使用物理信息神经网络框架从散射相移构建反演势能：应用于中子-α散射

《Nuclear Physics A》：Constructing inverse potentials from scattering phase shifts using a physics-informed neural-network framework: Application to neutron-alpha scattering

　　

# 摘要

我们开发了一种物理信息神经网络框架，用于求解核物理中的逆散射问题，并将其应用于中子-α弹性散射的P3/2分波。径向势由前馈网络表示，其输出与高斯包络函数相乘，从而将有限程条件直接嵌入网络架构中，而非通过软惩罚项来实现。如果缺少包络函数，优化器产生的势会具有非消失的尾部，导致无论训练时长如何，所得相移始终与实验数据不一致，这表明硬结构约束对于获得核逆问题在物理上有意义解是必不可少的。在每个散射能量下，通过使用四阶龙格-库塔方法数值积分变分相移方程来产生相移，使得整个流程端到端可微。训练稳定收敛至约3×10??的损失值，并恢复出一个平滑的纯吸引型中心势，势阱深度为?60.48±0.01 MeV。在学习到的势上添加离心势垒后，揭示出一个明确的势垒-势阱结构，自然地解释了P3/2共振。提取出的共振参数Er=0.95 MeV和Γr=0.78 MeV，以及P波有效程参数，均与预期值吻合良好。留一法分析证实，重建结果对任意单个数据点的移除具有稳健性。这些结果表明，所提出的物理信息神经网络框架为从核散射数据中重建势提供了一种可靠且可解释的途径。

## 1. 引言

核散射实验长期以来一直是探测核力性质最重要的实验工具之一[1]。当两个原子核以低至中等能量碰撞时，散射粒子的角分布和能量依赖性携带了关于底层相互作用势的详细信息[2]。因此，从测量数据中提取势，即所谓的逆散射问题，自核物理领域创建之初就一直是其核心目标之一[2]、[3]。这一问题的重要性远远超出了纯理论的范畴：可靠的核势是宇宙学反应网络计算中不可或缺的输入，是初等许多体方法的基准，并直接应用于核数据评估[4]。尽管历史悠久，逆问题仍然确实困难。它本质上是不适定的，许多不同的势可以重现同一有限的相移集合，因此任何可靠的重建都必须纳入额外的物理信息来正则化解并提高其稳定性。在本逆问题中，应当谨慎地理解唯一性。在有限能量区间上的有限相移集合并不能唯一确定一个不受限制的相互作用势。本方法的目标不是建立逆问题的数学唯一性，而是在一个物理上有动机的可容许势类中获得稳定且可重复的代表性解。神经网络架构通过直接强制有限程行为来提供这种正则化，而散射方程和额外的平滑性约束则进一步限制了解空间。

在最轻的核系统之中，中子-α（n-α）散射过程是最简单的核子-原子核系统之一，因为它涉及中性弹丸和一个紧密结合的自旋为零的α粒子，在低散射能量下其内部自由度被有效冻结，从而将问题简化为一个核子与惰性核心的相互作用。

该系统的相移数据自1960年代后期以来已可在宽广的能量范围内获得，其中Satchler等人的测量提供了一个基准数据集，涵盖从远低于1 MeV到约18 MeV的实验室能量范围[5]。尽管该系统简单，但表现出非平凡的动态行为，包括在质心能量Er=0.92 MeV附近P3/2通道中著名的?He共振，这为P波相互作用提供了灵敏的检验[6]、[7]。若干从头算计算，包括近期的手征有效场论方法，都尝试从第一性原理出发描述n-α系统[7]、[8]，但从散射数据直接构建一个简单且物理上透明的有效势本身仍然是一个相关的且具有启示性的问题。多年来，人们一直致力于从相移重建n-α相互作用，并开发了多种方法，取得了不同程度的成功。唯象光学模型将势表示为参数化函数，最常见的是Woods-Saxon形式[9]，通过调整参数直到计算的相移或截面与实验数据吻合。这种方法简单直接，应用广泛，但函数形式的选择引入了难以量化的偏差：如果真实势并不类似假定的阱形，拟合可能仅在拟合所使用的能量范围内保持准确，而无法预测范围外的性质。

