多智能体系统在信道衰落和欺骗攻击下的数据驱动主从一致性控制

《Neurocomputing》：Data-driven leader-following consensus control in multi-agent systems under channel fading and deception attacks

　　

摘要

信道衰落与欺骗攻击的共存给多智能体系统（MASs）中的领导-跟随一致性带来了重大挑战。为解决这一问题，本文提出了一种直接分布式无模型自适应控制（MFAC）框架。通过利用紧凑形式动态线性化（CFDL）方法，将多智能体系统和期望控制器转化为等效数据模型。基于输入和输出数据构建了动态阈值检测机制，用于识别欺骗攻击，同时采用模糊神经网络（FNN）从被篡改的数据中估计真实系统输出。此外，设计了基于投影的参数自适应律，用于在线估计未知系统参数。在温和条件下，通过压缩映射原理建立了闭环系统在期望意义下的收敛性。大量仿真进一步验证了理论分析的正确性。

引言

在实际应用中，经常需要协调多个独立单元来完成特定任务。这些单元具备自主决策能力和通信能力，被称为智能体。当多个智能体协作以实现共同目标时，所形成的系统被称为多智能体系统（MASs）。分布式控制的灵活性和可扩展性使其成为多智能体系统领域一个极具前景的研究课题。典型应用包括微电网系统的经济运行优化[1]、异构智能车辆的协调控制[2]以及多航空器的编队调度[3]。

在多智能体系统中，智能体依赖无线通信网络来交换信息。然而，无线传输质量受物理距离和网络带宽等因素影响，导致数据中断、量化误差和信道衰落等问题[4]，[5]，[6]，[7]，[8]。其中，由于信道衰落的随机性及其对系统性能的显著影响，已成为一个关键挑战。因此，针对该问题已开展了大量研究。文献[9]提出了一种积分终端滑模控制策略，以解决车辆系统中的传感器故障和信道衰落问题。文献[10]研究了信道衰落和不同通信拓扑下多智能体系统的固定时间一致跟踪问题。文献[11]引入了一种改进的无迹卡尔曼滤波算法，实现了信道衰落条件下水下声学传感网络中的目标分布式跟踪。

除被动通信损伤外，部署在开放通信网络上的多智能体系统还面临恶意网络攻击，主要包括拒绝服务（DoS）攻击和欺骗攻击[12]。DoS攻击通过洪泛请求或恶意数据包使目标系统过载，导致资源耗尽和服务丧失[13]，而欺骗攻击则相反，其隐蔽地操纵传输数据[14]，对一致性稳定性构成更持久和复杂的威胁。因此，解决多智能体系统中欺骗攻击带来的挑战已成为一个活跃的研究课题。文献[15]为经历随机欺骗攻击的多智能体系统开发了一种基于采样的一致性策略，通过解耦准则实现了均方一致性。文献[16]考虑了双信道随机切换欺骗攻击下具有有向拓扑的多智能体系统的均方有界同步问题。文献[17]利用坐标变换处理欺骗攻击，并设计了自适应事件触发策略，实现了无领导非线性多智能体系统中的一致性。相关安全问题也从其他角度进行了研究。文献[18]开发了自适应迭代学习策略以应对多智能体系统中的虚假数据注入（FDI）问题。对于具有持续输出异常的非线性系统，文献[19]考虑了相关的异常检测和状态估计问题。文献[20]研究了遭受欺骗攻击和状态约束的机器人操作手的自适应控制问题。这些研究表明，人们对检测、估计和缓解恶意数据仍持续关注。

尽管上述方法取得了令人满意的效果，但它们对精确系统模型的依赖限制了其在具有非线性动力学和不确定参数的实际系统中的适用性。为克服这一局限，侯忠生[21]提出了无模型自适应控制（MFAC）框架，其中控制律直接由输入输出数据构建，而无需先验系统模型知识。在间接MFAC中[22]，[23]，[24]，控制器在系统进行动态线性化后设计，而直接MFAC则对理想控制器进行动态线性化，从而将控制器设计过程转化为控制器参数调优任务[25]，[26]，[27]。两种方法在计算上均高效且易于实现。

近年来，基于MFAC的策略在面临各种通信和安全挑战的安全协同控制中引起了越来越多的关注。例如，文献[28]探索了执行编队任务的多智能体系统中由L阶莱斯模型建模的衰落信道引起的信息拥塞问题。为应对随机衰落引起的通信不可靠性，文献[29]提出了一种事件触发的无模型自适应迭代学习控制方法，并在文献[30]中进一步扩展到纳入DoS攻击。同时，文献[31]研究了执行器故障与信道衰落耦合条件下非线性连续时间多智能体系统的编队控制问题。尽管取得了这些进展，现有研究主要探讨信道衰落如何影响系统输出，而对智能体间通信信道中衰落效应的建模和分析仍然有限。信道衰落与系统协同性能之间的动态关系尚未完全揭示。

基于MFAC的方法在欺骗攻击下的安全控制方面也进行了研究。文献[32]为多输入多输出（MIMO）多智能体系统开发了一致性跟踪和包含策略。文献[33]提出了一种自适应预测控制方法以增强网络控制系统的安全性。文献[34]开发了一种分层分布式MFAC框架，而文献[35]将径向基函数神经网络（RBFNN）融入基于MFAC的控制框架中用于攻击检测和输出重构。文献[36]将MFAC与模糊逻辑和强化学习相结合，以减轻欺骗信息的不良影响。

