用于对流-扩散-沉降输运的混合量子-经典格子玻尔兹曼方法

《Journal of Computational Science》：A hybrid quantum–classical lattice Boltzmann method for advection–diffusion–settling transport

　　

•开发了一种用于对流-扩散-沉降输运的量子-经典混合LBM框架，其中碰撞和流场传输采用经典计算，而节点局部分布的采样则采用量子采样。
•采样误差遵循 $N_{\text{shots}}^{-1/2}$ 标度律，且所需的测量次数随目标精度的平方反比增长。
•在IBM ibm_pittsburgh 硬件快照电路上，量子采样结果在拍频噪声水平上重现了理论分布。

引言

预测水环境中的输运过程，包括污染物、沉积物、生物体及溶解示踪剂的迁移，是输运建模的基础性问题[1]、[2]、[3]。数值方法能够解析河流、水库和沿海系统中底层对流、湍流扩散、浮力驱动的浮沉以及剪切驱动的弥散过程，构成了 operational forecasting 和风险评估的骨干[4]、[5]、[6]。在这些方法中，格子玻尔兹曼方法（LBM）[7]、[8]是传统Navier-Stokes求解器的有效替代方案，在环境建模中具有广泛应用，包括多孔介质和地下水流动[9]、由Saint-Venant方程描述的明渠水力学[10]、自由表面和溃坝流动[11]、[12]、浅水系统中的润湿-干燥锋面[13]，以及河流、水库和沿海系统中的沉积物和溶质输运[14]、[15]。这些方法的实际应用通常涉及大规模模拟、参数扫描或不确定性量化，需要大量计算资源，因此推动了加速策略的开发，以补充经典高性能计算。

量子计算最近成为此类加速的候选方案。量子硬件的最新进展使数百个物理量子位的超导、离子阱和中性原子处理器成为云用户可及[16]、[17]。然而，当前设备仍处于含噪声中等规模量子（NISQ）时代[18]：它们包含的量子位数量足以使经典模拟其完整量子态在计算上不可行，但噪声太大，无法在无纠错的情况下可靠地执行深层电路。诸如Shor因式分解或量子振幅估计（QAE）等算法的渐近加速最终需要容错量子计算。在这一阶段，量子纠错将逻辑量子位编码在多个物理量子位上，以抑制有效逻辑错误率[19]。近期亚阈值演示[20]、[21]标志着具体进展，但大规模容错机器仍需数年时间。在此期间，针对特定问题类的多项式或指数加速激发了物理科学界的兴趣，包括计算流体力学（CFD）相关的偏微分方程求解[22]、[23]、[24]。近期研究已开始将量子线性系统算法应用于水文问题，如断裂网络流[25]、[26]，更广泛的地球科学界也在积极评估量子方法最终可能在哪些地方加速环境模拟[27]。

与量子算法相关的二次或指数加速需要高效的量子输入表示和与量子振幅读出兼容的输出结构[28]，这限制了量子优势现实的可行问题类。在流体力学内部，LBM特别适合量子计算。其中观表述基于离散速度方向和局部碰撞操作，可以自然映射到量子位寄存器和门控量子电路上。相比之下，传统的Navier-Stokes求解器包含非线性对流项，在量子计算机上直接表示更为困难。

量子格子玻尔兹曼方法（QLBM）在过去几年中发展迅速。Budinski [29]引入了第一个针对对流-扩散方程的量子算法，采用酉碰撞/流场传输表述。Schalkers和M?ller [30]提出了一种针对输运方程的容错量子算法，通过后选择处理非酉碰撞步骤。Kocherla等[31]演示了一种完全量子动力学形式主义算法，具有相位校正步骤，将测量延迟到模拟结束时进行。Wawrzyniak等[32]使用酉算子线性组合，在多个速度集上提供了广义QLBM实现，而Xu等[33]引入了具有中途测量的线性碰撞模型，以提高测量成功率。Mao和Zhang [34]最近演示了一种完全量子D1Q2 QLBM，用于一维热传导。尽管进展迅速，但大多数已发表的研究依赖于无噪声状态矢量或拍频噪声模拟器，而非真实量子硬件，且通常关注理想化的基准问题，而非与工程或环境应用相关的物理真实案例。

本文聚焦于具有生态重要性的代表性环境输运问题：入侵鲤鱼卵在湍流明渠中的纵向漂移。这一生态输运过程已使用Euler和Lagrangian方法进行了广泛研究[35]、[36]、[37]、[38]。在此，我们使用经典LBM来模拟同一弥散过程的Euler对应物[37]，为与QLBM结果进行直接比较提供基准。两个特征使本研究区别于以往的QLBM研究，后者主要考虑空间均匀对流。首先，我们纳入了深度依赖的对数速度剖面$U(z)$，同时考虑确定性沉降速度。其次，我们使用二维D2Q9实现来捕获由垂直剪切和沉降相互作用引起的差异性对流。据我们所知，这一输运机制此前未在QLBM文献中被研究过。这些特征使鲤鱼卵输运成为具有物理意义的环境应用，也是混合QLBM算法的新测试用例。

