KAPI-LM：面向偏微分方程的核自适应物理信息驱动学习机

《Neural Networks》：KAPI-LM: Kernel-Adaptive Physics-Informed Learning Machines for PDEs

　　

KAPI-LM 利用具有结构化 RBF 几何和可控参数共享机制的框架求解偏微分方程。提出的 KAPI-LM 实现——cSPINN、cPIELM 和 Meta-cSPINN 采用了不同的优化策略。所提出的几何参数共享方法在不减少物理 RBF 数量的前提下减少了可训练参数。对于相同的解假设，优化策略强烈影响所学到的几何结构和误差。KAPI-LM 为残差引导的局部细化提供了结构化初始化。

**引言**

物理信息神经网络（PINNs）已成为求解由偏微分方程（PDE）控制的正问题和反问题的一类重要无网格方法（Luo, Zhao, Wang, Li, Wen, Liang, Soekmadji, Liao, 2025; Raissi, Perdikaris, Karniadakis, 2019），而神经算子架构则为学习 PDE 问题族的解映射提供了互补途径（Goswami, Bora, Yu, Karniadakis, 2023; Li, Kovachki, Azizzadenesheli, Liu, Bhattacharya, Stuart, & Anandkumar, 2023; Lu, Jin, Pang, Zhang, Karniadakis, 2021; Subedi, Tewari, 2026）。这些发展共同提出了两个看似不同但紧密相关的问题：

1. PDE 解或解族学到了什么样的表示？
2. 准确表示需要多少参数化程度？

第一个问题关注表示的可解释性，第二个问题关注表示的复杂度。

在传统 PINN 和神经算子中，近似空间通常通过网络权重和偏置进行参数化，缺乏明确的物理意义。这与经典无网格近似方法形成对比，如 RBF 配置法、无单元 Galerkin 方法和再生核粒子方法，其中解由与节点、粒子或支撑域相关联的明确定义的空间基函数或形函数构建而成（Belytschko, Lu, Gu, 1994; Kansa, 1990; Liu, Jun, Zhang, 1995）。因此，精确的神经近似未必能提供关于解内部如何表示的透明描述。

表示复杂度的问题沿着几个相关方向被研究。在更广泛的深度学习文献中，过度参数化网络推动了剪枝、稀疏化、量化、知识蒸馏和结构化压缩策略，包括合并相似单元而非将每个神经元视为独立必要的做法（Han, Mao, & Dally, 2016; Kim, Kim, Park, Jeon, 2020）。这些思想在物理信息 PDE 求解器中被探讨得少得多，尽管近期工作已开始研究剪枝和其他形式的物理信息模型压缩（Chen, Chen, Guo, & Zhong, 2025; Huang, Ye, Zhang, Xie, Xu, Chen, 2025）。同时，通过浅层、稀疏或其他紧凑型物理信息模型来完全避免不必要的大型架构也引起了日益增长的兴趣（Anderson, Dolean, Moseley, Pestana, 2026; Calabrò, Fabiani, Siettos, 2021; Dwivedi, Srinivasan, 2020; Es'kin, Malkhanov, Smorkalov, 2025; Fabiani, Kevrekidis, Siettos, Yannacopoulos, 2025; Wang, Zhong, 2024）。另一条互补的研究线在解表示本身层面上处理紧凑性。物理信息降阶模型、非线性流形方法、自编码器和自动解码器寻求单个 PDE 解或参数化解族的低维潜表示（He, Choi, Fries, Belof, Chen, 2023; Huang, Ye, Liu, Ji, Wang, Yang, Li, Wang, CHU, Yu, Hua, Chen, Dong, 2022; Karumuri, Graham-Brady, Goswami, 2026; Kim, Choi, Widemann, Zohdi, 2022; Wang, Pu, Song, & Huang, 2024）。这些发展共同反映了为 PDE 近似利用最优表示自由度的更广泛努力。然而，在大多数现有方法中，紧凑性通过网络架构、参数数量或抽象潜坐标来表达，而非通过近似基几何的显式和物理可解释组织来实现。

