微极纳维耶-斯托克斯方程的修正特征线投影有限元方法

《Computers & Mathematics with Applications》：A modified characteristics projection finite element method for the micropolar Navier-Stokes equations

　　

**摘要**

本文提出了一种修正特征投影有限元方法（MCPFEM）用于求解非定常微极Navier-Stokes方程（MNSE）。所提出的方法集成了两项关键计算技术：修正特征有限元方法，用于线性化非线性项；以及压力修正投影法，用于解耦速度和压力。这种创新性的集成产生了一种高效的数值方案，在每个时间步只需求解三个独立的线性系统。本文建立了MCPFEM的严格理论框架，包括其无条件稳定性的证明以及在L2和H1范数下的最优误差估计推导。对速度、压力和角速度场的全面数值模拟证明了该方法的有效性。我们的结果表明，MCPFEM在计算效率方面具有显著优势，同时在捕捉微极流体的复杂动力学方面保持了精度，确认了其作为求解MNSE系统的精确且计算高效的框架。

**引言**

Eringen [1] 提出的微极流体模型扩展了经典的Navier-Stokes框架，考虑了流体粒子的旋转自由度。这一推广导致了非对称应力张量的出现，并引入了一个额外的角速度方程，从而得到微极Navier-Stokes方程（MNSE）。这些方程特别适用于描述具有微结构的流体，如液晶、血流、聚合物悬浮液、胶体流体和铁磁流体。从数学上讲，MNSE表示为：

$$\begin{cases}
j u_t - (\nu + \nu_r)\Delta u + (u \cdot \nabla) u + \nabla p = 2\nu_r \operatorname{curl} w + f, & (x,t) \in \Omega_T, \\
\nabla \cdot u = 0, & (x,t) \in \Omega_T, \\
j w_t - (c_a + c_d)\Delta w + j(u \cdot \nabla) w - (c_0 + c_d - c_a)\nabla \nabla \cdot w + 4\nu_r w = 2\nu_r \operatorname{curl} u + g, & (x,t) \in \Omega_T, \\
u(x,t) = 0, \; w(x,t) = 0, & \text{on } \partial\Omega_T, \\
u|_{t=0} = u_0, \; w|_{t=0} = w_0, & \text{in } \Omega,
\end{cases}$$

其中 $\Omega_T = \Omega \times (0, T]$ 和 $\partial\Omega_T = \partial\Omega \times (0, T]$，$T \in (0, \infty)$ 是固定的终止时间。域 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$（$d = 2, 3$）假设为开集、有界的、单连通的，且具有光滑边界 $\partial\Omega$。系统的未知量为：$u$：速度场，$p$：压力场，$w$：角速度。给定的源项表示为：$f$：外力，$g$：边界力矩。系统中的物理常数为：$j$：惯性密度，$\nu$：运动粘度，$\nu_r$：旋转粘度，$c_a$：附加质量系数，$c_d$：阻力系数，$c_0$：惯性系数。我们对常数作如下正性假设：

$$c_0 + c_d > 0, \quad c_0 + c_d - c_a > 0$$

（物理依据参见参考文献[2]）。

MNSE的数学分析已被广泛研究，包括关于存在性、唯一性和正则性的结果 [2], [3]。MNSE的数值方法包括投影有限差分法 [4]、罚函数有限元法 [5] 和解耦时滞格式 [6]。最近，压力修正和迭代方案在 [7], [8], [9], [10] 中得到了研究。

对于对流占优问题，特征方法是同时处理时间项和对流项的强大工具，通过追踪方案实现：

$$(u_t + b \cdot \nabla u)\big|_{t=t_{n+1}} \approx \frac{u_{n+1}(x) - u_n(x - b_n \tau)}{\tau}.$$

该方法由Douglas和Russell [11] 率先应用于对流占优扩散问题，后由Russell [12] 推广到非线性耦合系统。对于Navier-Stokes方程，Si [13] 发展了一种二阶修正特征缺陷校正混合有限元方法，Si等人 [14] 建立了修正特征有限元方法的无条件稳定性和最优误差估计。基于特征方法的进一步发展与应用可参见 [15], [16], [17], [18]。

