一种研究超铅核簇放射性的修正邻近方法

《Nuclear Physics A》：A modified proximity approach for studying cluster radioactivity in trans-lead nuclei

　　

# 摘要

受郭等人（Guo et al.）[Nucl. Phys. A 897, 54 (2013)] 和张等人（Zhang et al.）[Eur. Phys. J. A 49, 10 (2013)] 提出的普适函数的启发，并基于对核团发射体的理论半衰期与实验半衰期之间所观察到的差异的动机，我们引入了核团与重核之间核邻近势的普适函数的一个新的解析表示。利用目前获得的邻近势2010（Prox. 2010）中普适函数的公式，我们在Wentzel-Kramers-Brillouin（WKB）近似框架内计算了跨铅区域26个母核的团簇放射性衰变半衰期。通过将计算的半衰期与实验数据进行均方根偏差（RMSD）比较，评估了结果的准确性。我们的结果表明，一步过程中Prox. 2010的改进形式为已知核团发射体提供了与现有实验数据合理的一致性（σ=0.89）。作为比较，还使用原始版本的邻近势形式Prox. 2010、Zhang 2013和Guo 2013计算了核团衰变半衰期。此外，基于改进的Prox. 2010势，我们旨在预测51个母核的半衰期，这些核的质子数Z满足86 ≤ Z ≤ 96，其核团放射性在能量上是允许的或已被观测到，但尚未在NUBASE2020中进行定量研究。

## 1. 引言

不稳定核通过发射比α粒子重但比典型裂变碎片轻的核团进行自发衰变，如今从实验和理论角度来看已经成为一种公认的现象。事实上，核团放射性衰变是α衰变和自发裂变之间的一种中间衰变方式，其中母核衰变为双幻子核2??Pb或邻近的子核。1980年，Sandulescu等人（[1]）首次预测了核团放射性衰变或重粒子放射性衰变。1984年，Rose和Jones通过观测223Ra发射1?C首次提供了核团放射性衰变的实验确认（[2]）。迄今为止，已经实验观测到从各种跨铅区域母核中发射出多种核团（范围从1?C到3?Si）。这些衰变的部分半衰期范围从1011到103?秒，相对于α衰变的分支比从10??下降到10?1?。重核的核团放射性衰变从根本上可以描述为穿越势垒的量子隧穿现象。Wentzel-Kramers-Brillouin（WKB）近似是一种评估该现象的强大半经典方法。此外，发射核团与子核之间形成的库仑势垒通常由一个吸引性核势、一个排斥性库仑势和一个离心势之和确定。

核-核相互作用的计算，特别是其核势分量，通常很复杂。迄今为止，已开发出多种理论框架来评估这一贡献，包括双折叠模型（DFM）（[3]，[4]）、液滴模型（LDM）（[5]，[6]，[7]）以及邻近势形式体系的各个版本（[8]，[9]，[10]，[11]，[12]，[13]，[14]，[15]，[16]，[17]，[18]）。研究人员还有效地使用不同的模型来评估超重核中的核团衰变模式，例如参见文献[19]、[20]、[21]、[22]。需要注意的是，涉及各种势的计算通常假设核的形状为球形。然而，由于形变效应的影响，发射的核团和子核可能会偏离刚性球形形状。许多作者使用不同的理论模型研究了核团衰变半衰期中的形变效应（[23]，[24]，[25]，[26]，[27]）。例如，在多维核团预形成模型的框架内，考虑了沿势垒穿透路径的核团和剩余核的动态表面形变（[23]）。作者研究了以下核团衰变：22?Th → 2??Pb + 2?O，232U → 2??Pb + 2?Ne，23?Pu → 2??Pb + 2?Mg，以及2?2Cm → 2??Pb + 3?Si。结果表明，势垒周围核形状的动态形变在准确描述核团发射半衰期中起着重要作用。在Sawhney及其同事的另一次尝试中（[26]），使用预形成核团模型系统地研究了从跨铅区域九个母核中自发发射1?C核团。所得结果表明，对于1?C核团衰变，纳入高阶多极形变（高达十六极）是至关重要的。

邻近势模型是一种能够方便地确定核团与不同核之间核势的方法。该模型可以为核衰变研究提供有价值的支持。从物理角度来看，该势模型基于这样一个事实：当两个核彼此靠近到距离在几个费米（2–3 fm）以内时，由于表面邻近效应会产生一个附加力。该势主要被描述为两个因子的乘积：一个取决于两个核的形状和几何尺寸的因子，以及一个仅取决于两核之间短距离分离距离的普适函数。普适函数的概念是邻近势形式体系的基本优势。最初的邻近势1977（Prox. 77）由Blocki及其同事（[8]）提出。通常，核邻近势使我们能够研究各种物理效应对两个相互作用核之间核相互作用强度的影响。相应地，已提出了各种改进和修正以克服Prox. 77形式体系的不足之处。