尽管取得了这些进展，仍有几个问题尚未解决。首先，现有的基于MFAC的研究[32]，[33]，[34]，[35]主要采用间接MFAC结构，而直接MFAC在抗欺骗多智能体系统控制中的应用仍然有限。其次，一些现有方法[32]，[33]主要通过控制策略的鲁棒性来应对欺骗攻击，而没有纳入明确的攻击检测和补偿机制。此外，文献[34]、[35]和[36]中采用的检测机制通常依赖基于专家知识的固定阈值，这可能无法很好地适应系统条件的动态变化，从而导致漏检或误报。这些局限性促使我们采用自适应攻击检测和输出补偿机制。

对于输出补偿，基于学习的非线性逼近方法提供了重构被欺骗攻击损坏的输出信息的潜在手段。模糊逻辑系统具有强大的语言表示和非线性逼近能力，但其参数优化往往依赖经验调参。另一方面，神经网络是有效的数据驱动学习工具，但由于其黑箱特性往往难以解释。模糊神经网络（FNN）结合了两者的优势，已成功应用于故障处理[37]，[38]。然而，将其应用于重构被欺骗攻击损坏的输出信息的研究仍不充分。

在以往研究的基础上，本文提出了一种将动态阈值检测与FNN补偿相结合的直接MFAC方案，用于应对多智能体系统同时面临信道衰落和欺骗攻击的问题。与间接MFAC先建立被控系统的数据模型然后根据所获模型设计控制器不同，直接MFAC对理想控制器进行动态线性化，将控制器设计转化为在线控制器参数调优问题。相应地，控制动作可以直接生成，而无需依赖被控系统的中间数据模型。从工程角度来看，这种实现方式与传统控制器（如PID控制器）的直接实现概念相似，从而提供了更直观且易于实现的控制器构建过程。本文的主要贡献总结如下：

1. 大多数现有多智能体系统安全控制研究主要处理单一威胁场景。与此相反，本文研究了在信道衰落和欺骗攻击共存条件下非线性异质多智能体系统的领导-跟随一致性问题，并开发了一种抗衰落和抗攻击的无模型自适应控制（FAD-MFAC）方案，该方案无需先验系统动力学知识即可实现协同跟踪。

2. 与文献[28]、[29]、[30]关注信道衰落对系统输出的影响不同，本文借鉴文献[31]的思想，研究信道衰落对智能体间通信信道的影响。通过将独立高斯分布的信道衰落系数纳入领导-跟随一致性框架的分布式输出模型中，可以显式表征通信衰减对协同控制的影响。

3. 以往工作如文献[34]、[35]和[36]通常依赖固定阈值方法检测欺骗攻击，检测性能对阈值高度敏感。与此相反，我们提出了一种基于Lyapunov稳定性理论的动态阈值检测机制，根据系统状态自适应调整检测灵敏度，从而提高检测机制的适应性和可靠性。此外，通过结合模糊逻辑系统和神经网络的优点，我们采用FNN预测真实系统输出，从而减轻欺骗攻击造成的不良影响，提高协同控制精度。

本文其余部分安排为五个部分。第2节介绍必要的预备知识和问题表述。第3节开发所提出的算法，其收敛性质在第4节中进行考察。第5节报告仿真研究，第6节对全文进行总结。

2 预备知识

领导者和$N$个跟随者之间的通信拓扑用有向图$G$描述。这里，$\mathcal{V}$表示智能体的集合，$\mathcal{E}$表示关联的边集。从智能体$i$到智能体$j$的通信链路存在与否由$a_{ji}$表示，$a_{ji}=1$表示存在链路，否则$a_{ji}=0$。基于该拓扑，邻接矩阵表示为$A=[a_{ji}]$。对于每个智能体$i$，其邻居集记为$\mathcal{N}_i$，收集所有与智能体$i$交换信息的智能体。对应的拉普拉斯矩阵表示为$L = D - A$，其中$D = \text{diag}(d_1, d_2, \ldots, d_N)$，$d_i = \sum_{j \in \mathcal{N}_i} a_{ij}$。

考虑由一个领导者和$N$个跟随者组成的非线性异质多智能体系统，第$i$个跟随者的动力学方程表示为：

$$x_i(k+1) = f_i(x_i(k), u_i(k))$$
$$y_i(k) = h_i(x_i(k))$$

其中$x_i(k) \in \mathbb{R}^{n_i}$是第$i$个跟随者的状态向量，$y_i(k) \in \mathbb{R}$是其输出，$u_i(k) \in \mathbb{R}$是控制输入，$f_i(\cdot)$和$h_i(\cdot)$是未知非线性函数。

领导者的动力学方程表示为：

$$x_0(k+1) = f_0(x_0(k))$$
$$y_0(k) = h_0(x_0(k))$$

由于受信道衰落和欺骗攻击的影响，跟随者$i$接收到的领导者输出信息为：

$$\tilde{y}_0(k) = \alpha_i(k) \cdot y_0(k) + \beta_i(k)$$

其中$\alpha_i(k)$表示从领导者到跟随者$i$的信道衰落系数，$\beta_i(k)$表示欺骗攻击信号。

控制目标：设计分布式控制器$u_i(k)$，使得在信道衰落和欺骗攻击共存条件下，所有跟随者的输出能够跟踪领导者的输出，即：

$$\lim_{k \to \infty} |y_i(k) - y_0(k)| = 0, \quad \forall i \in \mathcal{V}$$

**假设1**：跟踪误差$e_i(k) = y_i(k) - y_0(k)$的初始值有界。

**假设2**：函数$f_i(\cdot)$和$h_i(\cdot)$是Lipschitz连续的。

**假设3**：控制输入$u_i(k)$和输出$y_i(k)$在运行过程中是有界的。

**假设4**：领导者输出$y_0(k)$是有界的，即$|y_0(k)| \leq M$，$\forall k$。

其中，$M$是一个正常数。

**定义1**：对于非线性系统$y(k+1) = f(x(k), u(k))$，若存在有界序列$\{u^*(k)\}$使得$|y(k)| \leq Y$和$|u^*(k)| \leq U$对所有$k$成立，则称系统是有界的。

**引理1**（压缩映射原理）：设$(X, d)$是完备度量空间，$T: X \to X$是压缩映射，即存在常数$q \in [0, 1)$使得$d(T(x), T(y)) \leq q \cdot d(x, y)$对所有$x, y \in X$成立。则存在唯一不动点$x^* \in X$使得$T(x^*) = x^*$。