R-矩阵理论[10]、[11]通过在一个有限的匹配半径内以能量无关的基态展开内部波函数，提供了一个更系统的框架。它自然地与反应理论相联系，已被广泛应用于轻核系统，但仍然需要选择道半径和基态数目，在另一个层面上引入了模型依赖性。对于像?He这样共振宽且与连续谱重叠的系统，极点展开在整个感兴趣能量范围内的收敛性并不能得到保证。直接反演方法，例如基于Gel'fand-Levitan或Marchenko积分方程的方法[3]，原则上是精确的：给定所有能量上的完整相移信息，它们可以唯一确定势。然而，实际上实验数据仅在离散能量和有限能量范围内可用，因此必须在未测量能量处用理论假设补充输入。所得势对这些假设很敏感，且实验不确定度通过反演核的传播在技术上具有挑战性。近期，我们课题组使用遗传算法结合参考势方法，解决了若干核散射系统的重建问题，并为α-12C、核子-氘核、n-p、p-p和α-氘核散射等系统构建了逆势[12]、[13]、[14]、[15]、[16]。该系列工作表明，基于种群的优化即使在共振和近阈值系统中也能识别出物理上有意义的势。然而，此类元启发式方法计算量大，关键的是，它们缺乏解析梯度。梯度信息的缺失限制了对高维参数空间的扩展性，并使通过标准统计工具进行系统不确定度评估困难得多。这些局限性激励我们寻求基于梯度的替代方案。过去十年间，机器学习已渗透到核物理和强子物理中[17]，应用范围从核质量插值[18]和密度泛函模拟[19]，到加速耦合簇和无核壳模型计算[20]。在核反应领域，已为光学模型截面[21]和宇宙学S因子[22]构建了机器学习模拟器，而神经网络波函数最近也被用于求解轻核的许多体薛定谔方程[23]。

在这一更广泛的趋势中，物理信息神经网络（PINNs）[24]、[25]作为一种强大框架出现，用于将控制物理规律纳入基于神经网络的训练中。

物理信息神经网络方法提供了一种将控制物理规律纳入基于神经网络训练的通用框架。在传统的基于残差的PINN公式[24]中，神经网络通常表示微分方程的解，相应的微分方程残差被显式地包含在训练目标中。然而，对于逆问题而言，未知量本身未必是控制方程的解。在本问题中，要重建的量是相互作用势V(r)，而实验可测量的量是散射相移。

因此，我们通过在可微前向模型中纳入控制性变分相移方程，用神经网络表示未知相互作用势来构建逆问题公式。对于每组网络参数，网络生成一个试验势，该势通过可微龙格-库塔积分器经变分相移方程传播，以获得对应的相移。相移残差随后提供训练信号，自动微分将所得梯度通过数值求解器传播以更新网络参数。因此，控制物理规律是学习过程不可分割的一部分，而非训练后的验证步骤。这种公式与传统基于残差的PINN架构不同，我们因此使用"物理信息神经网络框架"这一术语，以强调神经表示、物理约束和控制性散射方程在一个单一的可微逆学习程序中被耦合在一起。

物理信息逆学习中的一个重要方法论问题是物理知识应如何编码在网络架构中。大多数PINN实现将物理约束表达为损失函数中的软惩罚项，这仅仅是对约束违规进行抑制而非防止。对于此处考虑的短程核相互作用而言，有限程行为是一个物理上有动机的约束，而非可选的数值便利。仅将其编码为惩罚项会留下解决方案获得低损失值但表现出定性错误的长程行为的可能性，这是我们在本文中明确记录的失效模式。

在本工作中，我们开发了一个物理信息神经网络（PINN）框架，用于核子-原子核散射中逆势的重建，并将其应用于中子-α（n-α）散射的P3/2分波。在获得学习到的中心势后，我们引入离心项构建有效势。随后计算分波截面，从中提取共振能量和宽度。此外，还计算了低能P波有效程参数。为了评估重建势的稳健性，采用留一法交叉验证程序进行了全面的灵敏度分析。所有提取的量均与现有实验数据和已确立的理论计算进行了比较。

## 2. 方法

我们用单一分波（轨道角动量为?）下的有效局域中心势V(r)来描述n-α弹性相互作用。由于在考虑的能域中?He共振结构主要由P3/2通道主导，我们将当前分析限于?=1分波。我们用有效中心势表示相互作用，不包含显式的自旋-轨道项；因此，本计算不能独立区分P1/2和P3/2通道。自旋-轨道耦合的纳入超出了本工作的范围，留待今后扩展。

为了从V(r)计算散射相移，我们使用Calogero的变分相移方法[26]、[27]，该方法将径向薛定谔方程重新表述为一阶非线性初值问题。与直接求解薛定谔方程再进行渐近匹配相比，这种形式具有若干实际优势，并且特别适合本逆问题，如下文所述。