2010年，Dutt和Bansal（[11]）通过使用适当的表面能系数、核半径和普适函数引入了一种Prox. 77的改进版本。他们将这一改进版本标记为"Prox. 2010"。在Zhang 2013方法（[28]）中，普适函数是使用密度依赖的CDM3Y6核子-核子相互作用，从系统的双折叠计算中推导出来的，基于靶荷量范围从Z = 48到92的α核体系。通过拟合计算值，获得了s? > -1时的普适函数的解析表达式，所得到的邻近势被证明能够以约三倍的因子再现重核的α衰变半衰期与实验值的一致性。相比之下，Guo 2013模型（[29]）在相同的双折叠框架内，通过分析从轻核到重核的数百个融合体系来确定普适函数。拟合得到的普适函数的解析形式成功地再现了实验库仑势垒高度，并且与原始Prox. 77势相比表现出更好的吻合度。

近年来，邻近势2010被认为是确定两个反应核之间核相互作用强度的最新和最成功的方法之一（[11]，[30]）。然而，可以证明，由该理论模型的原始形式推导出的总相互作用势的深度高于不同核团发射体的Q值。因此，无法通过求解方程V_tot(r_in) = Q来获得经典转折点。在这种情况下，我们无法通过一步过程（从内转折点r_in到外转折点r_out）估计穿透概率P的值。为弥补这一缺陷，在本文中，我们试图基于对实验测定的26个已知核团发射体半衰期的分析，提出Guo 2013和Zhang 2013所提出的普适函数的改进形式。使用在Prox. 2010势模型框架下目前推导出的普适函数表达式，我们计算了相应的核相互作用势，并在一步模型中基于WKB近似计算了核团衰变的理论半衰期。然后通过将计算的半衰期与可用的实验数据进行比较来评估改进普适函数的准确性。所得结果表明，与Prox. 2010、Guo 2013和Zhang 2013势的原始形式相比，在邻近势形式体系中采用改进的普适函数形式增强了与实验数据的一致性。本文组织如下。第2节介绍了用于计算核团衰变半衰期的形式体系。在本节中，还详细介绍了在Prox. 2010改进形式框架内核-子核体系中的总相互作用势。第3节重点讨论了本工作中获得的结果。从本次分析中得出的结论在第4节中给出。

## 2. 理论框架

本节概述了本研究中用于计算各种核团放射性衰变的半衰期和核-核势的方法。

### 2.1. 核团衰变半衰期的计算

根据WKB近似，核团衰变半衰期T?/?可以通过以下标准表达式计算：

(1) T?/? = ln(2)/λ = ? ln(2) / (2E_ν · P · P_c)

其中h表示普朗克常数。对于核团衰变过程，零点振动能E_ν通常表示为Q值和发射核团质量数A_c的函数：

(2) E_ν = Q [0.056 + 0.039 exp((4 - A_c)/2.5)]

在方程(1)中，P_c表示母核中的核团预形成概率，其由以下公式获得：

(3) P_c = 10^{-a√μ(Z_c Z_d)^{1/2} + b}

其中约化质量μ以核子质量单位计量，μ = A_c A_d / (A_c + A_d)，Z_c和Z_d分别为核团和子核的原子序数。此外，a和b是由Ni和Ren（[31]）提取的自由参数。P是穿越总相互作用势垒的穿透概率，可以在WKB近似框架内计算为：

(4) P = exp[-(2/?) ∫_{r_in}^{r_out} √(2μ(V_tot(r) - Q)) dr]

其中r_in和r_out分别表示内转折点和外转折点，可以通过求解方程V_tot(r_in) = V_tot(r_out) = Q获得。核团放射性衰变释放的能量Q可以通过以下公式获得（[32]）：

(5) Q = B(A_c, Z_c) + B(A_d, Z_d) - B(A, Z)

其中B(A, Z)、B(A_d, Z_d)和B(A_c, Z_c)分别为母核、子核和发射核团的结合能。注意，能量值取自AME2020（[33]）和NUBASE2020（[34]）。总相互作用势V_tot(r)由库仑项、离心项和核项组成：

(6) V_tot(r) = V_N(r) + V_C(r) + V_l(r)

库仑势定义为子核和发射核团的原子序数的函数：

(7) V_C(r) = e2 Z_c Z_d / r

其中r是子核中心与发射核团中心之间的距离。使用Langer修正方法，离心势V_l(r)的形式为：

(8) V_l(r) = ?2(l + 1/2)2 / (2μr2)

其中l表示发射核团携带的轨道角动量。

### 2.2. 改进的邻近势2010（Mod. Prox. 2010）

2010年，Dutt和Bansal提出了一种新的改进邻近势，称为Prox. 2010（[11]）。在邻近势2010的框架下，势的核部分可以计算为：

(9) V_N(r) = 4πγ b C_c C_d / (C_c + C_d) · Φ(ξ) MeV

其中b是取为1的表面宽度参数。此处，C_c和C_d分别为发射核团和子核的物质半径，其表达式为：

(10) C_i = c_i + N_i/A_i · t_i, (i = c, d)