**定义2**：对于多智能体系统，若$\lim_{k \to \infty} \|x_i(k) - x_j(k)\| = 0$对所有$i, j \in \mathcal{V}$成立，则称该系统实现一致性。

3 控制算法方案设计

本节提出所设计的控制框架。首先，通过引入估计器为多智能体系统开发一种欺骗攻击检测策略，其中传统固定阈值被动态阈值替代以提高检测灵敏度。其次，设计FNN以在攻击下预测真实系统输出。最后，通过整合所提出的检测和估计策略，在通信衰减条件下实现多智能体系统的领导-跟随一致性控制。

**3.1 系统数据建模**

为使问题表述清晰，对系统(1)进行动态线性化处理。令$e_i(k) = y_i(k) - y_0(k)$表示跟踪误差。将系统(1)沿理想解进行泰勒展开，可得：

$$y_i(k+1) = y_i(k) + \Delta y_i(k)$$

其中$\Delta y_i(k) = f_i(x_i(k), u_i(k)) - f_i(x_i(k), u_i(k-1))$。

通过引入紧凑形式动态线性化（CFDL），定义广义伪偏导数（PPO）$P_{i,j}(k)$为：

$$\Delta y_i(k) = P_{i,j}(k) \cdot \Delta u_j(k-1)$$

其中$j \in \mathcal{N}_i \cup \{0\}$，$\Delta u_j(k) = u_j(k) - u_j(k-1)$。

当$j=0$时，$P_{i,0}(k)$与领导者相关；当$j \in \mathcal{N}_i$时，$P_{i,j}(k)$与跟随者$j$相关。

**假设5**：广义伪偏导数$P_{i,j}(k)$有界，即$|P_{i,j}(k)| \leq \hat{P}_{i,j}$，其中$\hat{P}_{i,j}$为正常数。

定义PPD $\Phi_{i,j}(k) = P_{i,j}(k) + \frac{1}{P_{i,j}(k)}$，由引理1可知：

$$|\Phi_{i,j}(k)| \geq 2$$

当且仅当$P_{i,j}(k) = \pm 1$时取等号。

基于CFDL，系统(1)可转化为等效数据模型：

$$y_i(k+1) = y_i(k) + \sum_{j \in \mathcal{N}_i \cup \{0\}} P_{i,j}(k) \cdot \Delta u_j(k-1)$$

其中$j=0$对应领导者，$j \in \mathcal{N}_i$对应跟随者。

考虑到信道衰落的影响，跟随者$i$通过有向边$(i, j)$接收的邻居信息受到衰减，即：

$$\tilde{y}_j(k) = \alpha_{ij}(k) \cdot y_j(k)$$

其中$\alpha_{ij}(k)$表示从智能体$j$到智能体$i$的信道衰落系数。类似地，从领导者到跟随者$i$的衰减系数为$\alpha_{i0}(k)$。

**假设6**：信道衰落系数$\alpha_{ij}(k)$服从独立的正态分布，即$\alpha_{ij}(k) \sim \mathcal{N}(\mu_{ij}, \sigma_{ij}^2)$，其中$\mu_{ij} > 0$，$\sigma_{ij}^2 > 0$。

考虑到通信衰减和可能的欺骗攻击，跟随者$i$在$k$时刻获取的邻居$j$的输出信息为：

$$\hat{y}_j(k) = \alpha_{ij}(k) \cdot y_j(k) + \beta_j(k)$$

其中$\beta_j(k)$是可能存在的欺骗攻击信号，当$\beta_j(k) = 0$时，表示无攻击。

将以上考虑纳入数据模型，得到修正的等效数据模型：

$$y_i(k+1) = y_i(k) + \sum_{j \in \mathcal{N}_i} P_{i,j}(k) \cdot \Delta u_j(k-1) + P_{i,0}(k) \cdot \Delta u_0(k-1)$$

其中，$\Delta u_j(k-1)$是基于受衰减影响的邻居信息计算的。

**3.2 理想控制器设计**

为实现跟踪误差$e_i(k) = y_i(k) - y_0(k)$的期望意义下的收敛，定义误差递推关系：

$$e_i(k+1) = y_i(k+1) - y_0(k+1)$$

由(1)和(2)可得：

$$e_i(k+1) = y_i(k) + \sum_{j \in \mathcal{N}_i \cup \{0\}} P_{i,j}(k) \cdot \Delta u_j(k-1) - y_0(k+1)$$

$$= e_i(k) + \sum_{j \in \mathcal{N}_i \cup \{0\}} P_{i,j}(k) \cdot \Delta u_j(k-1)$$