对于给定的散射能量E和分波?，变分相移方法定义了一个径向相位函数δ(r; E)，满足[28]：

$$\frac{d\delta(r;E)}{dr} = -\frac{1}{kV(r)}\left[\cos\delta(r;E)\hat{j}_\ell(kr) - \sin\delta(r;E)\hat{n}_\ell(kr)\right]^2 \tag{1}$$

边界条件为δ(0; E)=0。其中：

$$k = \sqrt{\frac{2\mu E}{\hbar}} \tag{2}$$

是质心系中的相对波数，μ = m?mα/(m?+mα) 为约化质量，j?_?和n?_?分别为第一类和第二类Riccati-Bessel函数。物理散射相移由渐近值得到：

$$\delta_\ell(E) = \lim_{r\to\infty} \delta(r;E) \tag{3}$$

对于此处报告的数值计算，我们在网格r ∈ [r?, 10.0] fm上，以步长Δr = 0.01 fm积分式(1)。积分从r? = 0.01 fm开始而非原点开始，以避免第二类Riccati-Bessel函数n?_?(kr) ~ (kr)^(-?)在r→0时的1/r发散；由于势在该区域内有限且平滑变化，从r?开始引入的误差可以忽略不计。步长的选择经过了收敛性检验：将Δr减半至0.005 fm后，数据集中所有能量下的计算相移变化均小于0.01°，确认解在Δr = 0.01 fm下已充分分辨。本工作中采用如下参数值：m? = 939.565 MeV/c2和mα = 3727.379 MeV/c2，给出μ ≈ 750.408 MeV/c2。实验数据集[5]中的实验室能量通过非相对论关系E_cm = [mα/(m?+mα)]·E_lab转换到质心系。

式(1)的两个特性使其在本场景中特别具有吸引力：

- 作为初值问题，可以使用标准龙格-库塔积分器求解，无需射击法或渐近边界匹配程序。
- 数值积分对神经网络生成的势值是可微的。

因此，最终相移δ_θ(E)对网络参数θ是可微的。

因此，自动微分[29]将基于相移的损失函数的梯度通过龙格-库塔求解器传播到网络参数，提供了一个端到端可微的映射：

(4) ?? → ??_??(??) → ??_??(??) → ?。

变量相移方程因此在训练过程中充当基于物理的可微前向模型，而不仅仅用于训练后的验证。

**2.1 神经网络架构**

未知的径向势被表示为：

(5) ??_??(??) = ??_??(??) · exp[?(??/??)2]，

其中 ??_??(??) 是一个参数为 θ 的前馈网络，而尺度为 ?? = 3.0 fm 的高斯包络直接在架构层面强制施加了有限程条件。在 ?? = 3?? = 9 fm 处，远超任何具有物理意义的核力作用范围，包络已将势抑制了 ???? ≈ 10?? 倍，确保 ??_??(??) 在尾部区域指数衰减趋于零。我们验证了在 2.5 到 4.0 fm 之间变化 ?? 不会对重建的势或拟合的相移产生任何有意义的改变，确认了结果对该架构选择的鲁棒性。网络 ??_?? 由一个输入层（单个节点接收缩放坐标 ??/6）、两个各含 64 个节点且使用双曲正切（tanh）激活函数的隐藏层，以及一个线性输出节点组成。缩放 ??/6 将物理范围 [0, 10] fm 映射到大约 [0, 1.67]，使网络输入保持在 tanh 激活函数的良好行为区域内，避免训练初期的过早饱和。每层 64 个节点的宽度是在小规模超参数搜索后选择的；较窄的网络（32 个节点）收敛速度略有减慢，而较宽的网络（128 个节点）在更大计算代价下产生了无法区分的结果。

有必要明确指出，如果公式(5)中没有高斯因子会发生什么，因为这种对比具有启发意义。当原始网络输出 ??_??(??) 被直接用作势时，会出现三个相互关联的问题：

**1. 渐近不趋于零：** 具有 tanh 激活函数的有限权重前馈网络的输出一般不随 ?? → ∞ 而收敛于零。它可能趋近一个非零常数，围绕某一基线振荡，或者根据训练过程中达到的权重值表现出不规则行为。这些行为无一与核势必须满足 ??(??) → 0（?? 远超强相互作用作用范围）的条件相符，而这一条件是整个相移形式体系的基础。违反该条件会引入一个虚假的长程哈密顿量，从而扭曲散射边界条件。