本文的目标是开发并验证一种用于对流-扩散-沉降输运的量子-经典混合LBM方法。我们在此使用“混合”一词具有特定含义：BGK碰撞、流场传输、空间索引和时间步计算采用经典方法，而量子资源用于将节点局部后碰撞分布编码到少量量子位寄存器中，并通过投影测量进行采样。因此，该混合方法是LBM更新的量子采样表述，在统计上等价于对经典计算的分布进行多项式采样，而非完全量子时间演化。此处报告的硬件实验是所选时刻量子采样步骤的快照验证，测量输出并未反馈以推进求解过程。

我们使用明渠鲤鱼卵漂移问题作为物理配置的基准，因为它结合了纵向对流-扩散、垂直剪切和沉降。该框架在三个层级上进行评估：（i）模拟，对一维D1Q3和二维D2Q9基准的量子测量统计进行经典多项式采样，用于量化解精度对测量次数和网格分辨率的依赖关系，并与解析解和FluEgg拉格朗日模型进行基准比较；（ii）Aer模拟，在Qiskit Aer模拟器上进行电路级执行，包括无噪声和配置ibm_pittsburgh噪声模型两种情况；（iii）硬件快照采样，在IBM超导处理器ibm_pittsburgh上执行相同电路。这些层级均不构成输运方程的完全量子演化。

除技术演示外，我们还讨论了NISQ时代量子硬件对输运建模能贡献什么以及不能贡献什么，识别了可能限制近期量子优势的缩放和输入-输出瓶颈，并讨论了在何种条件下量子加速的水资源模拟最终可能具有实际运营意义。

章节摘要

针对对流-扩散-沉降问题的格子玻尔兹曼表述

被动标量浓度$C(\mathbf{x}, t)$的输运由对流-扩散方程（ADE）控制：
$$\frac{\partial C}{\partial t} + \nabla \cdot (C \mathbf{u}) = \nabla \cdot (D \nabla C)$$
其中$\mathbf{u}$为对流速度，$D$为扩散系数。对于沉降颗粒（如鱼卵），对流速度可写为携带流体速度与确定性沉降分量的和：
$$\mathbf{u} = \mathbf{u}_{\text{fluid}} + V_s \hat{e}_z$$
其中$V_s$为沉降速度（向下运动为负值），$\hat{e}_z$为垂直方向的单位矢量。

一维基准

图3表明，通过增加测量次数可以减少模拟的量子采样噪声。将$t=100\text{ s}$时的QLBM解与经典LBM和解析解进行比较，测量次数分别为$N_{\text{shots}}=10, 100, 10^3, 10^4$。当每个节点仅使用10次测量时，采样噪声占主导地位，预测的浓度剖面严重失真（$\varepsilon_{QA}\approx1.7\times10^{-3}$）。当$N_{\text{shots}}=100$时，剖面恢复但存在残余噪声，当$N_{\text{shots}}=10^3\text{–}10^4$时，QLBM、LBM和解析曲线趋于一致。

讨论与结论

我们证明，量子-经典混合LBM可以正确重现理想化明渠中的一维和二维对流-扩散-沉降输运。结果与解析解进行了验证，并与鲤鱼卵漂移研究中使用的拉格朗日粒子追踪模型FluEgg进行了比较。采样误差遵循理论$N_{\text{shots}}^{-1/2}$标度，且达到LBM离散化误差下界所需的测量次数按$N^*\propto\varepsilon_{LA}^{-2}$标度。这一标度具有实际应用

CRediT作者贡献声明

Xuchen Ying：撰写——原稿，调查，正式分析，数据整理。
Chao Luo：撰写——原稿，验证，方法论，调查，正式分析，数据整理。
Binbin Wang：撰写——审阅与编辑，撰写——原稿，可视化，验证，监督，项目管理，调查，资金获取，概念化。

生成式人工智能及AI辅助技术声明

在本工作准备过程中，作者使用ChatGPT（OpenAI）协助语言编辑、可读性和清晰度。作者审阅并编辑了所有AI辅助内容，必要时进行修改，并对出版内容承担全部责任。Claude Code（Anthropic）用于辅助代码开发和调试。所有AI辅助代码在用于模拟和分析之前均由作者审阅、测试和验证。

利益冲突声明

作者声明，他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

致谢

本工作的计算在密苏里大学量子创新研究中心完成，该中心与IBM Quantum合作，并由密苏里大学哥伦比亚分校的研究支持解决方案部门促进。DOI: 10.32469/10355/107781。本工作部分由美国地质调查局水生入侵物种（AIS）竞争性资助计划支持，拨款编号为G24AP00015。任何贸易、公司或产品名称的使用仅用于描述目的，不暗示

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