为使跟踪误差收敛，设计理想控制输入增量：

$$\Delta u_i^*(k) = -\lambda_i \cdot e_i(k)$$

其中$\lambda_i$是正常数，用于调节收敛速度。

将理想控制律(7)沿理想解进行CFDL，定义控制器广义伪偏导数为：

$$\Delta u_i^*(k) = \Delta u_i^*(k-1) + \Gamma_i(k) \cdot \Delta e_i(k-1)$$

其中$\Delta e_i(k-1) = e_i(k-1) - e_i(k-2)$，$\Gamma_i(k)$为控制器PPO。

令$\Phi_{\Gamma,i}(k) = \Gamma_i(k) + \frac{1}{\Gamma_i(k)}$，由引理1：

$$|\Phi_{\Gamma,i}(k)| \geq 2$$

理想控制律可改写为：

$$\Delta u_i^*(k) = \Delta u_i^*(k-1) + \frac{\Delta e_i(k-1)}{\Phi_{\Gamma,i}(k)}$$

这表明，通过在线估计PPD $\Phi_{\Gamma,i}(k)$，可以逐步逼近理想控制律。

**3.3 动态阈值攻击检测机制**

为检测欺骗攻击，构造基于输入输出数据的动态阈值检测机制。首先定义攻击估计误差：

$$\tilde{\beta}_i(k) = \hat{y}_i(k) - y_i(k)$$

其中$\hat{y}_i(k)$是接收到的可能受攻击的数据，$y_i(k)$是估计的真实输出。

**定义3**：定义Lyapunov候选函数为：

$$V_i(k) = \frac{1}{2} \tilde{\beta}_i^2(k)$$

计算$V_i(k)$的前向差分：

$$\Delta V_i(k) = V_i(k+1) - V_i(k) = \frac{1}{2}[\tilde{\beta}_i^2(k+1) - \tilde{\beta}_i^2(k)]$$

$$= \frac{1}{2}[\tilde{\beta}_i(k) + \tilde{\Delta \beta}_i(k)]^2 - \frac{1}{2}\tilde{\beta}_i^2(k)$$

$$= \tilde{\beta}_i(k) \cdot \tilde{\Delta \beta}_i(k) + \frac{1}{2}\tilde{\Delta \beta}_i^2(k)$$

其中$\tilde{\Delta \beta}_i(k) = \tilde{\beta}_i(k+1) - \tilde{\beta}_i(k)$。

基于Lyapunov稳定性理论，定义动态阈值$\theta_i(k)$为：

$$\theta_i(k) = \eta_i \cdot |e_i(k)| + \delta_i \cdot |y_i(k)| + \rho_i$$

其中$\eta_i, \delta_i, \rho_i > 0$为正常数。该动态阈值随系统状态自适应调整，相比固定阈值具有更好的适应性。

**定义4**（攻击检测判据）：若满足：

$$|\tilde{\beta}_i(k)| > \theta_i(k)$$

则判定存在欺骗攻击。

该动态阈值机制的优势在于：当跟踪误差$|e_i(k)|$较大时，阈值相应增大，避免因正常系统波动导致的误报；当系统趋于稳定时，阈值减小，提高对潜在攻击的检测灵敏度。

**3.4 基于FNN的输出补偿策略**

当检测到欺骗攻击时，利用FNN从被篡改的数据中估计真实系统输出。FNN由模糊推理层、模糊规则层和输出层组成。

输入向量定义为：

$$\mathbf{x}_i(k) = [y_i(k-1), \Delta u_i(k-1), e_i(k-1)]$$

模糊化层将输入模糊化为模糊集合$\{A_{i,m}\}$和$\{B_{i,n}\}$，其隶属度函数为高斯函数：

$$\mu_{A_{i,m}}(x) = \exp\left(-\frac{(x - c_{i,m})^2}{\sigma_{i,m}^2}\right)$$

其中$c_{i,m}$为模糊集合的中心，$\sigma_{i,m} > 0$为宽度。

模糊规则层中的每条规则$j$具有形式：

$$\text{规则 } j: \text{若 } x \text{ is } A_{i,j} \text{ and } u \text{ is } B_{i,j}, \text{ then } \hat{y}_i(k) = p_j \cdot x + q_j \cdot u + r_j$$

其中$p_j, q_j, r_j$为可学习参数。

输出层将各规则的输出加权求和：

$$\hat{y}_i(k) = \frac{\sum_{j=1}^{L} \omega_j \cdot y_j^{(rule)}}{\sum_{j=1}^{L} \omega_j}$$

其中$\omega_j$为第$j$条规则的激活强度，$L$为规则总数。

FNN参数通过最小化估计误差进行在线学习：

$$\mathcal{J}_i(k) = \frac{1}{2}[\hat{y}_i(k) - y_i^{pred}(k)]^2$$

其中$y_i^{pred}(k)$是基于数据模型预测的输出。通过梯度下降法更新参数：

$$p_j(k+1) = p_j(k) - \eta_p \cdot \frac{\partial \mathcal{J}_i(k)}{\partial p_j}$$

其中$\eta_p > 0$为学习率。

**3.5 参数自适应律设计**

为实现对未知系统参数的在线估计，设计基于投影的参数自适应律。

对于PPD $\Phi_{\Gamma,i}(k)$，其估计值$\hat{\Phi}_{\Gamma,i}(k)$通过以下自适应律更新：

$$\hat{\Phi}_{\Gamma,i}(k+1) = \hat{\Phi}_{\Gamma,i}(k) + \mu_{\Gamma,i} \cdot \Delta e_i(k) \cdot \Delta u_i^*(k)$$

其中$\mu_{\Gamma,i} > 0$为学习率。

为确保估计值保持在有界范围内，引入投影算子：

$$\hat{\Phi}_{\Gamma,i}(k+1) = \text{Proj}_{[\Phi_{min}, \Phi_{max}]}(\hat{\Phi}_{\Gamma,i}(k) + \mu_{\Gamma,i} \cdot \Delta e_i(k) \cdot \Delta u_i^*(k))$$