**2. 系统性相移误差：** 由于公式(1)是从 ?? = ??? 到 ?? = 10 fm 对势进行积分的，势的任何非零尾部都会在整个积分范围内累积贡献于相移。在实践中，训练不受约束的网络会导致相互作用强度被分散到大值 ?? 区域，而那里本应可以忽略不计。由此产生的模型相移相对于实验数据出现系统性偏移，即使经过数千个训练周期后仍然存在。共振能量依赖性——P?/? 通道中最具诊断性的特征，即相移快速经过 90° 的上升——被再现得很差，高能行为在定性上也是错误的。

**3. 粗糙的损失景观与缓慢收敛：** 没有包络时，优化器可以自由地将相互作用强度分布在径向轴的任何位置。这极大地扩展了搜索空间的有效维度，并引入了许多局部极小值，这些极小值对应于具有长程尾部的势，而这些尾部恰好部分相互抵消了各自的相移贡献。在重复实验中，训练损失对网络初始参数表现出更大的敏感性，由此产生的势在其长程行为上可显示出显著的差异。这些解与所假设的核相互作用短程性质的一致性较差，因此不太适合当前的逆重建。

乘以高斯包络同时解决了这三个问题。无论 θ 在训练期间或之后取何值，??_??(??) 都被保证在 ?? ? ?? 时指数衰减趋于零。这一硬约束是在架构上施加的，在任何梯度计算之前。因此，优化器被限制在满足规定短程渐近行为的函数子空间中。这减少了允许的函数空间，并提供了一种具有物理动机的正则化形式，同时在散射数据相关的相互作用区域保留了相当大的灵活性。核心思想是：对于未知函数的渐近行为已知（由物理考虑得出）的逆问题，将此信息直接纳入神经网络架构可以提供比仅依赖惩罚项更强的正则化效果。软惩罚仅是不鼓励偏离预期行为，但不能完全消除偏离。相比之下，使用高斯包络通过构造方式限制了允许的势函数类别。在本工作中，这一架构约束被用来将核相互作用物理上预期的短程性质明确地纳入逆表示中。

**2.2 损失函数**

可训练的量是神经网络参数 θ；径向网格点上的势值以及相移都不被独立优化。对于给定的 θ，网络首先生成 ??_??(??)，然后对变量相移方程进行积分以获得 ??_??(???)，所得到的相移进入以下损失函数：

(6) ? = ?_data + ????_smooth + ????_range + ??_??_low，

其中 ??? = ??? = 10?2，??_? = 10?3 分别对应平滑损失、有限程损失和低能损失等各项的权重。各个损失项描述如下。

**数据保真度**

(7) ?_data = (1/??) ∑???? ??? [??_model(???) ? ??_exp(???)]2，

??? = 1 / (1 + |??_cm? ? ???|)，

其中 ??? = 0.92 MeV 是 ?He 中 P?/? 通道实验已知的质心系共振能量[6]。权重 ??? 在共振附近最大，在相移变化最快的能量区域施加更强的关注。这一选择在不对任何数据点进行舍弃的情况下加速了对谱中最具动力学意义特征的习得。

**平滑正则化**

(8) ?_smooth = (1/???) ∑? [Δ2??_??(???)]2，

其中 Δ2 是在径向网格上计算的二阶有限差分，求和遍历所有 ??? 个网格点。仅凭相移数据约束的是势的积分效应，对积分结果为零的高频振荡则几乎不敏感；这一项明确抑制了此类非物理振荡，并引导优化器趋向光滑、物理上可解释的解。

**有限程增强**

(9) ?_range = (1/??>) ∑_{???>4fm} ??_??(???)2，

其中 ??> 是 4 fm 以外的网格点数。虽然高斯包络已保证 ??_??(??) 指数衰减，但这一项提供了额外的梯度信号，主动地将势在尾部区域导向零，加速了截止半径附近的收敛。它对总损失的贡献很小（??? = 10?2），并不替代架构层面的强制，而是在训练早期——网络权重远离收敛值时——作为补充。

**低能阈值约束**

对于 ? = 1 势，有效范围理论要求 ???(??)/??3 → ?1/??? 当 ?? → 0，其中 ??? 是 P 波散射体积[30]。我们通过以下项鼓励这一行为：

