由复杂度 - 熵平面引导的最优滞后序贯转移熵：神经质量模型中的过采样、盲区和有向耦合

《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》：Optimal-lag ordinal transfer entropy guided by the complexity–entropy plane: oversampling, blind zones and directed coupling in a neural mass model

　　

• 提出了一种数据驱动的有序转移熵最优滞后选择方法。
• 该滞后值在复杂性-熵平面上最大化Jensen-Shannon复杂性。
• 只有最优滞后能够单调追踪耦合（Spearman ρ=0.89）。
• 低复杂性的盲区的尺度取决于主导周期，而非固定频带。
• 最优滞后处的复杂性对采样率具有不变性。

**引言**

量化复杂系统各组件之间信息定向流动，是统计物理学的核心问题，其应用范围涵盖经济物理学、复杂网络乃至生物信号传导。转移熵（Transfer Entropy, TE）由Schreiber [1] 提出，无需假设底层动力学的任何特定模型即可量化时间序列之间的有向统计依赖关系；作为一种信息论观测量，它与信息热力学以及耦合随机过程的信息熵产生密切相关 [2]、[3]。形式上，TE(Y→X) 度量的是在已知源过程Y的过去之后，相对于X自身过去所已提供的信息，目标过程X未来不确定性的降低程度。其无模型特性使其成为脑电图（EEG）、脑磁图（MEG）以及局部场电位（LFP）连接性分析的流行选择 [4]、[5]、[6]。

TE的实际计算需要从有限数据中估计联合概率分布。最直接的方法是将连续信号离散化为nb个等宽区间（bin）；然后通过对三个重叠窗口的联合计数，得到基于直方图的（"经典"）估计量。该方法直观且计算开销小，但引入了两个系统性问题：（i）区间数nb必须凭经验选择——区间太少会模糊真实差异，区间太多则会使方差指数级膨胀 [7]；（ii）有效状态空间随nb3标度增长，需要极长的记录才能实现可靠的三向联合估计。

另一种替代策略是用有序模式替换幅度值，该方法由Bandt和Pompe [8] 为排列熵（HPE）提出。在此框架下，每段由滞后τ分隔的De个样本的子序列被编码为其秩次顺序排列，从而产生De!种可能的符号。由此得到的编码对单调非线性变换具有不变性，对中等噪声具有鲁棒性，并且由于字母表大小De!随De缓慢增长，对短记录也非常高效 [9]。有序TE（"符号TE"）最初由Staniek和Lehnertz [10] 提出，并已应用于EEG麻醉监测 [11] 和脑区间连接性分析 [12]。

尽管具有上述优势，滞后τ在有序TE中的作用却未得到充分关注。该问题在非线形时间序列分析中并非新鲜：对于状态空间嵌入，经典处方是取自互信息（auto mutual information）的第一个最小值 [13]；而对于转移熵本身，Wibral等人 [14] 表明源-目标延迟可以通过最大化转移信息本身来估计。这两个判据都具有信息性，但监督方式不同——前者优化的是单个信号的表征，后者则需要对每一对信号在候选延迟上扫描有向度量。本文所采用的判据与此不同：它在任何方向性计算之前就从目标信号的单一标量属性固定滞后值，并在C×H平面上继承了清晰的统计力学解读。绝大多数研究固定τ=1（即连续样本），但对于振荡性神经信号而言，相邻样本高度相关，这可能并非最优。Rosso等人 [15] 提出了复杂性-熵（C×H）平面作为表征动力学系统的工具：横轴为归一化排列熵HPE，纵轴为Jensen-Shannon统计复杂性CJS。最大化CJS的滞后τopt标识了动力学最具结构的时标——既不平凡地周期化，也不有效地随机化。Pessa和Ribeiro [16] 开发的开源ordpy包实现了该判据，为我们的选择策略提供了基础。

神经质量模型（Neural Mass Models, NMMs）为基准测试TE估计量提供了受控环境：真实连接性由构造已知，且信号统计量——频率成分、噪声水平、epoch长度——均可系统变化。Ursino等人 [4] 证明经典TE能正确追踪Jansen-Rit NMM [17] 中的耦合强度，但也注意到其对区间选择和epoch长度的敏感性。本文将该基准测试扩展至包含有序TE，并辅以τopt选择。

C×H平面及其有序（Bandt-Pompe）符号化已成为时间序列统计物理学的标准工具，用于区分金融市场的确定性混沌与随机动力学 [18]、[19]、[20]、[21]。本文将有序TE与C×H平面耦合为单一的低调参估计量，其唯一自由滞后从数据本身固定，并以Jansen-Rit神经质量模型 [17] 作为受控的振荡性测试平台，该平台具有已知真实连接性，沿袭Ursino等人 [4] 的TE基准方法。