其中：

$$\text{Proj}_{[\Phi_{min}, \Phi_{max}]}(\theta) = \begin{cases} \Phi_{min} & \text{if } \theta < \Phi_{min} \\ \theta & \text{if } \Phi_{min} \leq \theta \leq \Phi_{max} \\ \Phi_{max} & \text{if } \theta > \Phi_{max} \end{cases}$$

其中$\Phi_{min} = -\hat{\Phi}_{\Gamma,max}$，$\Phi_{max} = \hat{\Phi}_{\Gamma,max}$，$\hat{\Phi}_{\Gamma,max}$为正常数。

类似地，对于系统PPD $\Phi_{i,j}(k)$的估计值$\hat{\Phi}_{i,j}(k)$，其自适应律为：

$$\hat{\Phi}_{i,j}(k+1) = \text{Proj}_{[\hat{\Phi}_{min}, \hat{\Phi}_{max}]}(\hat{\Phi}_{i,j}(k) + \mu_{i,j} \cdot \Delta e_i(k) \cdot \Delta u_j(k))$$

其中$\mu_{i,j} > 0$为学习率。

**3.6 综合控制律**

综合上述各部分，得到最终的控制律设计。

在无攻击情况下（即检测机制未触发），控制增量由以下公式给出：

$$\Delta u_i(k) = \Delta u_i(k-1) + \frac{\Delta e_i(k-1)}{\hat{\Phi}_{\Gamma,i}(k)}$$

当检测到欺骗攻击时，采用FNN补偿后的输出信息更新控制律：

$$\Delta u_i(k) = \Delta u_i(k-1) + \frac{\Delta \hat{e}_i(k-1)}{\hat{\Phi}_{\Gamma,i}(k)} + \mu_c \cdot [\hat{y}_i^{FNN}(k) - \hat{y}_i(k)]$$

其中$\mu_c > 0$为补偿增益，$\hat{y}_i^{FNN}(k)$为FNN估计的真实输出，$\hat{y}_i(k)$为受攻击的输出数据。

对应的控制输入为：

$$u_i(k) = u_i(k-1) + \Delta u_i(k)$$

至此，完整的多智能体系统领导-跟随一致性控制算法总结如下：

**算法1：FAD-MFAC方案**

1. 初始化：给定$u_i(0)$、$\hat{\Phi}_{\Gamma,i}(0)$、$\hat{\Phi}_{i,j}(0)$和FNN初始参数。
2. 对于$k = 0, 1, 2, \ldots$，重复以下步骤：
- 步骤1：获取邻居输出信息$\hat{y}_j(k)$和领导者输出信息$\hat{y}_0(k)$。
- 步骤2：计算跟踪误差$e_i(k)$和误差增量$\Delta e_i(k)$。
- 步骤3：利用动态阈值检测机制判断是否存在欺骗攻击。
- 步骤4：若检测到攻击，利用FNN估计真实系统输出$\hat{y}_i^{FNN}(k)$。
- 步骤5：更新PPD估计值$\hat{\Phi}_{\Gamma,i}(k+1)$和$\hat{\Phi}_{i,j}(k+1)$。
- 步骤6：根据检测机制的判定结果计算控制增量$\Delta u_i(k)$。
- 步骤7：计算控制输入$u_i(k) = u_i(k-1) + \Delta u_i(k)$并施加于系统。
- 步骤8：更新FNN参数。
3. 返回步骤2。

4 收敛性分析

本节通过分析两种典型场景来考察所提出算法的收敛性。第一种场景仅涉及信道衰落，控制律基于式(7)、(8)、(30)、(35)、(36)设计。第二种场景考虑信道衰落和欺骗攻击的共存，控制输入根据式(37)、(39)、(40)、(41)、(42)确定。对每种场景，分别证明PPD $\Phi_{\Gamma,i}$的有界性和跟踪误差的一致有界性。

**4.1 场景一：仅信道衰落**

在此场景中，不存在欺骗攻击，但通信信道受到衰落影响。控制律由式(7)、(8)、(30)、(35)、(36)确定。

**定理1**：在假设1-6成立且参数自适应律(30)、(35)、(36)和PPD初始化有界（即$|\hat{\Phi}_{\Gamma,i}(0)| \leq \hat{\Phi}_{\Gamma,max}$，$|\hat{\Phi}_{i,j}(0)| \leq \hat{\Phi}_{max}$）的条件下，PPD估计值$\hat{\Phi}_{\Gamma,i}(k)$始终有界，且跟踪误差$e_i(k)$一致有界。

**证明**：

首先，由式(30)的自适应律和投影算子的性质，可得：

$$|\hat{\Phi}_{\Gamma,i}(k)| \leq \hat{\Phi}_{\Gamma,max}, \quad \forall k$$

类似地，由式(35)和(36)可得：

$$|\hat{\Phi}_{i,j}(k)| \leq \hat{\Phi}_{max}, \quad \forall k, j \in \mathcal{N}_i \cup \{0\}$$

接下来分析跟踪误差的有界性。定义Lyapunov候选函数：

$$W_i(k) = \frac{1}{2}e_i^2(k)$$

计算其前向差分：

$$\Delta W_i(k) = \frac{1}{2}e_i^2(k+1) - \frac{1}{2}e_i^2(k)$$

由式(5)和(7)，可得：

$$e_i(k+1) = e_i(k) + \sum_{j \in \mathcal{N}_i \cup \{0\}} P_{i,j}(k) \cdot \Delta u_j(k)$$

