基于动态事件触发控制的参数不匹配时滞分数阶忆阻模糊神经网络实用有限时间同步

《Mathematics and Computers in Simulation》：Practical finite-time synchronization of delayed fractional-order memristive fuzzy neural networks with mismatched parameters via dynamic event-triggered control

　　

摘要
本文研究具有参数失配的时滞分数阶忆阻模糊神经网络的实用有限时间同步问题。我们针对两个根本性挑战展开研究：分数阶链式法则的失效问题，该问题削弱了现有稳定性分析的数学严谨性；以及在现有不等式框架中当同步误差趋近于零时产生的控制奇异性。为解决这些问题，本文基于分数阶Halanay不等式建立了一个新的实用有限时间稳定引理；该引理本质上融合了时滞动力学，从而避免了链式法则的失效问题，且无需外部时滞补偿模块即可消除控制奇异性。在此基础上，设计了一种动态事件触发控制策略，在降低触发频率的同时，通过严格的解析证明严格排除Zeno行为。进而推导了驱动系统与响应系统参数失配情况下的新准则，并显式刻画了残差集的界限。数值仿真验证了所提理论框架的有效性。

引言
分数阶忆阻神经网络（FMNNs）作为一种新型智能计算范式，融合了分数阶微积分与忆阻器非线性动力学，在建模生物神经系统方面具有卓越能力。通过结合分数阶微积分的具有记忆依赖性的全局相关性、忆阻器的非易失性电导调制特性，以及对突触可塑性和神经元动力学的精确描述，此类网络在可调记忆深度和存内计算方面表现出显著优势[1]、[2]、[3]。它们已被广泛应用于工程和科学领域[4]、[5]、[6]。

然而，不确定性在真实的生物神经网络和工程系统中普遍存在，例如突触权重的模糊性和信号传播中的非线性相互作用，传统FMNNs难以有效捕捉这些特征。为解决这一问题，通过引入Min-Max模糊算子作为模糊逻辑的基本计算原语，分数阶忆阻模糊神经网络（FFMNNs）不仅继承了分数阶和忆阻特性的优势，还能够显式处理系统不确定性，增强了动态传播的可解释性和鲁棒性[7]、[8]。因此，FFMNNs已成为一个更具实际意义的研究模型。

同步刻画了神经元或子系统之间的协同行为，对于复杂动力网络的应用至关重要。现有大部分结果[9]、[10]、[11]、[12]关注的是在无限时间区间上的同步，无法满足要求有限时间内收敛的实际工程场景需求。这一实际需求推动了对有限时间同步[13]、[14]、[15]日益增长的研究兴趣。进一步的复杂性在于，现有的FMNNs和FFMNNs动态分析通常假设驱动系统与响应系统之间具有相同的忆阻连接权重。在实际中，建模误差和环境扰动使得这一假设不切实际。正如Cao等人[16]和Tang等人[17]所指出的，不可避免的参数失配导致完全同步无法实现，本质上将控制目标转变为实用有限时间同步（PFTS），即同步误差收敛到一个有界残差集而非零。

为了严格界定该残差集的边界并理论估计调节时间，微分不等式是基本的分析工具[18]、[19]。然而，由于分数阶微积分中链式法则的内在失效问题，经典的整数阶稳定性不等式极难直接推广到分数阶场景。尽管已提出一些不等式来研究分数阶系统的PFTS，但现有结果仍存在明显局限性。一方面，文献[20]、[21]、[22]中的不等式依赖于复合函数的无效分数阶链式法则，导致缺乏严格的数学证明。另一方面，文献[13]、[23]、[24]中的不等式包含V^(-δ)(t)等负指数项，当V(t)→0时将导致控制输入趋于无穷大，这不可避免地引发控制奇异性——即当系统轨迹趋近平衡点时所需控制输入发散至无穷大，这一现象在现实工程中物理不可实现。除上述两个问题外，当此类经典不等式应用于时滞系统时，必须在控制器设计中引入外部时滞补偿模块。这不仅增加了结构复杂性，还在大时滞或时变时滞条件下降低了性能。

尽管建立PFTS不等式为界定同步误差提供了严格的理论基础，但实现FFMNNs的PFTS还需要一个同等稳健且具有物理可实现性的控制协议。尽管已开发了许多控制策略，如反馈控制[23]、自适应控制[25]和滑模控制[26]，但连续的控制更新会导致冗余采样、能量消耗过大和计算资源浪费，特别是在稳态阶段。事件触发控制（ETC）仅在系统状态违反预定义阈值时更新控制信号，从而有效减少更新次数并提高资源利用率[27]、[28]、[29]。然而，分数阶网络中的ETC框架仍面临独特的理论和实际瓶颈。经典ETC方案主要依赖静态触发参数或常值增益，无法在暂态期间自适应调整，因此需要繁琐的手动调参并产生沉重的在线计算开销[30]、[31]。因此，迫切需要提出一种具有更低触发率和动态调整能力的事件触发控制策略，用于时滞FFMNNs的PFTS。