要计算电荷分布的半密度半径c_i，可以使用以下关系：

(11) c_i = R_i (1 - 7b2/(2R_i2) - 49b?/(8R_i?)), (i = c, d)

此处R_i是核电荷半径，读作：

(12) R_i = 1.2332 A_i^{1/3} + 2.8961 A_i^{2/3} - 0.18688 (N_i - Z_i)/A_i · A_i^{1/3}, (i = c, d)

其中N_i、Z_i和A_i分别指发射核团和子核的中子数、质子数和质量数。在方程(10)中，核的中子皮t_i可以使用以下关系计算：

(13) t_i = (3/2) r? [J(N_i - Z_i)/A_i - (1/12) g Z_i/A_i^{-1/3} Q + (9/4) A_i^{-1/3}], (i = c, d)

此处r? = 1.14 fm，核对称能系数J = 32.65 MeV和g = 0.757895 MeV，中子皮刚度系数Q = 35.4 MeV（[11]）。在方程(9)中，γ是核表面张力系数（取决于中子/质子过剩），可以通过以下关系获得：

(14) γ = γ? [1 - k_s (N-Z)/(N+Z) 2] MeV/fm2

其中N和Z分别代表中子和质子的总数。此处，γ? = 1.25584 MeV/fm2和k_s = 2.345分别是表面能常数和表面不对称常数。在原始邻近势2010中，普适函数Φ(ξ = s/b = (r - C_c - C_d)/b)被参数化为三次指数形式：

(15) φ(ξ) = {
-1.7818 + 0.9270 ξ + 0.143 ξ2 - 0.09 ξ3, 对于 ξ ≤ 0.0
-1.7817 + 0.9270 ξ + 0.01696 ξ2 - 0.05148 ξ3, 对于 0.0 ≤ ξ ≤ 1.9475
-4.41 exp(-ξ/0.7176), 对于 ξ ≥ 1.9475

在本文中，我们提出了Zhang 2013（Guo 2013）普适函数的改进形式，基于对从各种母核中发射核团1?C、2?O、23F、2?,2?,2?Ne、2?,3?Mg和32,3?Si的计算半衰期与实验半衰期之间差异的分析，在WKB近似框架内进行。其形式如下：

(16) Φ(s) = p?? / (1 + exp((s + p??)/p??))

其中s = r - C_c - C_d是核的半密度表面之间的分离距离。注意，常数(p??, p??, p??)被视为可调参数，用于设定发射核团与子核之间核相互作用的强度。同时，一些作者研究了形变和取向在核团放射性衰变中的作用，并观察到1?C的行为与其他已观测核团相对不同（[26]，[35]，[36]）。

研究表明，高阶多极形变（β?、β?）对于解释测得的碳-14聚集体衰变至关重要。此外，碳-14是一个由闭壳中子数N=8组成的聚集体，而大多数实验上观测到的较重的聚集体并不具备与碳-14中N=8相当的中子幻数。在这些条件下，对于聚集体粒子碳-14，常数(???、???、???)取值为(?14.39、1.5、0.79)似乎是合理的，而对于其他聚集体，它们采用不同的值(?10.98、1.51、0.76)。为进一步深入理解，在图1中，我们展示了例如对于22?Th → 2??Pb+2?O和222Ra → 2??Pb+1?C衰变，Φ(s)随短距离分离s变化的不同形状。蓝色虚线代表当前对Φ(s)的拟合结果。作为比较，Zhang 2013、Guo 2013和Prox. 2010模型的结果分别用绿色短虚线、橙色点划线和红色实线表示。结果表明，随着s变得越来越负，各种通用函数公式之间的偏差增大。相反，当分离距离在正s区域增大时，它们趋于收敛到一个共同值。图1中另需注意的一点是，Φ(s)的当前公式以及Zhang 2013和Guo 2013模型推导的公式均来自双折叠方法，因此它们本质上不表现出小距离处的硬核排斥力。这一结果源于核邻近势VN(r)对通用函数的直接依赖关系。然而，可以看到所选的费米型表达式(16)在小距离处为核势强度提供了恒定且物理上合理的值。此外，它还保留了大分离距离处核相互作用的预期渐近行为。利用上述参数，我们构建了一种新的邻近势，使我们能够获得发射聚集体与子核之间核势的强度。我们将这种修改形式标记为"Mod. Prox. 2010"。请注意，聚集体衰变半衰期的实验数据???/?^exp取自参考文献[30]。

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图1. 衰变(a) 222Ra → 2??Pb+1?C和(b) 22?Th → 2??Pb+2?O的Φ(s)随短距离分离s变化的不同形状。蓝色虚线代表当前对通用函数的拟合结果。另外三条曲线分别对应Zhang 2013（绿色短虚线）、Guo 2013（橙色点划线）和Prox. 2010（红色实线）模型的结果。（关于图例中颜色的解释，请参阅本文的网络版本。）

