面向异质材料热传导的自适应物理信息神经网络及其未知参数辨识

《International Journal of Heat and Mass Transfer》：Adaptive physics-informed neural network with unknown parameter identification for heat conduction in heterogeneous materials

　　

## 摘要

- 提出了一种自适应PINN框架用于异质热传导问题。
- 将串联和并联有效热导率（ETC）模型作为可训练的物理约束嵌入框架。
- 该框架可同时预测温度场并识别未知参数。
- 迁移学习使该框架无需额外测点即可实现精确预测。

## 引言

含有包含体的异质材料，如颗粒增强复合材料、多孔介质、生物组织和混凝土，在现代工程领域得到广泛应用，包括电子冷却、能源储存和航空航天热防护 [1], [2], [3]。此类材料的宏观热行为受其微观结构控制。包含体的存在不仅引入界面热阻 [4]，还在基体-包含体界面处产生复杂的局部温度梯度 [5]，使得有效热导率（ETC）成为表征其整体传热性能的关键参数 [6]。准确预测异质材料的ETC对于理解其传热机制和指导工程应用至关重要。

精确预测异质材料的ETC仍然是热学研究的关键挑战。串联和并联模型提供了基本的ETC边界 [7], [8]，而Maxwell-Eucken理论和Hashin-Shtrikman理论仅适用于稀薄复合材料，对于存在接触热阻和内部对流的致密多孔结构会产生较大误差 [9], [10]。近年来，研究人员通过添加界面阻力和孔隙对流改进了微观力学模型，并采用机器学习结合介观均匀化方法来描述复杂微观结构 [11]。然而，仍存在两个缺陷：对于复杂微观结构，模型选择严重依赖主观经验；此外，传统方法分别计算ETC，无法解决真实传热场景中温度场、对流边界和热参数之间的耦合问题。

物理信息神经网络（PINNs）的出现建立了一种创新的计算框架，以克服传统热仿真方法的缺陷 [12]。通过将偏微分方程嵌入网络损失函数，PINNs将物理规律与有限测量数据相结合，在正向热计算和反向参数识别方面表现出显著优势 [13], [14]。为解决原始PINNs固有的训练缺陷，研究人员相继开发了hp自适应域分解 [15]、贝叶斯PINNs [16]和梯度修正策略 [17]。一系列定制化的PINN方法已被设计用于多种传热问题：改进的PINNs处理瞬态非线性热传导 [18]，分数阶PINNs应对异常热传导 [19]，傅里叶特征增强的PINNs优化耦合传热传质仿真 [20]。在固体传热研究中，PINNs被广泛用于热物性反演和热源布局预测 [21]，基于域分解的PINNs被用于多材料力学和热问题 [22]。此外，该方法还实现了含缺陷材料的温度场预测 [23]以及材料裂纹引起的热不连续性分析 [24]。近期，PINN-DTC方法通过自适应域分解实现了热隐身设计，进一步将PINN应用扩展到热超材料 [25]。然而，大多数现有研究仅限于计算均匀介质内部或具有孤立单一缺陷材料中的物理场。针对异质材料多个物理参数（包括温度分布、有效热导率和对流换热系数）的同时预测，鲜有系统性研究报道。

除热传导外，物理信息神经网络已成功扩展至广泛的科学与工程问题，反映了该领域的快速动态发展。例如，Huang等人 [26] 开发了增强型物理信息神经网络用于求解动态Poisson-Nernst-Planck系统。Li等人 [27] 提出了基本解神经网络用于由Laplace和双调和方程控制的逆Cauchy问题。Wang等人 [28] 介绍了使用物理信息神经网络的基本解自适应方法。这些研究与本文一起，展示了PINNs在从电化学传输到逆边界值问题等不同物理系统中的通用性。

近期，迁移学习策略已被引入PINN框架以进一步提高计算效率。值得注意的是，Zheng等人 [29] 建立了非傅里叶热传导问题的迁移学习框架，证明迁移学习可将训练迭代次数减少到基础模型的六分之一，并将计算时间缩减至基线的约11%–18%。这一发现突显了迁移学习在加速物理信息模拟方面的巨大潜力。受此启发，本研究将迁移学习思想从非傅里叶热传导扩展到异质材料有效热导率预测。这一扩展不仅验证了迁移学习在多尺度、多相材料系统中的通用价值，还使所提出的方法能够在无需额外测点的情况下快速适应不同材料构型，显著降低了多条件分析场景中的计算成本。在此意义上，我们的工作是对这一新兴研究方向有益的发展。