其中$\Delta u_j(k)$受信道衰落影响。将控制律(8)和自适应律(30)代入，并利用PPD的有界性，可得：

$$\Delta W_i(k) \leq -\lambda \cdot e_i^2(k) + \bar{d}_i$$

其中$\lambda > 0$和$\bar{d}_i > 0$为正常数，$\bar{d}_i$与信道衰落方差有关。

因此，当$|e_i(k)|^2 \geq \bar{d}_i / \lambda$时，$\Delta W_i(k) \leq 0$，即跟踪误差最终有界于区域$|e_i(k)| \leq \sqrt{\bar{d}_i / \lambda}$。

利用压缩映射原理，定义映射$T_i(k): e_i(k) \mapsto e_i(k+1)$。由于存在正常数$\rho_i \in (0, 1)$使得：

$$|e_i(k+1)| \leq \rho_i |e_i(k)| + \bar{b}_i$$

其中$\bar{b}_i$为与信道衰落相关的有界项。这表明$T_i(k)$是压缩映射（当$\rho_i < 1$时），根据引理1，存在唯一的有界不动点区域，跟踪误差$e_i(k)$一致有界。$\square$

**推论1**：在仅存在信道衰落的情况下，跟踪误差$e_i(k)$的期望满足：

$$\mathbb{E}[|e_i(k)|] \leq C_i$$

其中$C_i > 0$为正常数，与信道衰落统计特性有关。

**4.2 场景二：信道衰落与欺骗攻击共存**

在此场景中，通信信道同时受到衰落和欺骗攻击的影响。控制律由式(37)、(39)、(40)、(41)、(42)确定。

**定理2**：在假设1-6成立、动态阈值检测机制有效运行且FNN输出补偿策略正确实施的条件下，PPD估计值$\hat{\Phi}_{\Gamma,i}(k)$始终有界，跟踪误差$e_i(k)$一致有界，且其期望值满足：

$$\lim_{k \to \infty} \mathbb{E}[|e_i(k)|] \leq C_i^*$$

其中$C_i^* > 0$为正常数。

**证明**：

PPD有界性的证明与定理1相同。下面分析跟踪误差的有界性。

由式(5)和攻击补偿控制律(37)，可得：

$$e_i(k+1) = e_i(k) + \sum_{j \in \mathcal{N}_i \cup \{0\}} P_{i,j}(k) \cdot \Delta u_j(k) + \xi_i(k)$$

其中$\xi_i(k)$为FNN估计误差与攻击残余的组合项。

定义增广Lyapunov函数：

$$\bar{W}_i(k) = \frac{1}{2}e_i^2(k) + \frac{1}{2}\tilde{e}_{F,i}^2(k)$$

其中$\tilde{e}_{F,i}(k) = \hat{y}_i^{FNN}(k) - y_i(k)$为FNN估计误差。

计算前向差分并利用FNN的收敛性和动态阈值检测的有效性，可得：

$$\Delta \bar{W}_i(k) \leq -\bar{\lambda}_i \cdot e_i^2(k) - \bar{\lambda}_F \cdot \tilde{e}_{F,i}^2(k) + \bar{d}_i^*$$

其中$\bar{\lambda}_i, \bar{\lambda}_F, \bar{d}_i^* > 0$为正常数。

当$e_i^2(k) + \tilde{e}_{F,i}^2(k) \geq \bar{d}_i^* / (\bar{\lambda}_i \text{ or } \bar{\lambda}_F)$时，$\Delta \bar{W}_i(k) \leq 0$。

利用压缩映射原理，由于存在正常数$\bar{\rho}_i \in (0, 1)$使得增广状态满足压缩条件，系统收敛到以原点为中心的有界区域内。具体而言，跟踪误差满足：

$$|e_i(k)| \leq C_i^* = \sqrt{\frac{\bar{d}_i^*}{\bar{\lambda}_i}}$$

对误差取期望，可得：

$$\lim_{k \to \infty} \mathbb{E}[|e_i(k)|] \leq C_i^*$$

其中$C_i^*$与信道衰落方差、FNN逼近能力和攻击强度有关。$\square$

**4.3 动态阈值检测性能分析**

**定理3**：所提出的动态阈值检测机制具有以下性质：

1. **误报抑制**：在无攻击条件下，$\mathbb{P}(|\tilde{\beta}_i(k)| > \theta_i(k))$随$k$增大而减小，趋向于0。
2. **检测灵敏度**：当攻击发生时，$\mathbb{P}(|\tilde{\beta}_i(k)| > \theta_i(k))$大于固定阈值方法的检测概率。
3. **自适应能力**：阈值$\theta_i(k)$随系统状态$|e_i(k)|$和$|y_i(k)|$自适应调整。

**证明**：

（1）在无攻击条件下，$\tilde{\beta}_i(k)$主要由信道衰落引起，其统计特性为$\tilde{\beta}_i(k) \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_{\alpha,i})$。动态阈值$\theta_i(k)$包含系统状态项$|e_i(k)|$和$|y_i(k)|$，当系统趋于稳定时，阈值趋近于$\rho_i$（常数项），此时误报概率$\mathbb{P}(|\tilde{\beta}_i(k)| > \rho_i)$随$\rho_i$增大而减小。由于$|e_i(k)|$随$k$增大而减小，阈值在系统稳定后保持适中的水平，有效抑制误报。

（2）当欺骗攻击发生时，$|\tilde{\beta}_i(k)|$增大。由于动态阈值$\theta_i(k)$在系统稳定时较小，使得$|\tilde{\beta}_i(k)|$更容易超过阈值，从而提高了检测概率。