稀疏物理可解释神经网络（SPINNs）（Ramabathiran, Ramachandran, 2021; Ramabathiran, & Ramachandran, 2023）提供了一个特别有用的设置，在其中可以同时考虑表示可解释性和表示复杂度。SPINN 将基于 RBF 的无网格近似表示为神经架构，并将物理基的参数视为可训练量，从而暴露出训练后可检查的显式几何结构。Meta-SPINN 将此构建扩展到参数化 PDE，通过学习从物理任务参数到任务依赖 RBF 表示的映射（Dwivedi et al., 2026）。在各种 PDE 中，SPINN 和 Meta-SPINN 学到的几何结构表明，多个窄 RBF 核可以集体围绕主导解特征进行组织，例如在尖锐变化区域附近聚类或在对流主导问题中沿特征线对齐。这一观察促使我们思考：许多独立参数化的 RBF 核的几何结构是否可以通过更少数量的几何组件来组织，在精神上类似于用高斯混合模型表示其分布。

基于这一图景，我们引入了核自适应物理信息学习机（KAPI-LMs），这是一个通用的 PDE 求解框架，使用结构化 RBF 表示，其几何共享程度可以显式控制。KAPI 使用一个简单的物理可解释几何解码器，其中一组紧凑的变量描述位置、尺度和方向，来组织数量大得多的物理 RBF 核。所得到的假设类在强共享几何和无限制 RBF 表示之间进行连续插值：随着几何组件数量增加，更多核几何变得独立，每个物理核对应一个父节点时恢复无限制参数化。重要的是，KAPI 不裁剪物理基函数或耦合其展开系数；它仅减少独立参数化的几何自由度数量。该框架还独立于用于识别表示的特定优化策略。为展示这种灵活性和实际适用性，我们开发了基于不同优化策略的三种 KAPI 学习机：压缩 SPINN（cSPINN），联合优化 RBF 几何和展开系数；压缩 PIELM（cPIELM），使用变量投影并通过内部最小二乘求解消除系数；以及 Meta-cSPINN，联合优化工况条件的 RBF 表示和条件网络参数。在所有情况下，解表示均从控制 PDE 及其约束条件直接识别得出，无需标注解数据。因此，KAPI-LM 将 PDE 假设类的结构与其学习策略分离开来，同时直接控制分配给物理 RBF 字典多少几何自由度。

本工作的主要贡献总结如下：
- 我们引入了 KAPI-LM，一个控制 RBF 假设类中几何共享程度的物理信息 PDE 求解框架，并开发了三种实现——cSPINN、cPIELM 和 Meta-cSPINN——涵盖联合优化、变量投影和工况条件学习。
- 我们建立了 KAPI 假设类的逼近性质，并量化了相对于无限制 RBF 表示，几何共享所引入的额外逼近误差。
- 我们在固定物理基分辨率下研究了线性、非线性、参数化、耦合和多尺度 PDE 的几何复杂度，表明许多问题可以容忍大量的几何共享，同时也揭示了问题依赖的界限，超出该界限则需要额外的几何自由度。
- 我们证明学到的几何不仅取决于假设类，还取决于用于探索它的优化策略。联合优化和变量投影可以遵循显著不同的几何轨迹，而工况条件学习和残差引导细化展示了 KAPI 表示如何跨 PDE 族扩展并在需要更强局部分辨率时自适应丰富。

**组织** 本文其余部分组织如下。第2节介绍 KAPI-LM 框架及其 cSPINN、cPIELM 和 Meta-cSPINN 实现。第3节发展所得假设类的相应逼近结果。第4节定义基准问题，第5节呈现数值结果和讨论。第6节讨论局限性和未来方向，第7节为结论。附录A提供额外证明，附录B包含实现细节。