本文的核心方法论贡献在于：提出一种显式、可复现的程序，通过在C×H平面上最大化Jensen-Shannon复杂性CJS(τ)来选择有序嵌入延迟，同时刻画了所得τ谱在定性不同动力学机制间的特征。我们首先在四个典型基准系统上验证该估计量——耦合AR(1)过程、耦合logistic映射和Hénon映射以及加性噪声鲁棒性研究——这些系统的因果真值已知，由此建立了一套可解释的估计量性质层级体系；另外两个基准界定该判据的适用范围：最优滞后追踪的是主导周期而非固定值，且只要存在平滑流的过采样（无论是否振荡），就会产生非平凡滞后。最清晰的例证是Lorenz系统 [22]——一个无主导频率的连续混沌流：当采样足够细时，其连续值落在同一条光滑弧线上，变得高度冗余，因此在完全不存在振荡的情况下仍需非平凡滞后。在此基础上，我们在Jansen-Rit神经质量信号上开展了系统的五组对比实验，比较经典（直方图，nb=8）与有序（τ=1及τopt）转移熵——在基准系统上先以k-最近邻（KSG）估计量进行校准——结果表明，最优滞后有序估计量在方向性敏感度方面相对于耦合强度有显著提升。全文中使用源排列代理检验来确立恢复耦合的统计显著性，包括三区域链中直接与间接的区别。最后，我们基于C×H平面和有序模式的统计特性，为小τ处的低复杂性"盲区"以及振荡信号特有的亚周期信息峰提供物理解释。一个次要的实现细节——在Jansen-Rit模型中于Δt=1 ms时采用四阶Runge-Kutta积分器而非前向Euler积分器——属于离散化精度问题而非数值稳定性问题，已在第4.7节和附录A中记录。

**Jansen-Rit神经质量模型**

每个皮层区域（感兴趣区域，ROI）由Jansen-Rit神经质量模型 [17] 建模，该模型耦合三个群体：兴奋性锥体细胞（输出）、兴奋性星状中间神经元和抑制性GABAergic中间神经元。一个ROI的状态由六个变量z=[y0, ?0, y1, ?1, y2, ?2]?描述，其中y0是锥体（主）群体输出的突触后电位（PSP），y1是星状中间神经元向锥体细胞提供的兴奋性PSP。

**典型动力学系统上的基准结果**

这些基准测试在动力学复杂性递增的系统上验证了基于CJS滞后选择的有序TE估计量，为后续神经质量模型分析建立了可解释的基线。

四个典型真值系统在附录B中进行了完整分析：耦合AR(1)过程（B1，图B.1）、耦合logistic映射（B2，图B.2）、耦合Hénon映射（B3，图B.3）以及加性噪声鲁棒性研究（B4，图B.4），以及一个综合

**基准系统作为解释锚点**

第3.1节分析的经典动力学系统为理解NMM结果提供了必要的解释框架。它们也明确体现了该方法的统计力学内涵：C×H平面按有序-无序平衡对每个信号进行分类，而转移熵——作为与信息熵产生和信息热力学相关联的信息论观测量 [2]、[3]——衡量耦合自由度之间不可逆的信息流动。

**结论**

我们证明，当嵌入滞后通过最大化Jensen-Shannon统计复杂性从数据中确定时，有序转移熵提供了一个低调参的定向信息流估计量。其两个核心要素——有序符号化和C×H平面——均为时间序列统计力学的通用工具，因此该方法无需修改即可应用于任何采样为时间序列的耦合动力学系统，从经济物理学和复杂网络到非线性及生物

**CRediT作者贡献声明**

Federico Miceli：撰写——审阅与编辑、可视化、验证、软件、方法论、调查、形式化分析、数据管理、概念构思。Osvaldo A. Rosso：撰写——审阅与编辑、可视化、软件、方法论、调查、形式化分析、数据管理、概念构思。Fernando Montani：撰写——审阅与编辑、撰写——原始草稿、可视化、验证、监督、软件、资源、项目管理、方法论、调查。

**资金支持**

本工作由阿根廷CONICET（项目PIP 2023–2025 11220220100001CO）和阿根廷拉普拉塔国立大学（项目80120230100001LP）资助。资金来源未参与研究设计、数据的收集、分析和解释、报告的撰写，或决定提交论文发表。

**利益冲突声明**

作者声明不存在可能影响本文所报告工作的已知竞争经济利益或个人关系。

**致谢**

作者感谢ordpy包 [16] 的开发人员，他们开源实现了复杂性-熵平面，启发了本工作中所用的τopt选择判据。

Federico Miceli | Osvaldo A. Rosso | Fernando Montani