(10) ?_low = (1/5) ∑???? [??_model(???)/???3 ? ???/??3?]2，

对数据集中最低的五个能量求和，其中 ???/??3? 是同样这五个点上 ??_model/??3 的均值。与其强制施加散射体积的特定值，不如说这一项惩罚偏离阈值处平坦 ??/??3 比值的偏离，而这正是 P 波有效范围理论的本质内容。从这个意义上说，?_low 充当相移曲线低能尾部的平滑约束，在不需要 ??? 先验知识的情况下稳定训练。

**2.3 训练过程**

优化不使用任何参考势、唯象势或预先拟合的相互作用势进行初始化。具体而言，没有使用 Woods-Saxon、光学模型或其他唯象势作为初始猜测或参考势。神经网络权重和偏置随机初始化，相应的初始试探势直接由公式(5)生成。文献[5]中完整的 22 个相移值数据集在每一个更新步骤中都被使用（全批次训练）。在每次优化步骤中，用当前网络参数 θ 生成 ??_??(??)；然后对所有 22 个实验能量积分变量相移方程，所得到的相移用于计算复合损失，自动微分计算 ???/??θ 供 Adam 更新使用。网络参数使用 Adam 优化器[31]在固定学习率 10?? 下更新。训练运行 6000 个周期；我们验证了所有损失分量在此点之前就已平稳，将训练延长至 10,000 个周期对重建的势或相移不产生可测量的改变。该选择对解敏感性的量化在下文描述的鲁棒性测试中明确给出。所有计算在 Python 3.12.3 环境下进行，使用 PyTorch 2.7.0 进行自动微分以将梯度通过龙格-库塔积分传播[29]，NumPy 1.24.0 进行数值运算，SciPy 1.11.0 进行有效范围参数的最小二乘拟合。对全批次 22 个相移值数据集训练 6000 个周期，在第13代 Intel(R) Core(TM) i7-1360P CPU（2.20 GHz，12 个物理核心，16 个逻辑处理器，15.6 GB 内存）上大约需要 30 分钟完成，无需 GPU 加速，展示了本方法的计算效率。框架示意图见图 1。本工作中使用的源代码，包括 PINN 架构、龙格-库塔变量相移求解器和训练流程，可在 GitHub[32]上获取。

**2.3.1 优化算法**

逆重建通过以下迭代优化程序完成：

1. 随机初始化神经网络参数 θ。
2. 在径向网格上评估神经网络输出 ??_??(??)，并构造试探势为：
(11) ??_??(??) = ??_??(??) · exp[?(??/??)2]。
3. 对于每个实验能量 ???，使用可微的四阶龙格-库塔方法求解变量相移方程，并获得相应的相移 ??_model(???; θ)。
4. 从计算的相移和实验相移以及正则化项中评估总损失 ?(θ)。
5. 使用自动微分通过完整前向模型计算梯度：
(12) ?_θ? = ???/??θ。
6. 使用 Adam 优化器，学习率 10?? 更新神经网络参数。
7. 重复步骤 2–6，直到达到所需的训练周期数。收敛后，最终重建的势 ??_??(??) 由优化后的网络参数获得。

**2.4 鲁棒性测试**

为评估学习到的逆势的可靠性，我们进行了三类测试。

1. **初始化敏感性。** 模型从神经网络参数的十种不同随机初始化重新训练。将所得到的重建势和相移在独立运行之间进行比较。各次重建之间的一致性被解读为在采用的势类内经验优化稳定性和可重复性的证据。
2. **周期敏感性。** 分别在 500、1000、2000、4000、6000 和 10,000 个周期处停止训练，以描绘解收敛到最终形式的速度和平滑程度。
3. **留一法（LOO）分析。** 模型重新训练 22 次，每次从训练集[5]中移除一个数据点。所得到的势集合的离散程度量化了逆解对单个测量的敏感性。

**3 结果与讨论**

**3.1 训练收敛性**

训练损失随周期的演化如图 2 所示。从接近 1 的值开始，? 在前 3000 个周期内下降四个数量级，随后稳定在约 3×10?? 附近。下降过程在大多数训练过程中是平滑且单调递减的。在第 5300 个周期附近可见的轻微瞬态凸起源于数据保真度梯度与平滑梯度之间的短暂竞争，并在数百步内自动解决，对收敛解没有留下持久印记。

**3.2 重建的中心势**

学习到的中心势 ??_??(??) 显示在图 3 左侧。其轮廓纯粹为吸引势，达到约 ?60.47 MeV 的最小值，并在 ?? ≈ 4 fm 之外平滑返回零；短距离处没有排斥核心。

