层状介质中具有任意源项的瞬态对流-弥散-反应方程的一种新解析方法

《Journal of Hydrology》：A novel analytical method for transient advection–dispersion–reaction equations with arbitrary source term in layered media

　　

# 分层平流-弥散-反应-源方程的新分析方法

• 分层平流-弥散-反应-源方程的创新解析方法。
• 对源项、边界条件和初始条件的灵活处理。
• 具有时空依赖性产生的天然污染物输运。
• 基于氡亏损技术量化残余非水相液体（NAPL）的理论基础。

## 引言

平流-弥散-反应方程（ADRE）是描述污染物输运的经典控制方程（Zheng和Bennett, 2002；Bear和Verruijt, 2012；Yeh等, 2023）。天然污染物（NOC）广泛存在于地下水和土壤环境中，对生态系统安全和人类健康构成潜在风险（Holford等, 1993；Mukherjee等, 2008；Hafez, 2022；Jeong等, 2022；Manawi等, 2024）。在地下水和土壤系统中，NOC的瞬态输运不仅受平流、弥散、吸附和衰变过程的控制，还受连续产生的影响。NOC的瞬态输运行为可通过平流-弥散-反应-源方程（ADRSE）描述，其中源项代表NOC的连续产生。此外，分层是土壤常见且典型的特征，在NOC输运过程中也起着重要作用（Hafez, 2022；Cecconi等, 2023）。因此，研究分层ADRSE对于理解地下水和土壤环境中NOC的瞬态输运以及评估相关污染风险具有重要意义。

尽管数值模型已广泛可用，但解析解方法作为求解污染物输运方程的关键工具之一，凭借其诸多优势在污染物水文学中发挥着重要作用。具体而言，（1）它们直观地展示了各物理过程之间的相互关系，揭示了内在机制；（2）它们计算效率极高，便于参数敏感性分析；（3）它们对于验证数值模型的准确性和可靠性至关重要（Tang等, 1981；Srivastava和Yeh, 1991；Abbasi等, 2021；Moayyedi等, 2023；Chen等, 2023a）。

单层平流-弥散方程（ADE）的解析解在20世纪80年代已广泛可得。Van Genuchten和Alves（1982）总结了单层ADE在若干初始和边界条件组合下的解析解。随着溶质在分层多孔介质中的输运受到关注，分层介质中ADE的解析解成为重要的研究焦点。然而，分层ADE解析解的发展面临巨大挑战。为推导双层ADE的解析解，Leij等（1991）首先假设有限的第一层为半无限区域（假设底部边界无限远），推导出第一层解；然后将第二层边界位置处的浓度或通量作为第二层的进口边界条件。然而，该方法无法满足界面处浓度和通量的连续性条件，并产生显著误差。随后，Leij和van Genuchten（1995）采用拉普拉斯变换求解双层ADE，通过将拉普拉斯域解按二项式定理展开为级数并仅保留首项，推导了时间域的近似解析解。此后，Li和Cleall（2011）采用分离变量法，推导了三种进出口边界条件下双层ADE的解析解。后来，Guerrero等（2013）利用经典积分变换技术给出了任意层数分层ADRE的解析解。尽管如此，Li和Cleall（2011）及Guerrero等（2013）提出的解析解忽略了双曲特征函数，限制了其在特定参数范围内的多层问题适用性。为此，Shen和Reible（2015）结合分离变量法和全局矩阵法开发了分层ADRE的解析解。然而，其解面临新问题：随着层数增加，需要求解全局矩阵系统和繁琐的迭代过程。

采用结合分离变量法和传递矩阵法的新解法，Chen等（2019）通过高度简明的推导得出了双层ADRE的解析解，强调了双曲特征函数在解中的关键作用。该方法后来由Chen等（2024）推广到任意层数的分层ADRE。Chen等（2019）和Chen等（2024）的方法将矩阵控制在二阶，从而避免了构建和计算大型矩阵系统，并用与层无关的系数取代了与层相关的级数系数，消除了Shen和Reible（2015）方法所需的繁琐迭代过程。凭借其简洁直观的公式和易于实现的特性，Chen等（2019）和Chen等（2024）的方法已被广泛应用于多个领域，包括垃圾填埋场衬垫系统（Feng等, 2019；Chen等, 2023b）、污染场地止水帷幕系统（Liu等, 2023；Li等, 2026；Chen等, 2026）、土壤修复工程（Ding和Feng, 2022；Chen等, 2025）以及非饱和流过程（Chen等, 2023a）。

尽管单层和多层ADRE的解析解取得了重大进展，但考虑源项的ADRSE（即含源项的ADRE）的多层解析解开发仍然有限。在过去数十年中，Van Genuchten（1981）首先采用拉普拉斯变换方法，针对半无限区域中具有分段恒定边界条件的单层ADRSE推导了解析解，并考虑了恒定源项。Van Genuchten和Alves（1982）将该解扩展到有限域的单层ADRSE，但解仍限于恒定源项和特定初始条件。Guerrero和Skaggs（2010）推导了有限域中系数随距离变化的单层ADRSE的形式解，使得能够推导具有某些形式空间可变源项的ADRSE解析解。Chen等（2017）采用拉普拉斯-傅里叶联合变换方法，推导了半无限域中单层ADRSE的解析解，允许灵活的初始条件和边界条件以及源项。Parhizi等（2022）将该工作扩展到有限域情况，基于格林函数方法推导了单层ADRSE的解析解，允许灵活的初始条件和边界条件以及源项。总体而言，这些现有的ADRSE解析解仅限于单层介质。我们将分层ADRSE解析解的缺失主要归因于两个因素：（1）Chen等（2017）和Parhizi等（2022）的方法已成功应用于单层ADRSE，但其扩展到分层系统极为繁琐；（2）仍缺乏分层ADRSE的通用解析解方法。尽管Chen等（2019）和Chen等（2024）的方法能高效求解分层ADRE且应用广泛，但其所采用的分离变量法是针对齐次方程制定的，这限制了其适用于具有任意时空依赖性源项的分层ADRSE。