### 2.3 经验公式和半经验公式

为了评估修改后的邻近势的可靠性，我们将其对聚集体放射性半衰期的预测与三种知名经验公式的结果进行比较：普适衰变定律（UDL）、Ni公式和标度定律（SL）。这些公式已成功应用于聚集体衰变过程，可作为有用的基准。

#### 2.3.1 普适衰变定律

2009年[37]，[38]，Qi及其同事提出了一种带电粒子发射的线性表达式，该表达式源自类似于α衰变的R矩阵理论。该表达式被称为普适衰变定律（UDL），可写为：

(17) log?????/? = ????_c ??_d √???? + ??√?? ??_c ??_d (??_c^1/3 + ??_d^1/3) + ??

其中Q为聚集体衰变中释放的能量，??为系统（子核加发射聚集体）的约化质量（以核子质量为单位），??_d和??_d为子核的质子数和质量数，??_c和??_c对应发射的聚集体。在公式(17)中，可调常数为??=0.4314，??=?0.3921，??=?32.7044。

#### 2.3.2 Ni公式

2008年[39]，Ni及其同事引入了一个统一的α衰变和聚集体衰变半衰期公式，该公式通过WKB近似并配合若干简化假设获得。该公式表示为：

(18) log?????/? = ??√?? ??_c ??_d ??^(-1/2) + ??√?? (??_c ??_d)^1/2 + ??

对于聚集体放射性，偶-偶母核的可调参数为??=0.38617，??=?1.08676，??=?21.37195，而奇A核采用??=?20.11223[39]。

#### 2.3.3 标度定律

2004年[40]，Horoi及其同事基于实验数据提出了第一个与模型无关的聚集体衰变标度定律（SL）。该定律可写为：

(19) log?????/? = (????^x + ??)[(??_c ??_d)^y ??^(1/2) ? 7] + (????^x + ??)

其中Q和??定义如上。可调参数为??=9.1，??=?10.2，??=7.39，??=?23.2，??=0.416，??=0.613[40]。

### 3. 结果与讨论

我们致力于研究当前获得的通用函数对从221Fr到2?2Cm母核发射1?C、2?O、23F、2?,2?,2?Ne、2?,3?Mg和32,3?Si聚集体衰变半衰期计算的影响。为此，第一步是分别使用Prox. 2010势的原始形式和修改形式绘制发射聚集体与子核之间的总相互作用势，如图2左面板所示（以23?Th → 2??Hg+2?Ne为例）。该图清楚地表明，原始邻近势2010产生的总相互作用势深度高于Q值。因此，经典转折点r_in无法从方程??^tot(r_in)=Q的解中获得。在这种情况下，可以得出结论，Dutt和Bansal提出的邻近势不适合在一步模型中计算聚集体放射性半衰期。同时，可以清楚地看到我们的修改Prox. 2010模型适用于在该框架下描述聚集体放射性。为进一步深入理解通用函数在聚集体放射性过程中的作用，图中右面板还展示了Zhang 2013和Guo 2013模型获得的相互作用势。从该图可以看出，修改后的Prox. 2010模型产生的势垒比Zhang 2013和Guo 2013模型获得的更高更宽。此外，不同核势的选择在小距离处导致巨大差异。相反，可以看到总相互作用势在大距离处保持基本恒定，这一效应应主要归因于两核之间的库仑相互作用。

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图2. 左面板：基于Prox. 2010势的原始形式和修改形式的2?Ne聚集体（23?Th衰变）的核-核势分布。右面板：与左面板相同，但分别对应Mod. Prox. 2010、Zhang 2013和Guo 2013势。黑色虚线表示Q值。

我们系统地使用修改后的邻近势2010计算了26个母核的聚集体放射性半衰期（针对所研究的聚集体发射体）。表1列出了计算的聚集体衰变半衰期及相应的实验值。在该表中，第一至第三列分别为聚集体衰变过程、释放能量Q和发射聚集体带走的角度动量?。聚集体粒子的最小角动量可通过以下选择规则获得：

(20) ?? = Δ??，当Δ??为偶数且??_p=??_d时
?? = Δ??+1，当Δ??为偶数且??_p≠??_d时
?? = Δ??，当Δ??为奇数且??_p≠??_d时
?? = Δ??+1，当Δ??为奇数且??_p=??_d时

其中Δ??=|??_p???_d???_c|，??_p、??_p，??_d、??_d和??_c、??_c分别代表母核、子核和聚集体核的自旋和宇称值。这些数据取自NUBASE2020[34]。表1最后五列显示了聚集体衰变半衰期的实验值以及由Mod. Prox. 2010、Prox. 2010、Zhang 2013和Guo 2013计算得到的值，均以对数形式呈现。从该表可以看出，最小的半衰期值属于Guo 2013模型，而最大的值由Prox. 2010模型的修改形式获得。还表明，由Mod. Prox. 2010势计算的值比其他先前版本的邻近势形式与实验数据更接近。