**第2节片段：KAPI-LM 框架**

核自适应物理信息学习机（KAPI-LMs）提供了一个通用框架，用于使用结构化核表示求解 PDE，其几何自由度可以显式控制。一个 KAPI 表示由物理核字典、低维几何状态和预定义的几何解码器组成，该解码器将几何状态映射到物理核的几何。所得到的表示直接从控制 PDE 及其约束条件识别得出。

**第3节片段：父生成 KAPI 假设类的逼近性质**

第2.2节介绍的父子解码器定义了 KAPI 假设类 $\mathcal{V}_{\text{KAPI}}^{K,M}$，独立于用于识别其参数的学习策略。因此，本节的结论涉及父共享 RBF 几何的表示后果，而非用于选择类中成员的选择程序。它们直接适用于 cSPINN 和 cPIELM，两者在同一单任务 KAPI 假设类上操作。对于 Meta-cSPINN，它们表征了……

**第4节片段：测试案例**

我们考虑了七个跨越线性传输和椭圆问题、非线性动力学、参数化 PDE 族、耦合不可压缩流动和奇异摄动边界层问题的基准测试。

1. **测试案例1：线性平流方程。** 我们考虑一维常系数平流方程 $u_t + cu_x = 0$, $(x,t) \in [-1,1] \times [0,1]$, $c=1$，周期边界条件 $u(-1,t) = u(1,t)$。初始条件为以 $x_0 = -0.55$ 为中心、宽度 $\sigma = 0.08$ 的光滑周期高斯，$u(x,0) = \exp[-\frac{1}{2}(\frac{x-x_0}{\sigma})^2]$。

**第5节片段：结果与讨论**

数值实验将 KAPI-LM 作为求解 PDE 的物理信息框架进行考察，同时回答关于其中使用的结构化表示的几个互补问题。我们首先研究父子 KAPI 构建，探讨在物理 RBF 数量固定的情况下，可以施加多少几何共享，以及所得到的表示如何与确定它的学习策略相互作用。测试案例1和2针对线性问题回答了这些问题。

**第6节片段：局限性与未来工作**

本研究的结果也揭示了 KAPI-LM 框架及其当前实现的若干局限性：

1. **几何共享的极限。** 父生成的 KAPI 表示在减少独立几何自由度的同时不减少物理 RBF 数量。因此，过于激进的共享对于尖锐局部化或多尺度解可能变得限制过多，如 Burgers 压缩拐点测试和尖锐目标实验中所见。自适应丰富、局部释放几何……

**结论**

本工作引入了 KAPI-LM，作为一个通用的物理信息框架，用于使用结构化 RBF 表示求解 PDE，其中大量物理字典通过低维几何状态来组织。KAPI 假设类在保留所有物理 RBF 核及其独立展开系数的同时，提供了对几何共享程度的显式控制。在该框架内，我们开发了三种 KAPI 学习机：cSPINN，联合优化 KAPI……

**生成式AI及AI辅助技术在稿件准备过程中的声明**

在本工作准备过程中，作者使用了 ChatGPT 来改善语言和可读性。作者对输出进行了审阅和编辑，并对已发表文章的内容承担全部责任。

**CRediT 作者贡献声明**

Vikas Dwivedi：撰写初稿、可视化、软件、方法学、概念构思。Balaji Srinivasan：监督、概念构思。Monica Sigovan：监督、概念构思。Bruno Sixou：审阅与编辑、撰写初稿、监督、概念构思。

**利益冲突声明**

作者声明不存在可能影响本文所报告工作的已知竞争性经济利益或个人关系。

**致谢**

本工作得到了法国国家研究局（ANR）通过 RAPIDFLOW 项目（Grant no. ANR-24-CE19-1349-01）的支持。

Vikas Dwivedi | Balaji Srinivasan | Monica Sigovan | Bruno Sixou