基于上述讨论，本文的主要贡献如下：
（1）在Halanay型框架内构造了一个时滞分数阶微分不等式，同时解决了两个障碍：由分数阶链式法则不适用引起的数学缺口和具有物理问题的控制奇异性。与先前嵌入负幂项并因此在误差趋近零时遭受无界控制需求的公式[13]、[23]、[24]不同，所提出的不等式直接将时滞项吸收进其分析结构中。因此，控制器中无需辅助的时滞补偿模块，且从初始阶段就避免了奇异性。整个稳定性论证因此建立在一个物理可实现且可靠的PFTS基础之上。
（2）设计了一种动态事件触发控制（DETC）方案，通过赋予触发机制一个正的时变内部参数。该自适应参数抑制不必要的采样事件，同时提供内置的执行器颤振防护。形式化证明排除了Zeno触发，确认无限数量的事件不会在有限时间内累积。相对于传统的静态触发策略[32]，DETC方案产生了更低的控制采样率。
（3）推导了失配驱动-响应参数条件下FFMNNs运作时的新PFTS条件。与先前的研究[15]、[33]、[34]不同，所提出的准则不要求驱动系统和响应系统共享相同的参数结构。

本文其余部分组织如下：第2节给出一些定义和引理；第3节建立用于分数阶系统PFTS分析的新微分不等式并设计DETC策略以降低事件触发率，进而推导有时滞FFMNNs的PFTS准则；第4节给出数值算例来说明我们的结果。

符号说明
R表示实数集，R??表示非负实数集，R?=R???{0}，C?(R??,R)表示R??上具有连续n阶导数的连续函数集，?1(R??,R)表示R??上可积函数集，Γ(?)和E_φ(?)分别表示Gamma函数和φ阶Mittag-Leffler函数，符号|x|表示x的绝对值，?和?分别代表Min和Max算子。

定义与引理
首先，我们回顾分数阶微积分的基本概念，这些概念对于系统建模是必需的。

定义1[35] 函数f(t)的阶数为φ∈(0,1)的Caputo分数阶导数定义为：D^φ_0C f(t) = 1/Γ(1?φ) ∫?? (t?s)^(?φ) f'(s) ds，其中f(t)∈C1(R??,R)，Γ(?)为Gamma函数。

定义2[35] 函数f(t)的阶数为φ∈(0,1)的分数阶积分定义为：I^φ_0C f(t) = 1/Γ(φ) ∫?? (t?s)^(φ?1) f(s) ds，其中f(t)∈?1(R??,R)。如果D^φ_0C f(t)可积，则有I^φ_0C {D^φ_0C f(t)} = f(t) ? f(t?)。

引理1[36] 如果f(t)∈C1(R??,…

新型分数阶实用有限时间不等式
为了分析时滞分数阶系统的PFTS，建立合适的微分不等式至关重要。然而，由于分数阶微积分中链式法则的内在失效问题，经典的整数阶稳定性不等式极难直接推广到分数阶场景。为克服这一根本性数学障碍，我们首先引入分数阶Halanay不等式作为基础工具。

引理4[40] 假设a…

数值仿真
为了评估所提出的动态事件触发实用有限时间同步方案的有效性和可行性，在一个三维FFMNN上进行了数值仿真。驱动系统(1)和响应系统(4)的分数阶阶数选择为φ=0.9，神经节点数设为n=3。激活函数选择为f_r(x)=tanh(x)，r=1,2,3，时变传输时滞建模为ζ(t)=sin(t)+1.3。设a?=a?=a?=1，b?=b?=b?=2，v?…

结论
本文解决了具有参数失配的时滞分数阶忆阻模糊神经网络的实用有限时间同步问题。从分数阶Halanay不等式推导了一个新的PFTS引理，避免了分数阶链式法则的失效问题以及经典不等式中负幂项引起的控制奇异性。基于该引理，设计了一种动态事件触发控制策略，与经典策略相比降低了触发率…

CRediT作者贡献声明
Wenxiang Fang：撰写—原稿、调查研究、形式化分析。Quanxin Zhu：撰写—审稿与编辑、调查研究、资金获取。Zhaohai Ma：撰写—审稿与编辑、调查研究、形式化分析。

利益冲突声明
作者声明他们不存在已知的相互竞争的财务利益或个人关系，这些利益或关系可能影响到本文所报告的工作。

致谢
作者感谢所有提出宝贵意见和建议的人，这些意见和建议大大提高了本文的质量。

Wenxiang Fang | Quanxin Zhu | Zhaohai Ma