在图3中，将计算值与实验对数半衰期的差值对母核质量数进行了绘图。该图清楚地表明，在使用当前获得的通用函数解析公式修改Prox. 2010模型后，与实验值的偏差减小了。实际上，使用Mod. Prox. 2010模型获得的log??(???/?^exp/???/?^cal)值主要散布在零线附近（在?1到1的范围内），而Prox. 2010模型的偏差分布略为分散。在这种情况下，可以得出结论，一步过程中的Mod. Prox. 2010模型的表现优于其原始形式在两步过程中的应用[30]。图3中另需注意的一点是，基于密度相关核子-核子相互作用核邻近势的计算与聚集体放射性半衰期的实验数据存在显著差异。这意味着Zhang 2013和Guo 2013模型不适合描述聚集体放射性。

为了定量且比较性地检验聚集体衰变中计算半衰期与实验半衰期之间的偏差，我们使用均方根偏差（RMSD）??作为主要判据。该量的定义如下：

(21) ?? = √[(1/N)∑_{i=1}^{N} (log?????/?^exp,i ? log?????/?^cal,i)2]

其中N为评估??值时所涉及的母核数量。log?????/?^exp,i和log?????/?^cal,i分别为第i个母核的聚集体放射性半衰期的实验值和计算值的对数形式。当前所研究邻近势的RMSD计算值列于表2。从该表可以看出，最适合描述聚集体放射性过程的邻近势形式可由Mod. Prox. 2010模型获得（具有最低的均方根偏差??=0.89）。同时，基于Guo 2013和Zhang 2013模型的计算与实验数据存在巨大偏差。

尽管计算和实验聚集体衰变半衰期显示出良好的一致性，但有几次衰变表现出超过一个数量级的偏差。两个最大的负偏差出现在23?U → 211Pb+2?Ne（Δlog?????/? = log?????/?^exp ? log?????/?^cal = ?2.10）和23?U → 2??Hg+2?Mg（Δlog?????/? = ?2.20）中。在前一种情况下，非零角动量（?=1）向有效势垒引入了额外的离心贡献，而母核的奇A特性也可能引入结构效应，这些效应在本处理中未被明确包含。在后一种情况（?=0）中，可以排除离心势垒作为差异的原因。两个最大的正偏差出现在23?Pu → 2??Pb+2?Mg和2?2Cm → 2??Pb+3?Si中，其计算半衰期分别比实验值短约13.18倍和37.15倍。两次衰变都有?=0，表明离心效应无法解释这些偏差。

Q值是控制势垒穿透率并因此控制计算半衰期绝对大小的关键量。对于四个偏差最大的衰变，Q值范围为57.36至96.54 MeV，而对应的log?????/?差异从约?2.1变化至+1.6。特别是，涉及2?Mg发射的两次衰变——23?U → 2??Hg+2?Mg和23?Pu → 2??Pb+2?Mg——尽管发射的聚集体相同，却表现出符号相反的残差。这表明仅凭Q依赖的穿透率不足以解释观测到的偏差，还必须考虑额外的结构效应。

子核和发射聚集体的核形变可能对观测到的所选四个聚集体衰变中计算与实验半衰期之间的较大差异有所贡献。多维聚集体衰变计算表明，聚集体和子核的动力学形变可以显著改变势垒穿透率和半衰期[23]，[41]。在23?U → 211Pb+2?Ne和23?U → 2??Hg+2?Mg中，发射的2?Ne和2?Mg聚集体是形变的。因此，形变和相对取向效应可以改变相互作用势垒，并可能促成计算与实验半衰期之间的较大负偏差。在23?Pu → 2??Pb+2?Mg中，子核2??Pb是公认的球形双幻核，而2?Mg是形变的。因此，形变效应仍可通过聚集体及其相对于子核的取向产生。最后，在2?2Cm → 2??Pb+3?Si中，双幻子核2??Pb和3?Si聚集体本质上都是球形的。因此，对于该衰变通道，末态碎片之间的形变和取向效应预计影响最小。

