广义麦克斯韦流体在垂直矩形管道中非稳态磁流体流动、热质传递的数值研究与快速方法

《International Journal of Heat and Mass Transfer》：Numerical study and fast method for unsteady magnetohydrodynamic flow, heat and mass transfer of the generalized Maxwell fluid in a vertical rectangular duct

　　

• 二维矩形管道模型耦合了分数阶Maxwell流动、热和物质传输。
• 独立的分数阶次分别表征应力、热通量和质量通量的记忆效应。
• SOE加速在不引入显著附加误差的情况下降低了历史项的计算代价。
• 热记忆与近壁温度过冲相关联。
• Soret耦合使浓度过冲放大至超过预设壁面值。

**引言**

磁流体动力学（MHD）传输在液态金属冷却、聚变包层和电磁材料处理中被广泛遇到[1]、[2]、[3]、[4]。矩形管道为这些应用提供了典型的受限几何构型。在横向磁场作用下，速度和温度可能在管道内强烈变化，并沿不同取向的壁面形成不同的边界层[5]、[6]、[7]。非均匀壁面加热和浓度梯度在这些场之间引入了额外的耦合。焦耳加热和粘性耗散改变温度场，而热力浮力和溶质浮力反馈到轴向动量平衡中。因此，速度、温度和浓度必须作为耦合系统进行求解。四壁约束产生固有的二维分布，而一维和平行板近似无法解析这种分布。因此，我们考虑在竖直矩形管道横截面上具有二维变化的充分发展单向流动。

许多导电复杂流体也可表现出粘弹性记忆效应。经典Maxwell模型用单一特征时间表征应力松弛，而聚合物液体可表现出由微观结构时间尺度宽分布引起的幂律响应。经典多模Maxwell模型可能需要大量离散模式，而分数阶模型利用幂律核和连续松弛谱提供紧凑的遗传描述[8]、[9]、[10]。Schmidt等人[10]发现，分数阶Maxwell模型在比经典多模Maxwell模型少得多的参数下，就能在扩展的频率范围内重现缠结聚乙烯氧化物溶液的流变响应。Wei等人[11]同样在液态电解质中观察到聚合物诱导的粘弹性，在缠结阈值以下电导率几乎无变化，以上仅有微弱下降。这些流变学和电导率观测结果促成了导电粘弹性液体的分布松弛表征。Roy和Dhar研究了非均匀微毛细管中电磁驱动的粘弹性电解质传输[12]。他们后续的框架将热效应和软微约束中的壁面变形纳入考虑[13]。更广泛地说，近年来对Maxwell和粘弹性纳米流体、磁控四混合纳米流体以及电渗Williamson纳米血液的研究表明，耦合复杂流体传输仍持续受到关注[14]、[15]、[16]、[17]。在本文模型中，这种有效描述被用于研究耦合传输机理。针对特定材料或装置的定量预测还需实验标定分数阶次和松弛时间。

耦合传输中的记忆效应可能超越应力松弛。经典傅里叶定律和Fick定律将热通量和质量通量瞬时关联到相应的温度和浓度梯度。Cattaneo型定律引入有限通量响应时间，而分数阶扩展则表征传输历史的幂律依赖。Qi和Jiang[18]建立了质量传输的分数阶Cattaneo扩散定律。在没有空间分数化的情况下，其时间分数阶通量关系与本文采用的广义Fick定律具有相同结构。分数阶热通量模型也已用于描述非傅里叶导热，并从瞬态温度数据中推断松弛时间和分数阶次[19]。在粘弹性对流中，Zhao等人[20]为动量方程和能量方程分配了不同的分数阶次，并报告了速度和热边界层的不同效应。最近，Sheng等人[21]将分数阶Oldroyd-B MHD流动与分数阶双相滞后热方程及基于广义Fick定律的质量传输方程耦合。这些研究促成了对应力、热通量和质量通量记忆分别使用独立分数阶次α、γ和β。

现有分数阶MHD模型涵盖了这些耦合机理的不同子集。Zhao等人[22]将分数阶Maxwell流变与传热和传质、磁驱动、多孔阻力以及Soret和Dufour交叉扩散相结合，但保留了经典热通量和质量通量定律。Rehman等人[23]将Prabhakar记忆纳入动量、能量和浓度方程，并结合广义傅里叶和Fick定律，但考虑了一维构型。Qiao等人[24]求解了矩形管道中广义Maxwell流体二维MHD流动和分数阶传热，未考虑质量传输。Wang等人[25]将快速分数阶谱方法与参数估计相结合，用于矩形管道中的广义二级流体，但未包含质量传输或分数阶热通量和质量通量定律。这些研究分别处理了分数阶流变学、非经典传热和传质、二维约束或快速计算。然而，在表1总结的六项代表性研究中，没有一项同时结合了二维矩形管道几何构型与可独立变化的应力、热通量和质量通量记忆。

对于许多分数阶微分方程，解析解通常仅限于简化情形，并用特殊函数或级数表示[26]、[27]。数值处理通常采用有限差分、有限元或谱离散方法[28]。基于L1的有限差分格式已被应用于广义Maxwell MHD流动和传热[29]。对于光滑多维场，Legendre谱离散提供高阶空间精度[30]、[31]，并已被用于耦合分数阶MHD和矩形管道模型[25]、[32]。然而，在每个时间步直接求值分数阶导数需要反复访问完整的求解历史。在NT个时间步中，这种历史累积对每个分数项需要O(NT2)次运算和O(NT)的存储。快速卷积求积已为广义Oldroyd-B模型降低了这一代价[33]。作为替代，指数和（SOE）近似将Caputo核转换为可递归更新的指数模式[34]、[35]。在本文耦合系统中，速度、温度和浓度方程中存在相同的历史求值代价，这促使对三个历史项进行同时加速。