除基于特征的方法外，Chorin [19] 和Temam [20] 提出的投影方法为不可压缩流计算中解耦速度和压力提供了另一种框架。随后，大量文献致力于设计和分析这些数值方案 [45], [46], [47], [48], [49]。值得注意的变体包括压力修正法 [21], [22]、速度修正法 [23] 和一致分裂方案 [24]——也称为量规方法 [25]。Guermond和Quartapelle [26] 使用有限元实现了Navier-Stokes方程的投影方法，该方法随后在 [27] 中推广到变密度流。Navier-Stokes方程投影方法的进一步发展和误差分析可参见 [28], [29]。对于不可压缩磁流体力学（MHD）方程，Yang和Si [30] 发展了一种均匀投影有限元方法，在变分框架内结合了量规方法和Uzawa方法，建立了速度和压力的无条件稳定性和最优误差估计。关于相场方法的广泛研究，请参见 [31], [32], [33], [34], [50], [51] 及其中的参考文献。

在近期的一篇论文 [35] 中，我们开发了一种用于MNSE的修正特征有限元方法（MCFEM）。该工作关注于耦合公式，即速度和角速度被同时求解。在此基础上，本文引入了一种修正特征投影有限元方法（MCPFEM），通过压力修正步骤解耦线动量和角动量方程。所提出的方法具有以下优势：(i) 它避免了在每个时间步求解大型耦合系统，取而代之的是两个较小的独立子系统；(ii) 它显著减少了内存消耗；(iii) 它便于直接实现并行计算，因为两个子系统可以同时求解。

在本文中，我们提出了一种用于MNSE的修正特征投影有限元方法。本文的结构安排如下。在第2节中，我们定义Sobolev空间，建立方程的函数框架，并提出MNSE的修正特征投影算法。在第3节中，引入基于特征的时离散系统，并证明若干正则性结果。随后，对完全离散系统进行分析，基于此推导无条件稳定性和最优误差估计。在第4节中，报告若干数值实验以证明所提方法的有效性。

**记号与预备知识**

在本节中，我们给出一些记号，以及必要的假设和之前建立的结果。对于任意正整数$m$和$1 \leq p \leq \infty$，设$W^{m,p}(\Omega)$表示在$\Omega$上定义的函数的常用Sobolev空间，其范数表示为 [36]：

$$\|f\|_{m,p} = \begin{cases} \left(\sum_{|\beta| \leq m} \int_\Omega |D^\beta f|^p \, dx\right)^{1/p}, & 1 \leq p < \infty, \\ \sum_{|\beta| \leq m} \operatorname{ess\,sup}_{x \in \Omega} |D^\beta f(x)|, & p = \infty, \end{cases}$$

其中 $D^\beta = \frac{\partial^{|\beta|}}{\partial x_1^{\beta_1} \cdots \partial x_d^{\beta_d}}$，对于多重指标 $\beta = (\beta_1, \cdots, \beta_d)$，$\beta_i \geq 0$，$i = 1, \cdots, d$，且 $|\beta| = \beta_1 + \cdots + \beta_d$。为了方便考虑问题1.1的变分问题，我们引入：

**无条件稳定性和收敛性**

在分析离散格式之前，我们先回顾连续MNSE的能量耗散性质。通过标准的能量论证（分别用$u$和$w$检验动量方程，进行分部积分，并使用不可压缩条件$\nabla \cdot u = 0$），得到以下能量律：

$$\frac{1}{2} \frac{d}{dt} \left( \|u\|_0^2 + j\|w\|_0^2 \right) + c\|\nabla u\|_0^2 + c_1\|\nabla w\|_0^2 + c_2\|\operatorname{div} w\|_0^2 + \tilde{c}\|w\|_0^2 \leq (f, u) + (g, w),$$

其中 $c > 0$ 和 $\tilde{c} > 0$ 是依赖于$\nu$、$\nu_r$的常数。此处耦合项$4\nu_r(w, \operatorname{curl} u)$已被吸收到耗散项中。

**数值结果**

在本节中，我们进行数值实验以验证所提数值算法的有效性。所有模拟均使用FreeFEM++ [44] 实现，这是一个专门用于通过有限元方法求解偏微分方程的开源软件框架。

具体而言，我们考虑定义在单位正方形域$\Omega = [0,1] \times [0,1]$上的二维非定常微极Navier-Stokes方程。对于二维情况，角速度$w$取形式$w = (0, 0, w(x,y,t))$。

**结论**

在本文中，我们提出并分析了一种完全离散的修正特征投影有限元方法（MCPFEM）用于非定常微极Navier-Stokes方程。该方法通过压力修正步骤解耦速度和角速度计算，并通过修正特征方法处理非线性对流项。我们建立了速度和角速度的无条件稳定性和最优误差估计。数值……

Zhizhong Si | Yao Ji | Yunxia Wang
河南理工大学数学与信息科学学院，454003，焦作，中国