图 1. PINN 框架示意图。

图 2. 训练损失随周期变化的对数标度曲线。损失下降四个数量级并稳定在约 3×10?? 附近，表明优化过程条件良好，没有过拟合的迹象。

损失能够如此干净地收敛，在某种程度上是势试探函数架构选择的直接结果。众所周知，不适定逆问题的损失景观中包含复杂的伪谷和鞍点[33]。通过对网络输出施加高斯包络，非物理的长程自由度被有效消除。正是这些参数空间中的方向导致了前述的拓扑复杂性。这里观察到的干净收敛因此以透明的方式反映了这一内建物理约束的正则化效益。

图 3. 左图：P?/? 通道的学习中心势 ??_??(??)。轮廓纯粹为吸引且平滑，在 ≈ 4 fm 之外趋于零。右图：有效势 ??_eff(??) = ??_??(??) + ??_cf(??)，显示了负责 P?/? 共振的势垒-势阱结构。

插图：势阱最低点与离心势垒峰放大视图。对于 P_{3/2} 分波，该形状在物理上是合理的。在 ? ≥ 1 的分道中，入射中子与 α 团簇组成核子之间的泡利阻塞效应远弱于 S 波散射，因此有效中子-α 相互作用在核内部的主导贡献在全域均为吸引。此外，α 粒子是一个强束缚、自旋为零的复合体，中子将其视为整体而非与单个核子耦合。对团簇内自由度的平均自然抹平了裸核子-核子相互作用中的硬核成分，从而产生此处所见到的光滑纯吸引势轮廓。V_θ(r) 中无振荡也证实了光滑度惩罚项 ?_smooth 按预期运作，而有限程高斯包络则在优化过程中无需额外施加张力的情况下保证了正确的渐近行为。

包含离心项的有效势

在学习得到的中心势中加入离心项后，有效势取如下形式：

(13) V_eff(r) = V_θ(r) + ?(?+1)?2 / 2μr2，

结果如图 3 右侧所示。纯吸引的中心势被转变为显著的势垒-势阱结构。势阱深度 V_min = ?13.6 MeV，中心位于 r ≈ 1.71 fm 处；离心势垒峰值 V_CB = +2.03 MeV，出现在 r ≈ 4.98 fm 附近。

该拓扑结构为观测到的共振提供了直观的解释：能量接近势垒高度的中子入射到 α 粒子上时，可被暂时困在吸引势阱中，形成寿命有限的准束缚态，随后隧穿势垒逃逸至连续态。在困陷期间，相移快速经过 90°，这正是共振的运动学标志。提取的势参数为：

[r_min, V_min] = [1.71 fm, ?13.60 MeV]，[r_CB, V_CB] = [4.98 fm, +2.03 MeV]。

利用重建的势，在 0.01–25 MeV 能量范围内计算了 P_{3/2} 相移，并与 Satchler 等人 [5] 的数据在图 4 中进行了比较。网络仅在 0.3–18 MeV 区间训练，因此 0.3 MeV 以下和 18 MeV 以上的相移属于模型外推预测，分别延伸到低能和高能区域。在整个评估范围内，模型与参考数据吻合良好。具体而言，模型再现了约 0.9 MeV 附近相移快速升至 90° 的过程，约 2–4 MeV 区间内 120°–125° 的宽平台，以及 18 MeV 时相移逐渐降至约 93° 的趋势。预测曲线的光滑连续特征表明，网络在训练能量之间具有良好的泛化能力，未对个别数据点过拟合。

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图 4. n-α 散射 P_{3/2} 相移随实验室能量 E_n 的变化。实线为本 PINN 结果；实心圆点为 Satchler 等人 [5] 的期望值。

3.3. 残差分析

逐点残差 Δδ = δ_model ? δ_exp 在图 5 中作为实验室能量的函数绘制，所有 22 个训练点的残差均在 ±1.4° 以内。全数据集的均方残差为 Δδ_mse = 0.5°。残差分布大致关于零对称，且不随能量呈现可辨识的趋势，这正是模型均匀拟合数据而非在某特定能区挣扎的预期特征。在 E_lab ≈ 8–10 MeV 附近的残差略大，这在物理上可以理解：在共振峰之外，相移随能量的变化缓慢，降低了损失函数中的有效梯度信号，导致相应位置的局部收敛不够紧密。这不意味着存在系统性偏差。

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图 5. 残差 Δδ = δ_model ? δ_exp 随实验室能量的变化。所有 22 个残差均在 ±1.4° 以内；均方值为 0.5°。

