分数阶映射Legendre-Gauss-Radau伪谱法及其自适应节点网格细化的最优控制问题求解方法

《IEEE Access》：A Legendre Collocation ph-Mesh Refinement Strategy with Fractional Mapping for Continuous-Time Optimal Control

　　摘要：本文提出了一种带自适应节点网格细化的分数阶映射Legendre-Gauss-Radau（LGR）伪谱方法，用于求解连续时间最优控制问题。引入了一种分数幂时间映射，在保留标准参考域插值、微分和求积结构的同时，重新分配LGR配点节点在物理域上的位置。该映射被嵌入Bolza最优控制问题的多区间转录中，得到微分形式与积分矩阵形式的非线性规划模型。积分矩阵形式还被用于构建节点网格细化过程中使用的局部状态重构误差指示器。分析证明了映射后配点动力学的一致性、所给正则性假设下变换后LGR求积的收敛性，以及物理时间域上状态插值的条件全局L2收敛性。通过具有解析解的高敏感问题和自由终端时间的Goddard最大高度问题对方法进行评估。数值结果表明，所给参数α会影响节点分布、网格细化、离散规模、误差指示器、目标函数值和计算代价。当α=1时，恢复为经典LGR映射；而α<1时则提供了不同的节点分布方案。总体而言，结果表明，所给映射改变了节点分布与细化行为，其计算效应取决于问题特性和离散设置。