（3）$\theta_i(k)$的表达式显式依赖于$|e_i(k)|$和$|y_i(k)|$，当系统处于动态变化时（如初始阶段或受到扰动时），阈值相应增大以避免误报；当系统趋于稳定时，阈值减小以提高检测灵敏度。$\square$

**4.4 FNN输出补偿性能分析**

**引理2**：在适当的初始条件下，FNN参数通过在线学习规则(29)收敛，且估计误差$\tilde{e}_{F,i}(k)$一致有界，即：

$$|\hat{y}_i^{FNN}(k) - y_i(k)| \leq \epsilon_{F,i}$$

其中$\epsilon_{F,i} > 0$为与FNN结构和数据驱动特性有关的正常数。

**证明**：由FNN参数更新的梯度下降特性，参数误差序列$\|\mathbf{w}_i(k) - \mathbf{w}_i^*\|$单调递减并收敛到正常数$\bar{\epsilon}_i$，其中$\mathbf{w}_i^*$为最优参数。由此可得输出估计误差有界于$\epsilon_{F,i}$。$\square$

**4.5 系统整体收敛性总结**

**定理4**：在假设1-6成立且初始状态有界的条件下，所提出的FAD-MFAC方案使得多智能体系统在期望意义下实现领导-跟随一致性，即：

$$\lim_{k \to \infty} \mathbb{E}\left[\|y_i(k) - y_0(k)\|\right] \leq C^*$$

其中$C^* = \max_i C_i^*$为正常数。

**证明**：综合定理1、定理2、定理3和引理2的结论。PPD估计值始终有界保证了控制律的稳定性；动态阈值检测机制有效地识别欺骗攻击；FNN输出补偿策略有效地抑制了攻击影响。因此，跟踪误差在期望意义下有界并收敛。$\square$

5 仿真

为评估所提出的FAD-MFAC方案，考虑三个仿真场景。在第一个场景中，考虑理想的通信环境，无信道衰落或欺骗攻击。将所提方法与文献[40]中的方法进行比较以评估其标称跟踪能力。同时，检验所提动态阈值检测机制在正常运行条件下的行为。在第二个场景中，引入信道衰落，评估所提方案在通信衰减条件下的性能。在第三个场景中，同时引入信道衰落和欺骗攻击，验证所提检测机制和补偿策略的有效性。

**5.1 仿真系统设置**

考虑由一个领导者和5个跟随者组成的非线性异质多智能体系统，每个智能体的动力学方程如下：

领导者：
$$x_0(k+1) = 0.9x_0(k) + 0.1\sin(x_0(k)), \quad y_0(k) = x_0(k)$$

跟随者$i$（$i = 1, 2, 3, 4, 5$）：
$$x_i(k+1) = a_i \cdot x_i(k) + b_i \cdot \sin(c_i \cdot x_i(k)) + u_i(k)$$
$$y_i(k) = x_i(k)$$

其中参数$a_i, b_i, c_i$为：

| 智能体 | $a_i$ | $b_i$ | $c_i$ |
|--------|--------|--------|--------|
| 1 | 0.8 | 0.3 | 0.5 |
| 2 | 0.85 | 0.25 | 0.7 |
| 3 | 0.75 | 0.35 | 0.6 |
| 4 | 0.9 | 0.2 | 0.8 |
| 5 | 0.82 | 0.28 | 0.55 |

通信拓扑结构如图1所示，领导者与所有跟随者相连，跟随者之间通过有向边相互连接。

图1：多智能体系统通信拓扑

初始条件设置为：

$$x_0(0) = 0.5$$
$$x_i(0) = [0.2, 0.3, 0.4, 0.6, 0.8]^T$$

PPD初始值设置为：

$$\hat{\Phi}_{\Gamma,i}(0) = -1.5, \quad \hat{\Phi}_{i,j}(0) = -1.5$$

自适应律学习率设置为：

$$\mu_{\Gamma,i} = 0.01, \quad \mu_{i,j} = 0.01$$

FNN参数初始值：

$$p_j(0) = 1, \quad q_j(0) = 0.5, \quad r_j(0) = 0.1$$

动态阈值参数设置为：

$$\eta_i = 0.1, \quad \delta_i = 0.05, \quad \rho_i = 0.01$$

**5.2 场景一：理想通信环境（无衰落和攻击）**

在第一个场景中，信道衰落系数设为$\alpha_{ij}(k) = 1$，攻击信号$\beta_j(k) = 0$。将所提FAD-MFAC方法与文献[40]中的间接MFAC方法进行对比。

图2展示了跟踪误差的变化曲线。所提方法在约15步迭代后收敛，而文献[40]的方法需要约20步。所提方法的收敛速度更快，这是由于直接MFAC直接在线调优控制器参数，避免了建立被控系统数据模型的中间步骤。

图3展示了PPD $\hat{\Phi}_{\Gamma,i}$随迭代步数的变化。可以观察到，所有PPD估计值均在约10步内收敛到稳定值，且始终保持在有界范围内。

图4展示了动态阈值$\theta_i(k)$的变化曲线。在无攻击条件下，阈值随跟踪误差的减小逐渐降低并趋近于常数$\rho_i$，表明检测机制在无攻击时不会触发误报。

图5展示了FNN参数收敛情况。由于无攻击发生，FNN未被激活，其参数保持稳定。

表1：场景一性能对比

| 性能指标 | FAD-MFAC | 间接MFAC[40] |
|----------|----------|--------------|
| 收敛步数 | 15 | 20 |
| 稳态误差 | $2.3 \times 10^{-4}$ | $5.1 \times 10^{-4}$ |
| 控制能量 | 12.7 | 18.3 |
| 计算时间/步 | 0.8 ms | 1.5 ms |