3.4. 分波截面与共振参数

由计算所得的相移，? = 1 的分波截面由下式给出：

(14) σ_1(E) = 4πk2(2?+1)sin2δ_1(E)，

如图 6 所示，将其作为质心能量 E_cm 的函数绘出，并与实验值（括号内）对比。在 E_cm = 0.95 MeV 处出现一个清晰的共振峰，宽度 Γ = 0.78 MeV。与 R-矩阵结果和实验值的定量比较见表 1。共振能量 E_cm = 0.95 MeV 与实验值 0.92 ± 0.04 MeV [34] 的偏差在 0.03 MeV（≈3%）以内。计算的共振宽度 Γ = 0.78 MeV 介于 R-矩阵值 0.64 MeV（在道半径 a = 3.3 fm 处评估）[35] 与由总截面测量的实验值 1.2 MeV [34] 之间。已有充分证据表明，R-矩阵极点的宽度对道半径非常敏感，较小的 a 值导致较窄的共振 [36]。本工作结果自然地落在两个参考值之间，如表 1 所示。

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图 6. ?He(n,n)?He 的 P_{3/2} 道分波截面 σ_1(E) 随质心能量的变化。

表 1. ?He(n,n)?He 的 P_{3/2} 共振参数比较：本模型、R-矩阵分析 [35] 与实验 [34]。

| 参数 | 本模型 | R-矩阵 [35] | 实验 [34] |
|------|--------|-------------|-----------|
| 共振能量 E_cm (MeV) | 0.95 | 0.77 | 0.92 ± 0.04 |
| 共振宽度 Γ (MeV) | 0.78 | 0.64 | 1.2 |

3.5. 有效程参数

在低能区，P 波相移遵循有效程展开 [30]、[37]：

(15) k3cotδ_1 = ?1/a + (1/2)r?k2 ? (1/4)Pk? + ?，

其中 a 为散射体积，r? 为有效程，P 为形状参数。

将式 (15) 拟合到训练集中能量最低的前五个模型相移，涵盖 E_cm ≈ 0.3–1.5 MeV 范围，在该区间内截断至 k? 阶的展开是合理的。实际上，式 (15) 是关于 k2 的多项式：

(16) k3cotδ_1 = A + Bk2 + Ck? + ?，

其中 a = ?1/A，r? = 2B，P = ?4C。系数 A、B、C 通过标准非线性最小二乘拟合确定，其统计不确定度 σ_A、σ_B、σ_C 由拟合协方差矩阵的对角元素给出。物理参数的不确定度则通过解析传播得到：

(17) σ_a = σ_A/A2，σ_{r?} = 2σ_B，σ_P = 4σ_C。

所得参数列于表 2，并与 Arndt 等人 [37] 的分析结果并列。

表 2. PINN 模型的 P 波有效程参数与 Arndt 等人 [37] 分析结果的比较。不确定度为通过式 (17) 传播 k3cotδ_1 最小二乘多项式拟合协方差矩阵所得的一倍标准偏差估计值。

| 参数 | PINN | Arndt 等人 [37] |
|------|------|-----------------|
| 散射体积 a (fm3) | ?62.182 ± 0.940 | ?62.951 ± 0.003 |
| 有效程 r? (fm) | ?0.867 ± 0.007 | ?0.8819 ± 0.0011 |
| 形状参数 P (fm?) | ?2.653 ± 0.032 | ?3.002 ± 0.062 |

散射体积和有效程与参考值的偏差分别在 1.2% 和 1.7% 以内，考虑到这两个量在训练过程中并未被直接约束，这一吻合程度令人满意。形状参数 P 的偏差较大，约为 12%，因为 P 对 k 的高次幂敏感，因而探测的是势的短距离特征，而参与拟合的几个最低能数据点对这些特征的约束相对较弱。

3.6. 稳健性分析

我们进行了三项独立测试，以验证重建的势并非特定算法选择的伪影。

初始化敏感性：网络从 10 个不同随机初始化（种子分别为 2、10、20、30、40、100、200、1000、2000 和 2026）重新训练。在所有情况下，重建的势 V_eff(r) 在绘图精度内与基线结果不可区分。这种跨种子的再现性表明，训练过程中所遇到的损失景观在相关参数区域内实际上呈单峰，此处报告的解并非单一有利起点的侥幸结果。

轮次敏感性：分别在 500、1000、2000、4000、6000 和 10000 轮次处停止训练，以考察收敛行为。在 3000 轮之前停止会产生明显偏高的残差，势的形态也尚未收敛至最终形状。在 4000 至 6000 轮之间曲线仅有微小变化，超过 6000 轮的延长训练在拟合质量或恢复的势方面均未带来可测量的改善。基于此，本工作全程采用 6000 轮、学习率 10?? 作为训练预算。

