基于半解析数值方法的多阶分数阶异常溶质传输模型数值计算

《Computers & Mathematics with Applications》：Numerical computation of a multi-term fractional anomalous solute transport model in the framework of a semi-analytic numerical method

　　

摘要 本研究探讨了半解析数值方法（SAM）与径向基函数的联合应用。本文的研究成果阐明了不可用边界条件的计算以及多阶分数阶异常溶质输运模型的数值求解。该方案的第一阶段是对模型进行时间方向的离散化，采用有限差分法。在得到线性方程组P[U]=g之后，在第二阶段中，我们利用径向基函数神经网络（RBFNN）来获得具有不可用边界条件的特解。我们的两阶段方法不需要任何正则化技术即可获得收敛于相应解析解的稳定结果。引言 近年来，由次扩散/扩散模型产生的异常现象研究备受关注，这些研究与水流量中的异常溶质输运以及多孔介质中溶质的运动有关[1], [2], [3], [4]。布朗运动在多种悬浮于液体或气体中的粒子运动中被观察到，这些运动由次扩散方程建模。从数学角度来看，具有强非均匀性的多孔介质中溶质浓度运动的起始可以用移动-固定对流-扩散方程来描述[5], [6]。评估移动-固定对流-扩散方程的一个可行模型是包含复杂阶或实数阶导数的分数阶模型。在文献[7]中，分级时间离散化与四阶紧凑空间格式的结合为非线性分数阶模型提供了一个稳定且高效的框架。在此，我们专门研究多阶分数阶系统的求解，而非单阶分数阶系统，具有以下优势。首先，我们致力于开发更精确的相干过程和现象模型，因为它们能够涵盖广泛的设计和网格准则[8], [9]。找到这种精确模型使我们能够确定系统中扰动和不确定的条件，或提高稳定性裕度。总之，多阶分数阶系统涉及许多工程挑战，并在系统跨传输信息、生物医学工程、控制系统和信号处理中发挥重要作用[10], [11], [12], [13], [14]。我们应用Caputo分数阶导数来表示以下二维（2D）和三维（3D）设置中的多阶时间分数阶移动-固定扩散方程（TFMIDE）[15], [16]：{?U(x,t)/?t + ∑(p=1到d) μp Dt^γp U(x,t) = α?U(x,t) + F(x,t), 0<γp<1，其中γp (p=1,2,…,d) 为时间分数阶导数的阶数，γ(.)为伽马函数；?为拉普拉斯算子，α和μp (p=1,2,…,d) 为已知常数。此外，f为足够光滑的函数。w为边界部分γ1上的已知函数，而γ2（剩余边界段）上的边界条件和函数r假设不可用；γ1∪γ2=?Ω，且Γ1∩Γ2=?。当边界上的物理信息不可用时，该问题被引入为反问题。迄今为止，已对反问题的病态性和病态性进行了系统的关注。与开发使用正则化技术求解反问题的方法以获得收敛于相应解析解的稳定结果不同，关于不需要任何额外正则化技术的问题的数值方法分析仍处于起步阶段。然而，最近已发表了一些重要论文[17], [18], [19], [20], [21]。benning等人[22]在图像处理和本征值问题的背景下讨论了现代正则化技术。一种有限体积法用于反问题以确定源系数[23]。应用神经网络可以有效地近似具有不可用边界条件的解，而不需要更多数据或正则化技术。鉴于神经网络在放射学[24]、面部和语音识别[25], [26]、语音合成[27]和医学[28]中的潜在应用，反问题的研究是其中的关键问题之一。几个研究小组提出了通过带有激活函数和包含足够多神经元的多层rbfnns来近似求解边界值问题的方法，例如karageorghis[29]和liu[30]。例如，karageorghis等人利用rbfnn方法找到边界值问题的近似解；然而，该方法用于反边界问题的可行性在很大程度上取决于问题本身[29]。一种更通用的方法是将rbfnn方法用作解的预设并扩展边界数据，如文献[31]中讨论的那样。