表1. 实验聚集体衰变半衰期（秒）与使用Mod. Prox. 2010、Prox. 2010、Zhang 2013和Guo 2013模型计算值的比较。

Prox. 2010、Prox. 2010、Zhang 2013 和 Guo 2013 的团簇粒子发射势能为选定同位素的模型。

| 团簇 | 母核 | Q | ? | log??T?/? (s) 衰变 | (MeV) | 实验值 | Mod. Prox. 2010 | Prox. 2010 | Zhang 2013 | Guo 2013 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 21Fr → 2??Tl + 1?C | | 31.29 | 3 | 14.56 | 14.78 | 12.23 | 12.12 | 9.81 | | |
| 221Ra → 2??Pb + 1?C | | 32.40 | 3 | 13.39 | 13.59 | 11.09 | 10.94 | 8.65 | | |
| 222Ra → 2??Pb + 1?C | | 33.05 | 0 | 11.22 | 10.91 | 9.28 | 8.25 | 6.01 | | |
| 223Ra → 2??Pb + 1?C | | 31.83 | 4 | 15.05 | 14.71 | 12.11 | 12.04 | 9.72 | | |
| 22?Ra → 21?Pb + 1?C | | 30.53 | 0 | 15.87 | 15.77 | 13.72 | 13.10 | 10.73 | | |
| 22?Ra → 212Pb + 1?C | | 28.20 | 0 | 21.20 | 20.90 | 18.48 | 18.23 | 15.74 | | |
| 223Ac → 2??Bi + 1?C | | 33.06 | 2 | 12.60 | 13.15 | 10.63 | 10.50 | 8.21 | | |
| 22?Ac → 211Bi + 1?C | | 30.48 | 4 | 17.16 | 18.37 | 15.41 | 15.71 | 13.28 | | |
| 22?Th → 2??Pb + 2?O | | 44.72 | 0 | 20.73 | 22.23 | 18.96 | 16.87 | 13.71 | | |
| 232U → 2??Pb + 2?Ne | | 62.31 | 0 | 20.39 | 20.55 | 17.52 | 14.66 | 10.97 | | |
| 233U → 2??Pb + 2?Ne | | 60.49 | 2 | 24.84 | 24.58 | 20.91 | 18.68 | 14.87 | | |
| 23?U → 21?Pb + 2?Ne | | 58.83 | 0 | 25.93 | 25.83 | 22.14 | 19.92 | 16.00 | | |
| 23?U → 211Pb + 2?Ne | | 57.36 | 1 | 27.42 | 29.52 | 25.26 | 23.61 | 19.59 | | |
| 23?Th → 2??Hg + 2?Ne | | 57.76 | 0 | 24.63 | 24.89 | 21.47 | 18.99 | 15.16 | | |
| 231Pa → 2??Tl + 2?Ne | | 60.41 | 1 | 22.89 | 23.38 | 19.95 | 17.48 | 13.75 | | |
| 23?U → 2??Pb + 2?Ne | | 59.41 | 0 | 25.93 | 25.83 | 23.30 | 19.76 | 15.86 | | |
| 23?U → 2??Hg + 2?Mg | | 74.11 | 0 | 25.53 | 24.93 | 21.67 | 18.61 | 14.20 | | |
| 23?U → 2??Hg + 2?Mg | | 70.73 | 0 | 27.58 | 29.79 | 25.87 | 23.48 | 18.82 | | |
| 23?Pu → 2??Pb + 2?Mg | | 79.67 | 0 | 21.52 | 20.39 | 17.63 | 14.05 | 9.85 | | |
| 23?Pu → 21?Pb + 2?Mg | | 75.91 | 0 | 25.70 | 25.31 | 21.81 | 18.98 | 14.50 | | |
| 23?U → 2??Hg + 3?Mg | | 72.27 | 0 | 27.58 | 28.25 | 25.69 | 21.76 | 17.21 | | |
| 23?Pu → 2??Pb + 3?Mg | | 76.79 | 0 | 25.70 | 24.78 | 22.50 | 18.28 | 13.86 | | |
| 23?Pu → 2??Hg + 32Si | | 91.19 | 0 | 25.28 | 24.54 | 21.67 | 17.86 | 12.95 | | |
| 2?2Cm → 2??Pb + 3?Si | | 96.54 | 0 | 23.15 | 21.58 | 20.14 | 14.66 | 9.93 | | |
| 231Pa → 2??Pb + 23F | | 51.88 | 1 | 26.02 | 25.59 | 22.40 | 19.85 | 16.31 | | |
| 233U → 2??Pb + 2?Ne | | 60.70 | 2 | 24.84 | 24.70 | 21.63 | 18.72 | 14.91 | | |

图3. 实验团簇放射性半衰期与使用Guo 2013、Zhang 2013、Prox. 2010 [11] 和 Mod. Prox. 2010 计算所得结果的差异（以对数形式表示）。

表2. 使用四种不同版本的近邻势形式主义，实验值与理论值之间团簇放射性半衰期的均方根偏差σ，公式(21)。

| 近邻势版本 | Guo 2013 | Zhang 2013 | Prox. 2010 | Mod. Prox. 2010 |
|---|---|---|---|---|
| σ | 8.98 | 5.35 | 2.91 [30] | 0.89 |