为了阐明磁控下的记忆依赖传输，我们研究了可独立变化的应力、热通量和质量通量记忆在四壁约束下如何改变截面速度、温度和浓度场。我们建立了竖直矩形管道中压力和浮力驱动的MHD流动、传热和传质二维广义Maxwell模型。该模型将分数阶Maxwell本构关系与广义傅里叶和Fick通量定律耦合。它还保留了Soret和Dufour交叉扩散、焦耳加热、粘性耗散以及一级均相化学反应。我们使用L1–Legendre–Gauss–Lobatto方法求解耦合系统，并对三个历史项采用SOE近似。这一公式化使得三种记忆机制可以独立变化，同时避免对其完整历史进行直接求和。分析限于理想化的无量纲管道构型，材料特定预测需要实验标定分数阶次和松弛时间。在此范围内，该框架适用于导电聚合物液体和电解质的磁控传输。主要贡献如下：

(i) 我们建立了全耦合二维矩形管道模型，为Maxwell本构关系和广义傅里叶及Fick通量定律分配独立的Caputo阶次。该公式化使得应力、热通量和质量通量记忆可以分别变化，同时保留浮力、交叉扩散、内部加热和化学反应。

(ii) 我们开发了用于所有三个历史项的L1–Legendre–Gauss–Lobatto方法和SOE近似。对于分数阶历史求值，该加速将计算复杂度从O(NT2)降至O(NTNe)，并将相应历史存储从O(NT)降至O(Ne)。构造解测试确认了一阶时间收敛性和谱空间精度，而测试案例中快速方法与直接方法获得解的差异小于10?1?。

(iii) 我们区分了应力、热通量和质量通量记忆对耦合速度、温度和浓度场的主要效应。模拟识别出记忆依赖的速度再分布、延迟热穿透、近壁温度过冲以及空间非单调的浓度响应。Soret耦合使浓度过冲放大至超过预设壁面值，而化学反应抑制了该过冲。在测试条件下，将Ha从1增至7使峰值速度降低约46.5%，而将Sr从1.66增至6.89使最大浓度提高约63.8%。

本文其余部分组织如下。第2节建立耦合分数阶MHD模型。第3节介绍数值方法和快速方法。第4节验证两种方法并讨论参数化结果。第5节总结全文。

**数学模型**

本研究调查竖直矩形管道中广义Maxwell流体的二维MHD流动、传热和传质。问题示意图见图1。引入笛卡尔坐标系(x, y, z)，x轴与管道轴线对齐，y轴和z轴位于管道横截面内。特征尺寸l?、l?和l?分别表示管道长度、宽度和高度。我们考虑不可压缩流体的启动流动，

**数值方法**

数值方法将时间上的L1近似与空间上的Legendre–Gauss–Lobatto（LGL）谱配置相结合。我们均匀划分时间区间[0, T]，时间步长为τ = T/NT，定义t? = nτ，其中n = 0, 1, …, NT。对于一般函数f，我们记f? = f(y, z, t?)。对于0 < α < 1，所需的Caputo项使用L1公式[30]、[45]近似：

?αDt?f? = τ??/Γ(2?α) b?(α)f? ? Σ?????1 [b?????(α) ? b???(α)]f? ? b???(α)f? + O(τ2??),

?αDt?(?f?/?t) = τ??/Γ(2?α) b?(α)δ?f? ? Σ?????1 [b?????(α) ? b???(α)]δ?f? ? b???(α)δ?f

**数值方法验证**

首先，我们构造数值算例评估所提数值方法的有效性。基于速度、温度和浓度的分数阶控制方程（公式(16)–(18)），我们引入适当的源项构造具有已知精确解的耦合分数阶偏微分方程组：

(1 + ?αDt?)(?u/?t) + u = ?2u/?y2 + ?2u/?z2 + (1 + ?αDt?)θ + (1 + ?αDt?)C + g(y, z, t),

(1 + ?γDt?)(?θ/?t) = ?2θ/?y2 + ?2θ/?z2 + ?2C/?y2 + ?2C/?z2 + (1 + ?γDt?)(?u/?y)2 + (?u/?z)2 + f(y, z, t),

(1 + ?βDt?)(?C/?t) = ?2C/?y2 + ?2C

**结论**

我们建立了具有二维截面变化的矩形管道中全发展MHD流动、传热和传质的耦合分数阶模型。该模型为应力、热通量和质量通量记忆分配独立的Caputo阶次，同时保留浮力、交叉扩散、内部加热和化学反应。控制方程在时间上使用L1公式离散，在空间上使用Legendre–Gauss–Lobatto谱配置离散，并使用SOE近似来降低

**CRediT作者贡献声明**

马玉祥：原始论文撰写、软件、方法论、概念化。

迟小庆：论文审阅与编辑、软件、方法论、概念化。

姜晓云：论文审阅与编辑、监督、方法论、概念化。

**声明生成式AI和AI辅助技术在写作过程中的使用**

在准备本文过程中，作者使用DeepSeek改善了稿件的语言和可读性。使用此工具后，作者审阅并按需编辑了内容，并对发表文章的内容承担全部责任。

**利益冲突声明**

作者声明他们不存在任何已知的、可能影响本文所报告工作的财务利益冲突或个人关系。

**致谢**

本研究得到国家自然科学基金（批准号：12120101001和12401531）和山东省自然科学基金（批准号：ZR2024MA051和ZR2023QA072）的支持。

马玉祥 | 迟小庆 | 姜晓云