已对tfmide(1)进行了多次数值模拟。这些模拟采用无网格方法针对单阶或多阶分数阶系统进行公式化，例如自适应核配点法（ak-bcm）[15]。在文献[16]中，tfmide的空间导数使用逆rbf（irbf）进行近似，但其瓶颈在于选择形状参数。我们对sam的研究受到海岸和港口设计[32]、海洋工程[33]、水文学[34]等应用的启发。由于其在解决包含非线性算子的控制方程问题的实际成功，以及消除选择虚拟边界困难的能力，该方案已被深入研究。近期的研究表明，新开发的sam在解决实际问题方面具有巨大潜力。在此，我们引入三角基函数（tbfs）来减轻选择rbfs形状参数的困难，与切比雪夫多项式相比在选择配点时提供更多灵活性，并且与高阶多项式相比避免病态矩阵[35]。本文方案的首个独特成果是将sam与rbfnn耦合（sam-rbfnn）以获得多阶tfmide问题的具有不可用边界条件的特解。值得注意的是，mostajeran等人[36]直接使用rbfnn处理反问题而不使用基本解。但特解帮助我们获得更好的结果。我们首先描述crank-nicolson方法对多阶tfmide问题进行离散化（第2节）。离散化的多阶tfmide系统在每个时间步简化为线性方程组p[u]=g。我们的数值模拟限于两种不同类型的基函数：用于与齐次边界条件相关的特解的TBFs（第3节）和用于具有完全由RBFNN方法分析的不可用边界条件的特解的RBFs（第4节）。我们通过展示收敛性和精度图来对模拟数值结果进行基准测试（第5节）。章节片段 时间离散化 数值方法从caputo分数阶导数的近似和带线性化的二阶隐式crank-nicolson时间格式开始。为此，我们考虑区间[0, t]的分割，tn=n·dt (n=0,1,2,3,…,?)，其中dt>0为步长。为了表示U(x,t)的近似值，我们用Un+1表示U(x,dt(n+1))的近似值。使用一阶后向差分近似估计?U(x,κ)/?κ；然后Caputo时间分数阶... SAM-RBFNN方法的主要算法 为了方便，我们引入与系统(8)相关的算子以及以下记号。我们使用P作为线性算子，将系统(8)的右端项记为g；然后我们可以将系统(8)重新表述为P[U]=g, x∈Ω。对于x∈?Ω施加边界条件。我们通过将U分解为具有非齐次和齐次边界条件的两个特解来确定U：U=U+Uh。假设Ωρ是一个有界区域；则我们引入一族TBFs{δι(x)}ι=1到NTB在二维... RBFNN近似特解 我们开发了一种数值程序来近似具有以下边界条件的特解U：{U(x)=W(x), x∈Γ1；U(x)=R(x), x∈Γ2}，其中不可用边界条件假设在Γ2上，而Γ1上的边界数据已知。为了近似U，我们遵循RBF网络程序来近似Γ2上的R(x)。为使该程序清晰，使用形状参数c?的RBF，我们考虑U(x)=∑(?=1到q1) β?ζ?(x)=∑(?=1到q1) β??(x,x?,c?)，其中x为输入向量，x?∈?Ω为... 数值实现 使用本方案与RBFNN耦合，以及文献[15], [16]中开发的数值方法，展示了2D和3D多阶TFMIDE的数值结果，用于在矩形和非矩形域上的测试。此外，不可用边界条件和解的预设通过2D和3D高斯RBF核进行扩展，核展宽为τ：ψ(x,z,τ)=exp(?‖x?z‖2/τ2)，其中z是从输入数据x使用K-means算法（MATLAB）计算的RBFNN中心[41]。结论 我们研究了SAM与RBFNN方法的联合应用，以及RBFNN模型在求解多阶分数阶异常溶质输运模型中的性能，其中一部分边界数据假设为不可用。正如矩形和非矩形域上误差与时间步长关系曲线所指示的那样，我们的方案可以展示无网格方法的大多数重要特征，包括稳定性和收敛性。特别是，从RBFNN... Farzaneh Safari | Mahmoud A. Zaky 江苏林业工程竹木固碳材料与结构研究中心，南京林业大学，南京，210037，中国