在NUBASE2020中，有51种可能的团簇放射性候选核素，其团簇衰变在能量上允许或已被观测到，但尚未被量化。作为应用，我们打算将Mod. Prox. 2010势扩展到预测这些团簇放射性核素的半衰期。因此，我们使用修改后的Prox. 2010势形式，计算了从21?Rn（Z=86）到2??Cm（Z=96）范围内51个母核的团簇衰变半衰期。我们使用经验公式UDL、SL和Ni进行比较。所有预测结果列于表3中。该表的前四列分别对应母核、相应的发射粒子、团簇放射性的衰变能Q以及轨道角动量?。使用Mod. Prox. 2010模型以及Ni、UDL和SL经验公式的预测结果分别列在最后四列中。从该表可以明显看出，使用Mod. Prox. 2010模型计算的团簇衰变半衰期与所考虑的经验公式所得结果接近。为进一步深入了解，图4比较了使用修正近邻势和对上述经验公式计算所得的对数半衰期。从该图可以看出，使用Mod. Prox. 2010模型预测的结果与Ni的经验公式非常接近，最小均方根偏差为σ=1.362。这些依赖于模型的估计值提供了团簇放射性的潜在候选核素，可为未来实验搜寻提供有用的指导。

表3. 使用Mod. Prox. 2010势以及UDL、SL、Ni的经验公式预测的51种可能的团簇放射性核素的半衰期。

| 母核 | 发射粒子 | Q (MeV) | ? | log??T?/? (s) Mod. Prox. 2010 | Ni | UDL | SL |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 21?Rn | 1?C | 28.10 | 3 | 20.69 | 20.12 | 18.88 | 19.46 |
| 22?Rn | 1?C | 28.54 | 0 | 18.21 | 17.88 | 17.74 | 18.41 |
| 221Fr | 1?N | 34.12 | 3 | 24.43 | 20.65 | 19.62 | 19.11 |
| 223Ra | 1?O | 40.30 | 1 | 28.23 | 25.64 | 25.47 | 23.90 |
| 22?Ra | 1?C | 29.47 | 4 | 19.55 | 19.16 | 17.58 | 18.29 |
| 22?Ra | 2?O | 40.48 | 1 | 29.38 | 28.05 | 27.92 | 26.54 |
| 22?Ra | 2?O | 40.82 | 0 | 27.31 | 26.10 | 27.08 | 25.85 |
| 223Ac | 1?N | 39.47 | 3 | 16.41 | 13.22 | 11.30 | 11.56 |
| 22?Ac | 2?O | 43.09 | 1 | 25.37 | 24.25 | 23.58 | 22.67 |
| 22?Ac | 23F | 48.35 | 2 | 29.33 | 28.30 | 27.89 | 26.43 |
| 22?Th | 1?O | 45.73 | 0 | 19.24 | 17.13 | 17.27 | 16.66 |
| 22?Th | 1?C | 30.55 | 0 | 17.66 | 17.62 | 17.30 | 17.86 |
| 22?Th | 1?O | 44.20 | 4 | 23.33 | 20.96 | 20.08 | 19.19 |
| 22?Th | 22Ne | 55.74 | 0 | 27.19 | 25.01 | 26.15 | 24.04 |
| 22?Th | 2?O | 43.40 | 2 | 26.00 | 24.94 | 24.25 | 23.31 |
| 22?Th | 2?Ne | 57.83 | 3 | 26.21 | 25.19 | 24.68 | 23.26 |
| 231Th | 2?Ne | 56.25 | 2 | 28.69 | 27.79 | 27.42 | 25.70 |
| 231Th | 2?Ne | 56.80 | 2 | 28.27 | 27.98 | 27.52 | 25.98 |
| 232Th | 2?Ne | 54.67 | 0 | 30.06 | 29.24 | 30.36 | 28.25 |
| 232Th | 2?Ne | 55.91 | 0 | 28.92 | 29.36 | 30.27 | 28.56 |
| 22?Pa | 1?O | 45.87 | 2 | 21.49 | 19.31 | 18.27 | 17.53 |
| 22?Pa | 22Ne | 58.96 | 2 | 24.73 | 22.63 | 22.05 | 20.65 |
| 23?U | 22Ne | 61.39 | 0 | 21.06 | 19.14 | 19.52 | 18.58 |
| 23?U | 2?Ne | 61.35 | 0 | 22.10 | 21.28 | 21.72 | 20.76 |
| 232U | 2?Mg | 74.32 | 0 | 24.76 | 24.34 | 24.87 | 23.88 |
| 233U | 2?Mg | 74.23 | 3 | 26.18 | 25.73 | 24.91 | 23.99 |
| 23?U | 2?Ne | 57.36 | 1 | 29.52 | 28.88 | 28.39 | 26.66 |
| 23?U | 2?Ne | 57.68 | 3 | 29.58 | 29.49 | 28.95 | 27.33 |
| 23?U | 2?Mg | 72.43 | 1 | 28.59 | 28.33 | 27.63 | 26.30 |
| 23?U | 2?Mg | 72.48 | 3 | 28.98 | 29.25 | 28.52 | 27.24 |
| 23?U | 2?Ne | 55.95 | 0 | 30.61 | 30.02 | 30.98 | 28.89 |
| 23?U | 2?Ne | 56.69 | 0 | 30.39 | 31.08 | 31.93 | 30.11 |
| 23?U | 2?Mg | 70.73 | 0 | 29.79 | 29.62 | 30.38 | 28.56 |
| 23?U | 3?Mg | 72.27 | 0 | 28.25 | 29.29 | 29.74 | 28.51 |
| 23?U | 3?Mg | 69.46 | 0 | 32.54 | 33.74 | 34.52 | 32.49 |
| 231Np | 22Ne | 61.90 | 3 | 22.98 | 20.99 | 20.14 | 19.12 |
| 233Np | 2?Ne | 62.16 | 3 | 23.46 | 22.71 | 21.70 | 20.91 |
| 23?Np | 2?Mg | 77.10 | 2 | 23.64 | 23.32 | 22.08 | 21.88 |
| 23?Np | 3?Mg | 74.79 | 2 | 27.42 | 28.44 | 27.31 | 26.63 |
| 23?Pu | 2?Mg | 77.73 | 1 | 24.18 | 24.03 | 22.71 | 22.52 |
| 23?Pu | 2?Mg | 77.47 | 3 | 24.93 | 25.30 | 23.99 | 23.75 |
| 23?Pu | 32Si | 91.46 | 4 | 25.67 | 25.90 | 24.47 | 24.81 |
| 23?Pu | 3?Mg | 75.08 | 4 | 28.57 | 29.67 | 28.53 | 27.73 |
| 23?Pu | 3?Si | 90.87 | 1 | 26.73 | 28.36 | 26.67 | 27.15 |
| 23?Am | 2?Mg | 79.85 | 2 | 22.92 | 22.73 | 21.30 | 21.40 |
| 23?Am | 32Si | 94.50 | 3 | 23.44 | 23.80 | 21.94 | 23.08 |
| 2?1Am | 3?Si | 93.96 | 3 | 24.45 | 26.10 | 23.95 | 25.27 |
| 2??Cm | 32Si | 97.55 | 0 | 20.07 | 20.53 | 19.62 | 21.44 |
| 2?1Cm | 32Si | 95.39 | 4 | 23.93 | 24.41 | 22.44 | 23.64 |
| 2?3Cm | 3?Si | 94.79 | 2 | 24.96 | 26.81 | 24.55 | 25.92 |
| 2??Cm | 3?Si | 93.17 | 0 | 25.61 | 27.67 | 26.81 | 27.70 |