**5.3 场景二：信道衰落条件**

在第二个场景中，引入信道衰落。信道衰落系数$\alpha_{ij}(k)$服从正态分布$\alpha_{ij}(k) \sim \mathcal{N}(\mu_{ij}, \sigma_{ij}^2)$，其中$\mu_{ij}$在0.7-1.0之间，$\sigma_{ij}^2$在0.01-0.05之间。

图6展示了包含和不含信道衰落影响的跟踪误差曲线。有信道衰落时，跟踪误差存在波动但最终仍然收敛，波动幅度与衰落方差成正比。无信道衰落时（理想情况），跟踪误差快速收敛到零附近。

图7展示了在信道衰落条件下的PPD收敛情况。与场景一相比，PPD收敛稍慢，但仍保持在有界范围内。信道衰落导致了数据模型中的噪声，使得参数估计存在一定偏差。

图8展示了不同衰落方差水平下的跟踪误差。随着$\sigma_{ij}^2$的增大，稳态跟踪误差增大，这验证了理论分析中$\bar{d}_i$与衰落方差的关系。

表2：不同衰落方差下的稳态误差

| $\sigma_{ij}^2$ | 平均稳态误差 |
|-----------------|-------------|
| 0.01 | $3.5 \times 10^{-3}$ |
| 0.03 | $6.2 \times 10^{-3}$ |
| 0.05 | $9.1 \times 10^{-3}$ |

**5.4 场景三：信道衰落与欺骗攻击共存**

在第三个场景中，同时引入信道衰落和欺骗攻击。攻击信号$\beta_j(k)$在$k = 50$至$k = 150$期间施加，幅值为$0.5$，持续时间为100步。

图9展示了跟踪误差在攻击前后和攻击期间的变化。攻击开始时，跟踪误差出现明显跳变。动态阈值检测机制在攻击发生后的约3步内成功检测到攻击并激活FNN补偿策略。随着FNN补偿的有效实施，跟踪误差逐步恢复并收敛到新的有界水平。

图10对比了所提动态阈值检测与固定阈值检测的性能。固定阈值设置为0.1。可以观察到：
- 动态阈值检测：在$k \approx 53$处成功检测到攻击，无误报；
- 固定阈值检测：在$k \approx 55$处检测到攻击（延迟约2步），且在$k \approx 30$处存在一次误报。

图11展示了FNN输出补偿效果。攻击期间，FNN估计输出$\hat{y}_i^{FNN}(k)$与真实输出$y_i(k)$之间的误差较小，表明补偿策略有效。

图12展示了动态阈值$\theta_i(k)$随系统状态的自适应变化。攻击开始时阈值较大（系统处于动态状态），攻击检测后阈值逐渐减小，体现了自适应特性。

图13展示了不同攻击强度下的稳态误差。随着攻击幅值的增大，稳态误差增大，但始终保持在可接受范围内。

表3：攻击检测性能对比

| 检测指标 | 动态阈值 | 固定阈值 |
|----------|----------|----------|
| 检测延迟（步） | 3 | 5 |
| 误报率 | 0% | 2% |
| 漏报率 | 0% | 1% |
| 检测正确率 | 100% | 97% |

表4：不同攻击强度下的稳态误差

| 攻击幅值 | 稳态误差 |
|----------|----------|
| 0.3 | $1.8 \times 10^{-3}$ |
| 0.5 | $3.2 \times 10^{-3}$ |
| 0.7 | $4.5 \times 10^{-3}$ |
| 1.0 | $6.8 \times 10^{-3}$ |

**5.5 仿真结果讨论**

仿真结果表明：

1. 所提FAD-MFAC方案在理想通信环境下具有快速的收敛速度和较小的稳态误差，优于间接MFAC方法。
2. 在信道衰落条件下，方案仍能实现一致性跟踪，稳态误差与衰落方差呈正相关。
3. 在欺骗攻击条件下，动态阈值检测机制能有效检测攻击，FNN补偿策略能有效减轻攻击影响。
4. 动态阈值检测相比固定阈值检测具有更低的误报率、更低的检测延迟和更高的检测正确率。
5. 整体方案具有良好的鲁棒性，能够应对信道衰落和欺骗攻击的共存威胁。

6 结论

针对同时遭受信道衰落和欺骗攻击的非线性离散时间多智能体系统，本文提出了一种直接分布式无模型自适应控制方案以解决领导-跟随一致性问题。所提出的框架整合了动态阈值检测机制与输出补偿策略以减轻欺骗攻击的影响，从而增强了领导-跟随一致性控制的鲁棒性。理论分析建立了闭环系统在期望意义下的收敛性。仿真结果表明了所提方案的有效性。

本文的主要贡献包括：（1）首次将直接MFAC应用于同时面临信道衰落和欺骗攻击的多智能体系统；（2）提出了基于Lyapunov稳定性理论的动态阈值检测机制，提高了检测的适应性和可靠性；（3）利用FNN实现被攻击数据的输出补偿，有效降低了攻击对一致性的影响。

未来研究方向包括：（1）将所提方案扩展到连续时间系统；（2）研究多种攻击类型（如DoS攻击、欺骗攻击和虚假数据注入攻击）的协同攻击场景；（3）将方案应用于实际系统如无人机编队、智能电网和自动驾驶车辆集群。

CRediT作者贡献声明

宁张：概念构思。侯中生：资金获取。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的相互竞争的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

宁张于2021年获得西藏民族大学网络工程学士学位，2024年获得重庆三峡学院非线性电子硕士学位。她目前正在青岛大学攻读系统科学博士学位。她的当前研究兴趣包括数据驱动控制、无模型自适应控制和网络安全控制。

宁张 | 侯中生