另一方面，若干研究提出了求解分层ADRSE的半解析方法。例如，Liu等（1998）应用广义积分变换技术（GITT）推导了分层ADR(S)E的解。该解具有闭合符号形式（通常写为exp(At)），但其核心计算单元——一般（非可对角化/高阶）系统矩阵A的矩阵指数——无法用已知的解析函数表示为闭合表达式，必须借助专门的数值算法进行计算。因此，该解是解析结构与数值核心的混合体，归类为半解析。此外，GITT中使用与原始问题不一致的特征值问题导致级数收敛缓慢。例如，在双层ADRE中，使用GITT至少需要60项级数才能收敛，这显著高于解析级数解中通常所需的15项（Guerrero等, 2013）。

另一种代表性方法是基于拉普拉斯变换的半解析方法，其步骤是先推导拉普拉斯域解，然后通过数值逆拉普拉斯变换将其转换到时间域（Carr, 2020；Nguyen等, 2025）。Carr（2020）推导了具有恒定源项和恒定初始条件的分层ADRSE的半解析解。需要注意的是，数值逆拉普拉斯变换可能存在数值不稳定性。此外，当涉及任意初始条件和时空依赖性源项时，分层ADRSE的拉普拉斯域解变得高度复杂（Chen等, 2023a）。

本研究建立了分层ADRSE的精确解析解，并将其应用于模拟分层多孔介质中NOC的瞬态输运。主要贡献包括：（1）提出直接积分变换（DIT）方法，得出了具有时空依赖性源项的分层ADRSE的首个完全解析解；（2）所提出的解析模型可容纳任意层数、任意源项以及任意初始和边界条件。本文其余部分组织如下：第2节介绍了NOC瞬态输运的控制方程，包括边界条件、界面连续性条件和初始条件，并使用DIT方法推导精确解析解。第3节通过与解析解、两种半解析解和数值解的比较验证所提出的解，并检验级数解的收敛性。第4节以氡盖层系统的氡释放为例进行情景分析，研究时空依赖性源项、盖层衬垫厚度和平流对输运过程的影响。第5节将所提出的解析解应用于氡亏损技术，为量化含水层中残余非水相液体（NAPL）提供理论基础，并通过与实验室和现场数据的比较评估其适用性。第6节阐述了模型的局限性并概述了可能的扩展方向。第7节总结了研究的主要结论。

## 数学公式化

### 2.1 控制方程

土壤和地下水系统中NOC的输运通常受多种过程控制，包括平流、弥散、吸附、衰变和产生，可由ADRSE描述。在不同环境条件下，NOC的产生表现出显著的时空变异性（Zhuo等, 2006；Barrio-Parra等, 2022；Schaper等, 2022；Tsang和Narasimhan, 1992），而边界条件也可能随时间变化（Dmitriev, 2018）。本文建立了NOC瞬态输运的模型。

## 模型验证

为评估所提出解析解的准确性和收敛性，进行了一系列验证和收敛性分析。在所有验证案例中，先确保级数解的收敛性，再与相应参考解进行比较，各小节中具有代表性的收敛结果汇总于表2。第3.1节考虑了具有恒定源项的单层场景，并将所提出的解与解析解进行验证。

## 情景分析

氡是一种典型的NOC，也是铀系列衰变产生的放射性惰性气体。氡及其衰变产物具有放射性，对人类健康构成致癌风险（Holford等, 1993；Hafez, 2022；Liu等, 2024）。本节以氡盖层系统中的氡释放作为示例案例。在第4.1节中，将解析解应用于研究时空依赖性源项的影响，并探讨盖层……

## 在实验室和现场实验中的应用

氡除作为代表性NOC外，还被广泛用作地下调查中的天然示踪剂（Buenavista等, 2023；Cook等, 2018；Semprini等, 2000；Cecconi等, 2023）。氡亏损技术是一种基于氡在水相和残余NAPL之间的分配行为来表征残余NAPL分布和饱和度的方法，其中地下水氡浓度的降低被用作残余NAPL的指标。

## 局限性

当前模型仍存在若干局限性。首先，目前的解析解主要适用于一维分层介质中的污染物输运。尽管所提出的框架可容纳任意层数以及任意源项和初始条件和边界条件，但其适用性仍受限于一维假设。未来工作可将本方法扩展到二维笛卡尔域以及径向或……

## 结论

本研究提出了一种新的解析方法（DIT方法），用于推导ADRSE的精确解析解，该方法可容纳任意层数、任意源项以及任意初始和边界条件。

所提出的解析解的有效性通过与现有解析解、两种现有半解析解以及数值解的比较进行了系统验证。基于解析解，氡气析出在 a
CRediT 作者贡献声明
陈张龙：写作 – 审阅与编辑，写作 – 原稿，验证，软件，方法论，调查，资金获取，构思。
叶天志吉姆：写作 – 审阅与编辑，监督，项目管理。
郭博：写作 – 审阅与编辑，监督，项目管理。
刘晨旭：写作 – 原稿，可视化，验证，正式分析。
方宏伟：写作 – 审阅与编辑，监督，资源，项目管理，资金
利益冲突声明
作者们声明，他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系，这些关系可能影响了本文报道的工作。
致谢
作者们感谢国家自然科学基金（42407206）和国家重点研发计划（2022YFC3201802）的支持。
陈张龙 | 叶天志吉姆 | 郭博 | 刘晨旭 | 方宏伟