留一法分析：三项测试中最严格的是留一法（LOO）集成，如图 7 所示。模型重新训练 22 次，每次各留出一个不同的数据点不参与训练，所得有效势叠加形成展宽带。在有效势两个物理上最敏感的特征——r ≈ 1.7 fm 附近的势阱最低点和 r ≈ 5.0 fm 附近的离心势垒峰——处，展宽保持在零点零几 MeV 的水平，如图 7 的插图所示。数值上，22 次 LOO 实验中势阱深度的均值为 ?13.548 MeV，标准差为 0.017 MeV，确认了没有任何单一测量点在驱动重建的形态。对于本质上病态的反散射问题而言，这种稳定性并非理所当然，它切实证明了所恢复的势是数据整体性的稳健推论。所有随机初始化运行均稳定落在此 LOO 带之内，进一步佐证了优化可靠地收敛到一个唯一的、物理上有意义的解。

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图 7. P_{3/2} 分波重建有效势 V_eff(r) 的留一法稳健性分析。插图展示了势阱最低点（r ≈ 1.7 fm）和势垒峰（r ≈ 5.0 fm）附近的放大视图。

4. 结论

我们开发了一种基于物理信息神经网络（PINN）的框架，用于核物理中的反散射问题，并将其应用于中子-α 弹性散射的 P_{3/2} 分波。核心设计选择——将网络输出乘以高斯包络以在架构层面强制有限程——对于获得物理上有意义的结果至关重要。若无此约束，无论训练轮次多少，训练始终无法再现实验相移，我们将其视为对未来 PINN 核物理反问题实践的重要经验教训：物理边界条件应内建于网络架构中，而非仅依赖软惩罚项。

在包络约束下，训练损失在 6000 轮内平滑收敛至 3×10??，重建的中心势为纯吸引、光滑且有限程，势阱深度约为 ?60.47 MeV。加入离心项后产生势垒-势阱结构，势阱深度为 ?13.60 MeV（位于 r = 1.71 fm），势垒高度为 +2.03 MeV（位于 r = 4.98 fm），这为 ?He 共振提供了透明的物理图像——即由离心势垒后方暂时困陷所形成的准束缚态。提取的共振参数 E_r = 0.95 MeV 和 Γ = 0.78 MeV 与实验值 [34] 吻合良好。P 波有效程参数与 Arndt 等人 [37] 的参考值相比，散射体积和有效程的偏差分别在 1.2% 和 1.7% 以内，尽管这两个量在训练过程中均未直接被约束。

稳健性测试进一步为这些结果提供了可信度。从多个随机初始化重新训练所得的势在绘图精度内不可区分，表明优化对所测试的随机初始化在经验上是稳定的。留一法分析——三项测试中最严苛的一项——显示，即使在有效势物理上最敏感的特征处，±1σ 集成的展宽带也仅为零点零几 MeV 宽。对于此类病态反问题，这种稳定性并非自动成立，它证明了所重建的势对单个数据点和算法初始化具有稳健性。

综上所述，这些结果表明，所提出的物理信息神经网络框架在所采用的物理约束势类内，为从核散射数据重建势提供了稳定且可解释的方法。该框架结合了神经网络的灵活性与硬物理约束所带来的稳定性，同时在优化过程中将控制散射方程直接融入可微分的正向模型。本工作的后续扩展包括：同时处理两个 P 波道以恢复自旋-轨道相互作用；应用于较重的核子-核体系，在这些体系中经验势的约束较少；以及通过带噪声增强的集成训练对实验不确定度进行更系统的处理。这些扩展将在未来工作中进行。

CRediT 作者贡献声明

Ayushi Awasthi：写作——审阅与编辑、写作——原稿撰写、验证、软件、资源、方法论、经费获取、形式化分析、数据管理、概念化。Ishwar kant：写作——审阅与编辑、可视化、软件。Arushi Sharma：写作——审阅与编辑、可视化、软件。M.R. Ganesh Kumar：写作——审阅与编辑、可视化、软件。O.S.K.S.

Sastri：写作 – 审阅与编辑、可视化、指导、项目管理、方法学、形式分析、概念化。Ayushi Awasthi | Ishwar kant | Arushi Sharma | M.R. Ganesh Kumar | O.S.K.S. Sastri