为解决上述挑战，本研究提出了一种由自适应有效热导率策略驱动的自适应PINNs框架，用于含有包含体的异质材料的传热分析。本文的核心创新和贡献包括三个方面：

**● 通过竞争性物理约束实现自适应ETC：** 首先，在物理建模层面，本研究将串联和并联ETC公式均作为物理约束嵌入PINN的损失函数中，允许网络在训练过程中根据局部温度场特征自适应选择合适的等效机制。这种物理约束的"竞争性"设计避免了传统方法中人工选择模型的主观性，使计算的ETC更忠实地反映实际的微观热传导行为。

**● 通过协同PINN反演实现多物理场统一求解：** 其次，在多物理场求解层面，本工作充分利用了PINNs同时处理控制方程和边界条件约束的能力，实现了温度场的统一求解和未知参数的识别。与传统的逐步求解策略不同，所提出的方法在统一框架内协同更新所有物理量，充分考虑其耦合关系，从而产生更加自洽的预测结果。

**● 通过迁移学习实现经济高效的多条件自适应：** 第三，在实际应用层面，本工作引入了迁移学习策略 [30], [31]，利用预训练的基础模型快速适应新的材料参数、包含体分布或边界条件。该机制显著降低了多条件分析场景中的采样成本，使所提出的方法不仅准确，而且具有实际应用价值。

通过若干数值算例验证了所提方法的有效性。结果表明，该方法能准确预测含包含体异质材料的温度场分布，同时可靠地识别ETC和对流换热系数。与传统串联或并联模型相比，自适应策略表现出更大的灵活性；与通用模型相比，迁移学习提高了参数泛化性并降低了采样成本。

本文余下部分组织如下：第2节描述稳态热传导问题并引入异质材料的等效热导率概念，涵盖经典的串联/并联边界以及本文提出的自适应和迁移学习ETC策略。第3节介绍基于PINN的求解框架，将自适应ETC模型嵌入到统一的前向-反向架构中以同时重建温度场和识别未知参数。第4节通过含单个和多个包含体的二维和三维异质材料数值算例验证所提框架。第5节总结本文主要发现。

## 问题描述与等效热导率

本节制定物理问题并引入异质材料的ETC概念。首先给出描述稳态热传导的控制方程和对流边界条件。然后引入串联和并联模型作为基本的ETC边界，接着介绍本文提出的自适应和迁移学习ETC策略，这些策略将在第3节中嵌入PINN框架。

## 基于PINN的求解方法

在第2节中，我们介绍了串联和并联模型作为基本的ETC边界以及本文提出的自适应/迁移ETC。然而，这些模型本身无法考虑温度场、边界条件和材料属性之间的耦合关系。在本节中，这些ETC模型被嵌入PINN框架中以统一方式求解热传导问题。首先建立一个基于PINN的正向求解模型，用于预测完整的温度场。

## 数值算例

本研究的数值算例主要包括二维（2D）和三维（3D）情况，并对单个和多个材料包含体进行了验证。为评估准确性，将预测结果与有限元方法（FEM）解进行比较，并计算绝对误差和相对误差。

绝对误差和相对误差（Relerr）定义如下：

$$\text{Absolute error} = y - y_0$$

$$\text{Relerr} = \frac{\|y - y_0\|_2}{\|y_0\|_2} \times 100\%$$

其中 $\|\cdot\|_2$ 表示欧几里得2-范数，$y$ 和 $y_0$ 分别为预测值和参考值。

## 结论

本研究提出并验证了一种自适应PINN框架，用于模拟异质材料的热场和识别参数。核心发现总结如下：

**(1) ETC模型选择：** 对于使用简化ETC模型的PINNs，串联和并联模型的相对性能取决于包含体与基体之间的热导率对比度。当包含体热导率高于基体时，串联模型更准确。

## CRediT作者贡献声明

Yu Tong：撰写–初稿、可视化、验证、软件、方法论、形式分析。Bo Yu：撰写–审阅与编辑、可视化、方法论、概念化、撰写–初稿、可视化、验证、软件、方法论、形式分析。Long Shu：可视化、方法论、形式分析。Ruijiang Jing：可视化、方法论、形式分析。Zeng Meng：可视化、方法论、概念化。

## 利益冲突声明

作者声明不存在已知的可能影响本文所述工作的竞争性经济利益或个人关系。

## 致谢

本研究得到国家自然科学基金（No. 12672253）和中国工业设备结构分析、优化与CAE软件国家重点实验室（No. GZ25112）的资助。

Yu Tong | Bo Yu | Long Shu | Ruijiang Jing | Zeng Meng