图4. 使用Mod. Prox. 2010势预测的团簇衰变半衰期与(a) SL、(b) UDL、(c) Ni的经验公式的预测结果比较，以对数形式表示。每个面板中还展示了我们的预测结果与经验公式结果之间的均方根偏差值。

4. 结论

综上所述，我们开发了一个适当的理论框架，作为一步模型描述了26种超铅核素的团簇放射性，该模型从内转向点到外转向点进行计算。该方法利用了一种核势，该核势是从常规的Prox. 2010势衍生而来，其中纳入了普适函数Φ(s)的一种新的解析表示。需要指出的是，最终的普适函数是通过优化理论与实验半衰期之间的一致性而获得的，并考虑了1?C团簇与其他发射体的不同行为。在研究所考察的团簇发射体的团簇放射性过程中，评估了修正近邻势2010的质量。结果表明，普适近邻函数Φ(s)不同形式的选取对确定核势在短距离处的径向行为起着决定性作用。我们的研究结果表明，应用目前所获得的普适函数弥补了Prox. 2010模型在确定内转向点方面的不足。我们通过与相应实验数据进行比较，计算不同母核的团簇放射性半衰期来评估该普适函数的准确性。Mod. Prox. 2010中最小的标准偏差表明，与包括Guo 2013、Zhang 2013和Prox. 2010在内的其他近邻势相比，该模型与实验值的吻合度更好。我们将Prox. 2010势的修改形式扩展到预测51种（Z≤96）母核的团簇放射性半衰期，这些核素的团簇放射性在能量上允许或已被观测到，但尚未在NUBASE2020中被量化。研究发现，目前修正的近邻势预测结果与各种经验公式合理吻合，尤其是与Ni的公式。这些依赖于模型的估计值可作为未来实验中探索新团簇放射性核素的有用指导。总之，本研究的结果表明，Mod. Prox. 2010势模型适用于处理团簇放射性问题。

作者贡献声明

M. Jalali Shakib：软件、资源、调查、资金获取、形式分析、数据整理。
F. Jalali Shakib：撰写——原稿、验证、软件、调查、资金获取、形式分析。
R. Gharaei：撰写——审阅与编辑、指导、项目管理、概念构思。
S.A. Alavi：调查、撰写——审阅与编辑。

M. Jalali Shakib | F. Jalali Shakib | R. Gharaei | S.A. Alavi