均。该方法还在固定时间间隔更新压力场和流线分布，建立了用于复杂储层聚合物驱的稳健模拟工具。

节选段落

聚合物驱储层的控制流动方程

本研究所研究的聚合物驱过程涉及油水两相流动，溶解在水相中的聚合物动态改变水相的粘度以改善油水流动比并提高波及效率。忽略重力、毛细管力、聚合物吸附效应和扩散效应，流动控制方程主要由油相、水相和聚合物的连续性方程组成。基于这些连续性方程，压力

基于扩展有限体积方法的无网格压力分布计算

EFVM是从GFDM发展而来的一种无网格数值方法。它通过局部点云构建、广义差分算子推导、节点控制体积求解和压力方程离散化的过程实现压力场的精确计算。

设计计算域Ω通过点云?????=1,2,?,????进行离散化，其中????表示节点总数。如图1所示，每个节点??对应一个局部点云???????，由节点??组成……

无网格点云中的渗流速度和流线追踪算法

基于节点的压力计算结果，节点??处的压力梯度??????=(????/????)???→????+(????/????)???→????通过式（14）中的一阶导数离散表达式求解。将压力梯度代入达西定律表达式，得到节点处的油相、水相和总渗流速度，分别为：

→????,??=??????????????(????,??)/???????????=??????????????(????,??)/?????(∑??∈Λ??????1??????(???????0)?→????+∑??∈Λ??????2??????(???????0)?→????)

→????,??=??????????????(????,??)/?????(????)???????=??????????????(????,??)/?????(????)?(∑??∈Λ??????1??????(???????0)?→????+∑??∈Λ??????2??????(???????0)?→????)

沿流线计算饱和度和聚合物浓度及加权平均

采用迎风有限差分方法在流线坐标系中求解饱和度和浓度输运方程。由于忽略了吸附和扩散，吸附项和扩散项的离散化是不必要的。含水饱和度的离散化方案如下：

对于流线输运方程，选择TOF增量Δ???使得Courant数Co=Δ???/Δ???不超过1（Co≤1）以用于显式迎风向更新；当需要较大……

EFVM-SL算法总结

EFVM-SL算法在迭代工作流中耦合了压力计算、渗流速度评估、流线追踪和基于流线的输运，如图2所示。首先，使用EFVM求解压力场。然后根据达西定律计算渗流速度，在源汇节点应用径向速度修正，并利用插值获得任意追踪点处的速度。

流线及其飞行时间随后使用自适应...
示例 1 本示例采用图 3(a) 中的均质油藏模型（300m×300m×10 m），中心设有一口聚合物注入井（恒定的注入速率为 90m3/天，聚合物浓度为 ??????????=1000 mg/L），四个角落设有生产井，分别保持固定的液产率为 30m3/天、25m3/天、20m3/天和 15m3/天。如表 1 所示，油藏和流体参数包括：渗透率 100mD，孔隙度 0.2，综合压缩系数...
结论与未来工作 本研究提出了首个用于油藏的无网格聚合物驱流线模拟方法，实现了无网格技术与聚合物驱流线建模的首次集成。采用 EFVM 准确求解压力场，基于压力结果计算渗流速度，为后续流线追踪提供可靠基础。引入了固定时间更新机制，以有效适应由...引起的总流度变化
饶湘 | 欧阳西 | 赵辉 长江大学石油工程学院，中国武汉，430100